Transcript 矩阵的特征值与特征向量 一. 特征值与特征向量的求法 1.利用定义求特征值与特征向量 步骤： (1) 由 | A  E | 0 求出 ； (2)对  求 ( A  E ) X 

矩阵的特征值与特征向量
一. 特征值与特征向量的求法
1.利用定义求特征值与特征向量
步骤：
(1) 由 | A  E | 0 求出 ；
(2)对  求 ( A  E ) X  0 的非零解.
2
 1 2


例1 求 A    2  2
4  的特征值与特征向量.
 2

4

2


1 
解 | A  λ E|   2
2
2
2
2
4
4
2
 (1  )(  2) 2  16  16  4(  2)  4(  2)  16(  1)
 3  32  24  28  (2   ) 2 (7   ),
故 1  2  2, 3  7 为 A的特征值.
对 1  2  2,
2   1  2 2
 1  2

 

A  2E    2  4
4   0
0 0 ,
 2
  0

4

4
0
0

 

所以( A  2E) X  0 的同解方程为x1  2x2  2x3，故
k1 (2,1,0)T  k2 (2,0,1)T (k1 , k2 不全为零)为 A 的属于特征值2
的特征向量.
同理，A的属于特征值7 的特征向量为k (1,2,2)T (k  0).
3
 5 1


例2 设 A    1
5  3 , r ( A)  2，求 c 及 A 的特征值.
 3 3

c


5
1
3
解 因为| A |  1
5  3  24c  72，
3 3
c
又 r ( A)  2，所以| A | 0，故 c  3.
3
 5 1


此时 A    1
5  3 ，由| A  λ E | 0，得 A 的特征值
 3 3

3


1  0, 2  4, 3  9.
0 1

1 0
例3 设 A  
0 0

0 0

及 A 的其他特征值.
0 0

0 0
，若 3 是 A 的一个特征值，求：y

y 1

1 2 

1
解 设 | A  E |
0
0
1

0
0
0
0
y 
1
0
0
1
2
 (2  1)[(y   )(2   )  1]
 (  1)(  1)[2  ( y  2)  2 y  1].
因为 3 是 A 的一个特征值，所以3 必为2  ( y  2)  2 y  1  0
的根，由此求得 y  2 及 2  ( y  2)  2 y  1  0 的另一根1，
故 A 的全部特征值为 1,1,1,3.
注：用定义求特征值与特征向量，最重要的是求出特征值. 为此，
首先求出矩阵的特征多项式，并将它按降幂排列，然后通过试根
或因式分解将其化为一次式的乘积，从而求出特征值. 求特征向
量即求齐次方程组 (A-E)X=0 的基础解系.
2.利用公式求特征值与特征向量
设 i 为 n 阶方阵 A 的特征值， i 为 A 的对应于特征值i 的
特征向量, i  1,2, ,n. 则
(1) f ( A) 的特征值为 f (i )，对应于 f (i ) 的特征向量为 i ,
i  1,2,, n，其中 f ( x) 为 x 的多项式.
(2) 设 A 可逆，则 A1 的特征值为i1，对应于i1 的特征向
量为 i ,i  1,2,, n.
| A|
| A|
(3) 设 A 可逆，则 A *的特征值为 ，对应于
的特征
i
向量为 i ,i  1,2,, n.
(4) AT 的特征值为i , i  1,2,, n.
i
(5) 若 B  P 1 AP，则 B 的特征值为i，对应于i 的特征向量
为 P 1 i , i  1,2,, n.
1
 1 1
 2 0 0




例4 设 A   2
4  2  与 B   0 2 0  相似，求：a, b
3 3

0 0 b
a




及矩阵 A 的特征值与特征向量.
解 因为 A ~ B，故 A 与 B 有相同的特征值. 又 B 的特征值
为 2,2, b，所以 A 的特征值也为2,2, b.
由于 | A  E |
1 
1
1
2
4
2
3
3
a
 (  2)[2  (a  3)  3(a  1)],
所以 2 是2  (a  3)  3(a  1)  0 的根，将 2 代入，得 a  5,
并求得 2  (a  3)  3(a  1)  0 的另一根为6，即 A 的特征值
为 2,2,6，故 b  6.
当 1  2  2 时
1  1 1  1 
 1 1

 

A  2E   2
2  2    0 0 0 ,
3 3
 0 0 0
3

 

线性无关的特征向量为1  (1, 0, 1)T 及 2  (0, 1, 1)T .
当 3  6 时
1  3 0  1
  5 1

 

