Transcript 离散型随机变量a. - 重庆邮电大学计算机科学与技术学院

第二章 随机变量及分布
§1 随机变量
§2 离散型随机变量及其分布
§3 随机变量的分布函数
§4 连续型随机变量及其概率分布
§5 随机变量的函数分布
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重庆邮电学院计算机学院数学部
§1 随机变量
•
随机变量的引入与 例1 、例2
•
定义: 设随机实验的样本空间为S={e}，
X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值
函数,，X=X(e)为随机变量。
•
说明
•
举例与示意图2.2
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§2 离散型随机变量及其分布
•
定义：若随机变量的取值是有限个或可列
个，则称之为离散型随机变量 。
•
说明
•
要掌握离散型随机变量X的统计规律：
① 知道X所有可能的取值;
②且知每一可能取值的概率。
分布律
•
定义：设离散型随机变量X所有可能取值
为xk , 且
P{X= xk}= pk, k=1,2,…（2.1）
我们称（2.1）式为离散型随机变量X的分布律。
•
由概率定义我们得到以下两性质：
1. pk ≧0, k=1,2,…（2.2）

2.
 pk  1
k 1
(2.3)
分布律还可以用表格来表示：
x2 , …
X
x1,
pK
p1 , pK , …
例1
xn,
…
pn , …
(2.4)
离散型随机变量
a. (0—1)分布 随机变量X只可能取0与1两个
值，其分布律表格形式为：
X
pk
0
1-p
1
p
（0<p<1）
表达式：P{X=k} = p k (1-p)1-k, k=0,1
则称X服从参数为p的 (0—1)分布重要或两点分布。
（说明）
b. 伯努利实验、二项分布
一、伯努利实验
定义：设实验结果只有两种可能 A与A ，则
称为伯努利实验。将伯努利实验独立地重复地进
行n次，则称这n次实验叫n重伯努利实验。
• 说明
• 举例
二、二项分布
1. 定义：如果随机变量X的分布如下：
P ( X=k ) = C nk p k q n-k ,
k=0,1,2,…n.
(2.3)
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为 n, p 的
二项分布，或用记号
X ~ b(n, p)
来表示。
2. 二项分布的推导过程与说明
3. 举例（ 例2，例3，例4 ）
C. 泊松分布
1. 定义：如果随机变量X的概率密度如下：
k
λ λ
P(X  k) 
e , k =0,1,2,… ( >0) , (2.4)
k!
则称X服从参数为  的泊松分布，记作：
X ~  ( )
2. 说明
3. 举例
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§3 随机变量的分布函数
•
定义： 设X是一个随机变量，x是任意实数，
函数：
F(x)=P{X≦x}
称为X的分布函数。
•
说明
•
基本性质
•
举例（例1，例2）
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•
为了进一步用数学方法研究随机实验，我们
把实验结果与实数对应起来，即将实验结果数
量化，引入随机变量的概念。
•
随机实验的结果很大部分直接与数值有关,