A  6 E   2  2  2    0 3 2 ,
  3  3  1  0 0 0 

 

特征向量为3  (1,  2, 3)T .
例5 已知三阶方阵A 的三个特征值为1，
 2，
 3，求：
| A| 及
A1 , A*, A2  2 A  E 的特征值.
解 | A | 1 (2)  (3)  6;
1 1
1
A 的特征值为：
1, , ;
2 3
A *的特征值为：
6,3,2;
A2  2 A  E 的特征值为：
12  2 1  1, (2)2  2  (2)  1,
(3)  2  (3)  1，即 4, 1, 4.
2
例6 设三阶方阵 A 的特征值为1,1,2, B  A3  5 A2，求 B 的
特征值及| A  5E | .
解 B 的特征值为：
 4,6,12.
因为 A  5E 的特征值为：
 4，
 6，
 3，
所以
| A  5E | (4)  (6)  (3)  72.
1
1 3
例7 设   2 是 A的特征值，求：
2 A   A  的一个特征值.
4 
1
1 3
解 2 A   A  的一个特征值为
4 
1
7
1 3
22  2   .
2
4

例8 设 n 阶可逆阵 A 的每行元素之和均为a(a  0)，求 2 A1
 3E 的一个特征值及对应的特征向量.
1
1
 
 
1
1
解 由题设知 A   a ，所以 a 为 A 的一个特征值且a  0,


 
 
1
1
 
 
1
 
2
1
1
从而  3 为 2 A  3E 的一个特征值，对应的特征向量为 .

a
 
1
 
2
2
 1


例9 设 A   2  1  2 ，求：A, A * 及 E  A1 的特征值.
 2  2  1


解 因为| A  E | (  1) 2 (  5)，所以 A 的特征值为 5,1,1
且 | A | 5，从而 A *的特征值为1,5,5；E  A1 的特征值为
4
,2,2.
5
例10 设有4 阶方阵 A 满足 | 3E  A | 0, AAT  2E, | A | 0，
求：A *的一个特征值.
解 由于| 3E  A || A  (3) E | 0 知  3 是 A 的一个特征值，
又 AAT  2E，故 | A |2  24  16，因为| A | 0，所以| A | 4，
4
从而 是 A *的一个特征值 .
3
2 1 1


T
例11 设   (1, k ,1) 是 A   1 2 1  的逆 A1 的特征向量，求k .
1 1 2


解 设  是 A1 的属于特征值0 的特征向量，即A1  0，
也即 A 
1
0
，因为 A 的特征值为1,1,4，故有 A  或A  4 .
 2 1 1  1   1 

   
当 A   时，有 1 2 1  k    k ，解得 k  2.
 1 1 2  1   1 

   
 2 1 1  1 
1

 
 
当 A  4 时，有 1 2 1  k   4 k ，解得 k  1.
 1 1 2  1 
1

 
 
所以 k  2 或 k  1.
例12 设   (1, a2 ,, an ),   (1, b2 ,, bn ) 且  T  0，记
A   T ，求 A 的特征值和特征向量.
解 由 A   T ，得 A2   T T    T ( T ) ，因为
 T  0，所以 T  0，故 A2  0.
设  是 A 的任一特征值， 为对应的特征向量，即A   ，
则 2 为 A2  0 的特征值且 A2  2，因为  0，所以2  0，
从而   0，即 A 的特征值全为0.
1
 
 a2 
A  E  A   1

 
a 
 n
b2
1

 a2 a2b2




a a b
n 2
 n
b2  bn 
bn   1 b2  bn 
 

 a2bn   0 0  0 

,



 

 



 anbn   0 0  0 

所以 ( A  E ) X  0 的基础解系为
1  (b2 ,1,0,,0)T ,,  n1  (bn ,0,0,,1)T ,
故 A 的属于惟一特征值  0 的全部特征向量为
k11    kn1 n1 , k1 ,kn1 不全为零.
二. A 与对角阵相似的解题方法
例13 判断下列矩阵能否与对角阵相似.
2 0
 1
 1  2  2 




A 0
2 0 , B   0
1
0 .
  2  2 1
 0

0
1




解 A的特征值为1, 1, 2，
2 0  1 1 0
 0

 

因为 A  E   0
1 0    0 1 0 ，
  2  2 0 0 0 0

 