如：产品抽样中的次品数目，多次重复抛掷硬
币的实验中出现正面次数等等。
•
而有的实验结果与数值无直接关系，我们可
以把它映射为数值来表示，如：硬币抛掷中出
现正面用“0”来表示，出现反面用“1”来表示。
例1：在一袋中装有编号分别为1，2，3的3只球，
在袋中任取一只球，放回，再取一只球，记录它
们的编号。考察两只球的编号之和。则实验的样
本空间S={e}={(i,j)} i,j=1,2,3。 i,j分别为第一，第
二次取到球的号码。
以X表示两球号码之
和，得到样本空间
的每一个样本点e，
X都有一值与之对
应，如图2-1。
例2：抛掷一硬币3次，考查3次抛掷中，出现H的
总次数，并记为X。引用第一章§2的表示法，可
得样本空间与X的取值的对应关系，如下表：
样本点 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT
X的值
3
2
2
2
1
1
1
0
•
此前例1，例2中的X均为随机变量。
•
例3：某射手每次打中目标的概率为0.8，该射手不断向
目标射击，直到打中目标为止，则此手所需射击次数X
是一随机变量。
•
例4：某车站每间隔5分钟有一公共汽车经过。若某人
随机到达此站，则他等车的时间X是一随机变量。
•
例5：某元件的可能寿命X 是一随机变量。
•
例6：一新生婴儿的性别记为X，当是男婴取X为1，当
为女婴时取X为0，则未出生前此婴儿的性别X为随机
变量。
 实值单值函数的映射不是指单射，而是相对于多
值函数的一般映射。
 严格定义中“集合{e|X(e) ≦x,任 x∈R}有确定的概
率”应加入定义。但实际中不满足此情形很少见，
固未加入定义。
 本书中，一般大写：X，Y，Z, W，…表随机变量，
小写：x, y, z, w，…表实数。
更多
 随机变量取值随实验结果而定，在实验之前不
能预知它的结果, 且其取值都有一定的概率,
固与一般函数有本质区别。
 L为一实数集，X在L上取值记为{X∈L}, 它表
示事件B= {e|X(e)∈L},即B是S中使所有样本点e
所组成的事件，此时有P{X ∈ L}=P(B)=
P{e|X(e)∈L}。
如：在例2中取X为2，记为{X=2}，它表事件
B={HHT,HTH,THH},P{X=2}=P(B)=
P{HHT,HTH,THH}=3/8。
例1：设一汽车在开往目的地的道路上要经四组信号灯,
每组信号灯以1/2的 概率允许或禁止汽车通过。以X表示
汽车首次停下时，它已通过的信号灯组数（设各组信号
灯的工作相互独立），求X的分布律。
分析：在第 i (1,2,3 ,4 )组信号灯前停下时，通过的信灯数
为 i -1且此事件发生的概率为(1/2) i-11/2 (因子 (1/2) i-1表示
前 i -1个允许通过的概率，因子1/2表示被第 i 个禁止通过
的概率)，同理，能到达目的地的概率为 (1/2)4。（解答）
解：以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，
X所有可能取值为0，1，2，3，4。得X的分布律
为：P{X= k}= (1-p)k p , k=0,1,2,3, P{X= 4}=
(1-p)4。用表格表示如下：
X
0
pk
p
1
2
3
(1-p) p (1-p)2 p (1-p)3 p
4
(1-p)4
代入p=1/2可得结果，可验证此结果满足分布
律两性质。
说明：
任一实验，若结果只有两个即S={e1,e2},
则总可定义：X=X(e)=
0,当e  e1

1, 当e  e2
，显然
X服从(0—1)分布。
比如新生 婴儿是男还是女，明天是否下雨，
抛一硬币是否出现正面等。
说明：
记P( A)=p (0<p<1),则P( A)=1-p。n重伯努利
实验定义中“重复”是指每次实验中
A与A
生
发
的概率不变。“独立”是指各次实验互不影响。
A与A
记第i次实验结果为ci , ci为
，i=1,2,3,…n.
由独立得到：
P{c1 , c2 ,… cn }=p(ci) p(c2) …p(cn) .
(2.5)
n重伯努利实验是一个很重要的数学模型，
有二项分布，几何分布，巴斯卡分布等常见分
布以它为模型。
举例
•
•
抛掷一个硬币观察正面反面，就是一个伯努利
实验。若抛掷n次就是n重伯努利实验。
抛掷一颗骰子，可得到6个点数，但是若我们考
察结果是否为“1点”与“非1点”，则就是一个伯努
利
实验。若抛掷n次就是n重伯努利实验。
•
在一批产品中，若做n次放回抽样，观察得到的
产品是否为次品, 则为n重伯努利实验; 若做n次不
放回抽样，由于各次实验不相互“独立”，故不是n
重伯努利实验。但是若此批产品的数目很大，抽
出的数目相对很小，则此时不放回抽样可看作放
回抽样, 如此n次不放回抽样也是n重伯努利实验
例2：
按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过
1500小时的为一级品。已知某一大批产品的一级
品率为0.2，现在从中随机地抽取20只。问20只元
件中恰有k只（k=0,1,…，20）为一级品的概率市
多少。
分析：这是不放回抽样。由于元件总数很大，
而抽取的元件数量相对很少，检查20只元件相当
于做20重伯努利实验。记X表抽取的20只元件中
一级品的个数，则：X ~ b(20,0.2)
（解答）
解：以X表示20只元件中一级品的个数。则
X ~ b(20,0.2) 。
 20 
P{ X  k}   (0.2) k (0.8) 20k , k  0,1,,20.
k 
将结果列表如下：
P{X=0}=0.012
P{X=1}=0.058
P{X=2}=0.137
P{X=3}=0.205
P{X=4}=0.218
P{X=5}=0.175
P{X=6}=0.109
P{X=7}=0.055
P{X=k} < 0.001 , 当 k ≥ 11时
P{ X=8 }=0.022
P{ X=9 }=0.007
P{X=10}=0.02
例3：
某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射
击400次，试求至少击中两次的概率。
分析：400次射击可看成400重伯努利实验。击中的
次数 X ~ b(400 ,0.02) 。“至少击中2次”等价于“击
中次数不是0或1次”。（解答）
结论：
a. 决不可轻视小概率事件。
b. 当所求事件的概率很小或很大时，可以根据实际
推断原理来判断实验的假设。
解：设击中次数为X，则 X ~ b(400 ,0.02) ，
即：
 400 
(0.02) k (0.98) 20k , k ,0,1,,400 .
P{ X  k}  
k 
所求事件概率：
P{X≥2}=1－P{X=0}－ P{X=1}
=1－(0.98)400 － 400(0.02)(0.98)399
=0.9972
例4：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发
生故障的概率是0.01，且一台设备的故障能由一个人处
理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护，
每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两
种方法在设备发生故障时不能及时维护的概率大小。
分析: 对第一种方法，“不能及时维修”等价于“4
人中任1人负责的20台中有2台或2台以上的设备
发生故障”。
对第二种方法，“不能及时维修”等价于“80
台中有4台或4台以上的设备发生故障”。（解答）
解答：对第一种方法.
以 Ai (i=1,2,3,4,) 表示“第i人维护的20台机器中发
生
故障不能及时维修”。则第一人维护的20台中同时刻
X ~ b(20,0.01)
1
发( A )  P{ X  2}  1  P{ X  2}  1   P{ X  k}
P
1
k 0
生故障的台数
 20 
 1     (0.01) k (0.99 ) 20k  0.0169
k 0 k 
1
P ( A1  A2  A3  A4 )  1  P ( A1 A2 A3 A4 )
 1  P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A4 )
则发生故障不能及时维修的概率为
 1  P ( A1 ) 4  1  0.9831 4  0.0659
对第二种方法.
80台中同时刻发生故障的设备台数 Y ~ b(80,0.01)
则发生故障不能及时维修的概率为
3
P{Y  4}  1  P{Y  4}  1   P{Y  k}
k 0
 80 
 1     (0.01) k (0.99 )80 k
k 0 k 
 0.0087  0.0659
3
比较第一、第二种方法。第二种方法虽然平均个
人任务更重，工作效率却更高。
例1：设随机变量X的分布律为
X
pk
-1
1/4
2
1/2
3
1/4
求X的分布函数，并求P{X≤1/2}， P{3/2<X ≤ 5/2}，
P{2 ≤ X ≤ 3}。
分析：由分布函数定义，可根据随机变量X的分布律
求出分布函数。再由随机变量落在任一区间上的概率
与其分布函数的关系[ 如 (3.1) ]易求解。
（解答）（结论）
解：X仅在x= -1,2,3三点的概率≠0，根据分布函数定义及
概率的有限可加性：
 0,
 P{ X  1},