故 r ( A  E )  2  3  2，所以 A 不能与对角阵相似.
B 的特征值为1, 1, 1，
  2  2  2   1 1 1

 

因为 B  E   0
0
0    0 0 0 ，
 0
 0 0 0
0
0

 

故 r ( B  E )  1  3  2，所以 B 能与对角阵相似.
注：当矩阵有重特征值时，我们用定理“A 与对角阵相似的充
要条件为 r(A-iE)=n-ri”来判定 A 能否与对角阵相似，其中ri为
特征值 i的重数，n 为矩阵 A 的阶数.
 3 2  2


例14 设 A    k  1
k ，问 k 取何值时，存在可逆阵P，
 4 2  3


使 P 1 AP 为对角阵？并求P 及相应的对角阵.
解 因为
3
| A  E |   k
4
2
1  
2
2
k
3
 (  1)(  3)(  3)  8k  4k  8(  1)  2k (  3)  2k (  3)
 (  1) 2 (  9)  8(  1)  (  1) 2 (  1),
所以 A的特征值为1,1,1.
 4 2  2   2 1  1

 

由于 A  E    k 0
k     k 0 k ，
 4 2  2  0 0 0

 

而 A 与对角阵相似的充要条件为 r ( A  E )  3  2  1，从而
k  0 ，即 k  0 时，A 与对角阵相似.
 1  1
   
当 1  2  1时，对应的线性无关的特征向量为  2 与 0 ；
 0  2
   
 1
 
当 3  1时，对应的特征向量为 0 .
 1
 
 1 1 1
 1





令 P    2 0 0 ,   
 1 ，则 P 1 AP  .
 0 2 1


1




注：矩阵相似对角化的步骤：(1) 求出 A 的所有特征值 1, 2,…,
n ，若 1, 2,…, n 互异，则 A 与对角阵相似；若1, 2,…, n中互
异的为 1, 2,…, m，每个i 的重数为 ri，当 r(A- i E)=n- ri时
(i=1,2,…m)，A 与对角阵相似；否则 A 不能与对角阵相似.
(2) 当 A 与对角阵相似时，求出 A 的 n 个线性无关的特征向量 1,
2, …, n，并令 P=(1, 2, …, n)，则 P 可逆，且 P-1AP=.
 1 k 1
0





例15 设 A   k 1 l  正交相似于 1 ，求 k , l 及
 1 l 1


2




0



1
正交阵 Q，使 Q AQ   1 .


2


解 由相似矩阵的性质知：
0, 1, 2 为 A 的特征值，从而| A | 0,
| A  E | 0, | A  2 E | 0，由| A | 0，得 k  l，由| A  E | 0，得
k  l  0.
1 0 1


A   0 1 0 .
1 0 1


故
A 的属于特征值0，
1，
2 的特征向量依次为1  (1, 0,  1)T ,
 2  (0, 1, 0)T , 3  (1, 0, 1)T ，它们两两正交，将其单位化，得
T
T
1 
1 
 1
 1
T
P1  
,0,
,0,
 , P2  0,1,0 , P3  
 .
2
2
 2
 2
令 Q  P1
P2
 1

 2
P3    0
 1

2

0
1
0
1 

2
0 ,
1 
2 
0



1
则 Q 为正交阵且Q AQ  
1
.


2


 2  2 0 


例16 设三阶方阵 A    2 1  2  的特征值分别为 2,
 0 2 0 


 2



1,4，记  
1
.


4


(1) 求：可逆阵 P，使 P 1 AP  ；
(2)求：正交阵Q，使 Q 1 AQ  .
解 (1) 对特征值 1  2，求其对应的特征向量：
0  4  2 0
 4 2

 

A  1 E  A  2 E    2
3  2    2
1 0
 0 2
  0  2 2
2

 

1 0
 2


  0  1 1,
 0 0 0


故特征向量为1  (1, 2, 2) ；
T
同理求得特征值2  1 所对应的特征向量 2  (2, 1,  2)T 及
特征值 3  4 所对应的特征向量3  (2,  2, 1)T ,
2
1
1


令 P  1 ,  2 ,  3    2
1  2 ，则 P 为可逆阵且P 1 AP  .
2  2

1


(2) 因为 A 为实对称阵，1 , 2 , 3 互异，故1 ,  2 , 3 两两正交，
将它们单位化，得
1
1
1
1  1 , 2   2 ,3  3 .
3
3
3
2
1
1