F ( x)  
 P{ X  1} 

 1,
 0,
1
 ,
即：

F ( x)   4
 3,
 4
1 ,

x  1
1  x  2
P{ X  2}, 2  x  3
x3
x  1
1  x  2
2 x3
x3
F(x)的图形如图2—5，是一条阶梯形曲线，有x= -1,2,3三
个跳跃点，跳跃值分别为1/4，1/2，1/4。（转下页）
由分布函数定义：
P{X ≤ 1/2}=F(1/2) = 1/4,
P{3/2<X ≤ 5/2}=F(5/2) － F(3/2) =3/4 －1/4=1/2,
P{2≤X ≤ 3}=F(3) － F(2) ＋ P{X =2}
=1 －3/4 ＋ 1/2=3/4.
结论：对已知离散型随机变量X的分布律：
P{ X = xk }= pk , k=1,2,…
由概率的可列可加性可得出X的分布函数：
F(x) =P{ X ≤ x }=
 P{ X  xk }   pk . (3.2)
xk  x
xk  x
它在x=x(k=1,2,…)处有跳跃点，跳跃值为P{ X = xk }= pk 。
例2：
一个靶子是半径为2米的圆盘，射击中靶上任一个同
心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击
都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变
量X的分布函数。
分析：
由题目已知可得:
1. 随机变量X的实际取值范围为[0，2]，故F(x)=0,
x<0； F(x)=1, x≥2；
2. p{0≤X ≤ x}=kx2, 其中 k待定且 0≤x ≤ 2 ；
3. p{0≤X ≤ 2}=1（必然事件概率为1）。
由 1, 2,3 三点易求X的分布函数。（解答） （结论）
解：由于随机变量X的实际取值范围为[0，2]，
当x<0 时,
F(x)=0；
当x≥2时，
F(x)=1；
当0≤x ≤ 2时， P{0≤ X ≤ x}= kx2, 其中 k待定。
由于X必然落在[0，2] 上，必然事件概率为1，
所以p{0≤X ≤ 2}=1= 22k, 故k=1/4。
此时F(x)=P{X ≤ x}= P{X <0} + P{0≤ X ≤ x}
= F(0)+ 1/4 x2 = 1/4 x2 。



F ( x)  



0,
x2
,
4
1,
综上所述：
x0
0 x2
x2
F(x)图形是一个连
续曲线如图2—6所示。
F(x)还可写成以下
形式：
F ( x) 
其中
x
 f (t )dt

 t
 , 0  t  2，
f (t )   2

 0, 其它.
F(x)恰是非负函数f(t)在区间( -∞ ,x ]上积分，此时，我
们称X为连续型随机变量。
基本性质：
1. F(x)是一个增函数.
2. 0 ≤ F(x) ≤1且 F ()  lim F ( x)  0 ;
x
F ()  lim F ( x)  0.
x
3. F(x+0)= F(x),即F(x)是右连续的.
证明性质 1，2，3 分别要利用概率的：
1. 非负性，2. 规范性，3. 可列可加性.
故分布函数的三个基本性质正好对应于概率的三
个基本性质。
证明：
1. 任x1 , x2  R且x1  x2 .
F ( x2 )  F ( x1 )  P{x1  X  x2 }  0故F ( x)是增函数。
2. F ( x)  P{ X  x},由概率的规范性与非负 性得：
0  F ( x)  1。而F ()  1, F ( )  0 可从几何上利用规
范性加以说明。
3. 记{xn }是严格递减的数列且 xn  x.

F ( x1 )  F ( x)  P{x  X  x1}   [ F ( xn )  F ( xn 1 )]
n 1
 F ( x1 )  lim F ( xn )  F ( x1 )  F ( x  0)
n 
故F ( x)  F ( x  0)
• 分布函数F(x)表示事件{X≤x}( 即X的取值落在
区间(－∞,x]上 )的概率 。
• 对于任意实数 x1, x2 (x1 < x2)，有
p{ x1<X ≤ x2 }= p{ X ≤ x2 } － p{ X ≤ x1 }
= F(x2) － F(x1) 。
( 3.1 )
• 已知X的分布函数，就能知道X落在任一区间
(x1, x2]上概率，分布函数完整描述了随机变量
的统计规律性。
• 通过分布函数，我们能更进一步利用数学分析
方法研究随机变量。
 二项分布的数学背景
在n重伯努利实验中，p为事件A在每次实验
中发生的概率，定义随机变量X为：“n重伯努
利实验中事件A发生的次数”，此时X所满足
的分布律就是二项分布。

公式 X ~ b(n, p) 中参数 n, p 分别表示伯
努利实验的重数，事件A发生的概率。当n=1时，
二项分布退化为
P{X=k} = p k (1-p)1-k, k=0,1.
成为（0—1）分布。
（转下页）

二项分布分表达式中C nk p k q n-k 刚好是二
项式(p+q)n 的展开式中出现的p k那一项，故称X
服从参数 n,p 为的二项分布。

X所有可能取值为0，1，2，…，n。

显然
1. P{X=k}≥0，k=0,1,2, …n;
 n  k nk
2.  P{ X  k}     p q  ( p  q)n  1.
k 0
k 0 k 
n
n
二项分布满足分布律两性质。
求P{X=k}，即是求n重伯努利实验中事件A
发生k次的概率。事件A发生k次的实验的可能方
式有 C nk 种，它们是两两互不相容的，且每种发
生的概率相同。由于各次实验相互独立, 故每种
方式发生的概率为: pk (1－ p)n-k 。
记q=1－p，即有：
 n  k nk
P{ X  k}    p q , k  0,1,2,n.
k 
(2.6)

 为泊松 分布参数且必大于0；

X所有可能取值为0，1，2，… ；
当0    1，k=0时P{X=k}取最大值; 当   1,
以k与P{X=k} 分别作为横纵轴的图形呈“峰”

形。
 易证
1. P{X=k}≥0，k=0,1,2, …n;
n k
k e 

2.  P{ X  k}  
e 
k 0
k  0 k!
k  0 k!
n
满足分布律性质。
n
 e    e   1.
现已发现许多随机现象服从泊松分布。这情形
特别集中在两个领域中。
一是社会生活中：如电话交换台中收到的呼叫
次数，公共汽车站到来的乘客数，某地区某时间
间隔内发生的交通事故等等。
二是物理学领域：放射性物质经过某区域的质
点数，热电子的发射，显微镜下某区域的微生物
或血球数目等等。
因此，泊松分布在运筹学，管理科学，物理学
等方面有重要地位。
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§4
1.
2.
3.
4.
连续型 随机变量及其概率概布
定义
概率密度的性质
注意
几种重要的连续型随机变量
1）均匀分布
2）指数分布
3）正态分布
定义：
若对随机变量的分布函数 F(x)，存在非负数
f(x)，使对于任意实数x有
F ( x) 
x
 f (t )dt

(4.1)
则称X为连续型随机变量。其中 f(x) 称为的
概率密度函数。
返回
定义：
若对随机变量的分布函数 F(x)，存在非负数
f(x)，使对于任意实数x有
F ( x) 
x
 f (t )dt

(4.1)
则称X为连续型随机变量。其中 f(x) 称为的
概率密度函数。
返回
例1、
设随机变量 X具有概率密度
0 x3
kx,

x

f ( x )  2  ， 3  x  4
2


其它
0,
(1)确定常数 k；（2）求X的分布函数；
7
（3）求P{1  X  }.
2
解: (1), (2), (3)
注意：
 1 改变f(x) 的个别值并不影响F(x)的取值。
 2 P{x1<X≤x2} 表示在区间( x1,x2 ]上曲线 y=f(x)
之下的曲边梯形的面积.
P{ X  L}   f ( x)dx
xL
 3 P{x<X≤x+△x} ≈f (x) △x
 4 P{X=a}=0,其中a为任意实数。
 5 P{a<X≤b} =P{a<X<b }=P{a≤X≤b }.
返回
几种重要的连续型随机变量
（一）均匀分布
1 定义：连续型随机变量X具有概率密度
 1
,

f ( x)   b  a

0
a xb
其它
则称X在 (a, b) 上服从均匀分布，
记为： X～U(a, b).
2
分布函数
x  a
0

xa
F(x) = 
a  x  b

b  a
x  b

1
3 性质：X落在(a,b) 中任意等长度的子区间上的等可
能性相同。
对任意L，若a≤c<c+L ≤b,即在长度为L的子区
间（c,c+L）上有
P{c<X ≤ c+L}=
c L
c

4 例题2
c L
c

f ( x)dx
L
1
dx 
ba
ba
返回
（二）指数分布
1 定 义：设连续型随机变量X的概率密度为
 1  x /
,
x  0,
 e
f ( x)  