1
令 Q  1 ,  2 , 3    2
1  2 ，则 Q 为正交阵且
3

2

2
1


Q 1 AQ  .
注：对于实对称矩阵 A，一定有可逆阵 P，使 P－1AP为对角阵，P
的列向量为 A 的特征向量，对角阵中主对角线上的元素为 A 的特
征值，而且也一定有正交阵 Q，使 Q－1AQ 为对角阵. 当 A 的特征
值互异时，其特征向量两两正交，只需将特征向量单位化，即可
求得正交阵 Q；当 A 有 k 重特征值时，这个k 重特征值一定对应有
k 个线性无关的特征向量，用施密特正交化方法将其化为两两正交
的向量并单位化，就求出正交阵 Q 来了.
三. 方阵 A 及其特征值、特征向量的互求
例17 设三阶方阵 A 满足 A i  i i , i  1,2,3，1  (1,2,2)T ,
 2  (2,2,1)T ,  3  (2,1,2)T , 求 A.
解 由 A i  i i 知1,2,3 为 A 的特征值，1 ,  2 ,  3 是 A 的分别属
于1,2,3的特征向量，且1 ,  2 ,  3 两两正交，将其单位化并取
2  2
1

1



1

2 , Q   2  2  1 (显然 Q 为正交阵)，
3



3
2
1
2




0  2
 7

1
1
T
则有 A  QQ  QQ   0
5  2 .
3


2

2
6


例18 设 1，
1，
 1 是三阶实对称方阵A 的 3 个特征值，1  (1,1,1)T ,
 2  (2,2,1)T 是 A 的属于特征值1的特征向量，求A.
解 设 A 的属于特征值 1的特征向量为3  ( x1 , x2 , x3 )T ，由于
A 为实对称阵，故3 与 1 及  2 正交，即
(1 , 3 )  x1  x2  x3  0,
( 2 , 3 )  2 x1  2 x2  x3  0.
解之得
3  (1,1,0)T .
 1

1
1 2
 2


1
1

令 P  (1 ,  2 ,  3 )  1 2  1，则 P 
 2
1 1 0 
 1



 2
且
1

0 1 0

 1 

A  P 1
 P   1 0 0 .


0 0 1

1




1

2
1
2
1

2

2

 1,


0

四. An 的求法
4 2
1


9
例19 设 A   0  3 4  的特征值为1,5,5，求 A .
0

4
3


解 因为 A 是 3 阶方阵且有3 个互异特征值，故可求得可逆
阵 P，使
1



1
P AP     5
,



5


从而
1 9
1
A  ( PP )  P P .
9
9
先求 P，即求 A的属于特征值1,5,5 的特征向量.
对 1  1，求得特征向量1  (1,0,0) ；
T
对 2  5，求得特征向量2  (2,1,2)T ；
对 3  5，求得特征向量3  (1,2,1) .
T
1
0  5
1 2
5

 1 1 

令 P  1 ,  2 ,  3    0 1  2 , P   0
1
2 ，则
5
0 2


1
0

2
1




1 1
1 2

1
9
9 1
A  P P   0 1  2  59
5

0
2
1


0  5
 5


1
2
 0
(5) 9  0  2
1
 5 4  59
1
  0  3  59
5
9
0
4

5

1

2
例20 求 lim 0
n 

0

解
 5  3  59 

9
4  5 .

9
35

n
1
1
3
0

2

1 .

2

3
1

2
设 A0


0

n
1
1
3
0

2

1 ,

2

3
1 1 2
则 A 的特征值为 , , ，从而 A 与对角阵相似，即存在可
2 3 3
逆阵 P，
使
1

2
A  P




1
3
  1 n
 


 2 


 P 1 , An  P


2



3


1
 
3
n




 P 1 ,

n
2 
  
3 
1

2
故 lim 0
n 

0

1
1
3
0

2

1

2

3
n
  1 n
 
 2 

 P lim
n 




1
 
3




 P 1  0.

n
2 
  
3 
n
五. 证明题
例21 设 A 为 3 阶实对称阵，1 , 2 , 3 是 A 的 3 个互异特征值，
1 ,  2 ,  3 是对应的单位特征向量. 证明
A  111  2 2 2  3 3 3 .
T
T
T
证 令 Q  (1  2  3 )，由实对称阵的特征值与特征向量的
性质知 Q 为正交矩阵，且有
 1

1
T
Q AQ  Q AQ  
2


从而


  .
3 
A  QQ 1  QQT
 1  2
 1

 3 
2


T

 1 
 T
  2 
 T 

3   3 
     2 2 2     .
T
1 1 1
T
T
3 3 3
例22 设 A 为实对称阵，证明r ( A)  r ( A ).
2
证 设 r ( A)  r，因为 A 为实对称阵，故存在可逆阵 P，使
 1




r
1
P AP  









,
0

 
0 
1 ,, r 为 A的非零特征值，即
 1




r
A  P





 12




2

r
A 2  P





从而 r ( A)  r  r ( A ).
2




 P 1 ,
0

 
0 




 P 1 ,

0

 
0 
例23 若 n 阶方阵 A 满足 A  E，求证 A  2E 可逆.
2
证(I) 只需证明| A  2 E | 0，即 2 不是 A 的特征值.
设  为 A 的任一特征值， 为对应的特征向量，即A   .
因为 A2  2，又 A2  E，故有  2，从而   1，所以
2 不是 A 的特征值，从而| A  2E | 0，即 A  2E 可逆.
证(II) 由 A2  E，得 A2  4E  3E，从而
( A  2E )( A  2E )  3E,
即
 A  2E 
( A  2 E ) 
  E,
3 

因此 A  2 E 可逆且 ( A  2 E )
－1
A  2E

.
3
例24 设 A2  A，试证明：
A的特征值只能是1 或 0.
证 设  是 A 的一个特征值， 是对应的特征向量，即
A   . 左乘 A，有 A   A   ，因为 A  A，
2
2
2
故 A  2，即   2，从而有 (2   )  0，由  0，
知2    0，也就是   1 或 0.
例25 设 A 为 n 阶方阵且 AX  0 有非零解，证明：
A以零为
一个特征值.
证 因为 AX  0 有非零解，所以| A | 0，故 0 是 A 的一个特
征值.
例26 设 A, B 均为n 阶方阵，证明AB 与 BA 有相同的特征值.
证(I) 设 0 是 AB 的非零特征值， 为 AB 对应于 0 的特征
向量，则有( AB)  0 及 B( AB)  B0  0 B .
令  B，则 ( BA)  BA( B )  B( AB)  B0  0.
若  0，有 ( AB)  A  0，这与 AB  0，0  0，
  0 矛盾，从而  0.
由此知：0 是 BA的一个特征值.
同理可证 BA的非零特征值也是AB 的非零特征值，即AB
与 BA 有相同的非零特征值. 又因为| AB || BA | ，所以 AB
与 BA 有相同的零特征值
综上所述，证明了AB 与 BA 有相同的特征值.
证(II) 只需证明| E  AB || E  BA | .
  0 时，因为
A 
 E 0  E A   E


  
,
  B E  B E   0 E  BA
AB


E
0


E
A


A
  E 

 B
,




E

 B E  
E 
  0
对上式两端取行列式，有
E
0
| E  BA |,
 B E
E A
AB
n
 E
| E  AB |,
B E

从而有| E  AB || E  BA | .
  0 时，上式显然成立. 故 AB 与 BA 有相同的特征值.
例27 设 n 阶实矩阵 A 有 n 个正交的特征向量，证明：A 为
对称阵.
设 1 , 1 ,,  n 为 A 的 n 个正交的特征向量，易知 1 , 1 ,,  n
线性无关，故 A 与对角阵 相似.
i
令 i 
, i  1,2,, n, Q  1 ,  2 ,,  n ，则 Q 为正交阵，
i
且 A  QQ 1  QQT，从而
AT  (QQT )T  QΛT QT  QQT  A,
即 A 为对称阵.
 Er
例28 设 n 阶方阵 A 与对角阵
0
| A  E | 2 r.
 Er
证(I) 由 A 与对角阵
0
0
 相似(1  r  n). 证明：
0
0
 相似知1
,1
, 
,1，
0
,

,0 为 A 的
0
r个
nr 个
特征值，从而 A  E 的特征值为2
,2
,
,2，
1
,

,1，因此



r个
nr 个
| A  E | 2  2 11  2 r.
 Er 0 
 相似，故存在可逆阵P，使
证(II) 因为 A 与 
 0 0
 Er 0 
 Er 0  1
1
，即 A  P
 P . 所以
P AP  
 0 0
 0 0
 Er
A  E  P
0
 Er
 P 
 0
 2 Er
 P
 0
0  1
 P  PP1
0
从而| A  E | 2 .
r
0   Er
  
0  0
0  1
 P .
En  r 
0  1
 P
En  r  