， 其它
0
其中 为常数，则称X服从参数为 的指数分布。
2 分布函数
x


1  e  ,
F ( x)  

0
x  0,
其它。 返回
3 性质：指数分布的无记忆性
 对于任意s,t>0,有P{X>s+t|X>s}= P{X>t}
 证明： P{X>s+t|X>s}
= P{X>s+t,X>s}/ P{X>s}
= P{X>s+t}/ P{X>s}
=[1-F(s+t)]/ [1-F(s)]
= e  ( s  t ) /  e  s /   e t / 
=P{X>t}.
（三）正态分布
1 定义：设连续型随机变量X的概率密度为
( x )2
1  2 2
(4.1)
f ( x) 
e
  x 
2 
其中 , 为常数，则称X服从参数为  , 的
正态分布或高斯分布，记为X~N(  ,  2)。
2 分布函数
F( X ) =
1
2 

x

e

(t   )2
2
2
dt
   x  
返回
3 正态分布概率密度的性质
 (1) f(x)≥ 0
 (2)



f ( x)dx  1
 (3) 曲线关于x=  对称。
 (4) 当x=  取得最大值
f ( ) 
1
2 
 (5) 改变 或 对图形的影响。（制图）
4
标准正态分布 若X~N(  ,  2 ), 当   0,  1
则称X服从标准正态分布。
5 定理 若X ~ N（ ,  ），则Z=
2
Z ~N（0，1）。
X 

6 标准正态分布的性质及应用
(1)
(2)
( x)  1  ( x)
P{x1  X  x2 }
 P{
x1  

X 

x2  
}



x2  
x1  
 (
)  (
)


（3）3 法则
P{    X     }   (1)   ( 1)
 2 (1)  1  68 .26 0 0
P{  2  X    2 }   ( 2)   ( 2)
 2 ( 2)  1  95 .44 0 0
P{  3  X    3 }   (3)   ( 3)
 2 (3)  1  99 .74 0 0
（4）标准正态分布的
分位点
（定义）
返回目录
例3
将一温度调节器放置在贮存着某种液体
的容器内，调节器整定在 液体的温度（以
计）是一个随机变量，且X N（d,0.5) （1）
若d=90,求X小于89的概率。
（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率
不低于0
.99,问至少为多少？
求解
（1） P{ X < 89 }
X  90 89  90
 P{

}
0.5
0.5
89  90
 (
)   ( 2)  1   ( 2)
0.5
 1  0.9772 0.0228
(2)
0.99  P ( X  80 )
X d
80  d
 P{

)
0 .5
0 .5
X d
80  d
 1  P{

)
0 .5
0 .5
80  d
 1  (
)
0 .5
80  d
即 (
)  0.01
0 .5
80 d
即
 2.3 2 7
0.5
故需d  8 1.1 6 3 5
在点x处增加微小的增量 x，则
x  x
F ( x  x )    f (t ) dt
F ( x  x )  F ( x )
x  x
  
x  x
 x
x
f (t ) dt    f (t ) dt
f (t ) dt
由积分中值定理得
F ( x  x )  F ( x )  f ( ) x, x    x  dx
F ( x  x )  F ( x )
 f ( ),
x
又f ( x )在点x处连续，且 x  0,   x,
对上式两端求 x  0时极限，有
F ( x )  f ( x )

-
解：（1）由
3
0
f ( x ) dx  1, 得
4
(
3
 k xdx  
x
2  ) dx  1
2
1
解得k  , 于是X的概率密度为
6
x
0 x3
6 ,

x

f ( x )  2  , 3  x  4
2

其它
0,


•返回
( 2)
0
 x

 0
F ( x)  
 3
 0
1

x0
x
dx
6
x
x
x
dx  3 ( 2  ) dx,
6
2
P{1  x 
3 x  4
x4
0,
 2
x
 12
F ( x)  
2
 3  2 x  x ,

4

1
(3)
0 x3
x  0
0  x  3
3 x  4
x  4
7
7
11
}  F ( )  F (1) 
2
2
48
( 2)
0
 x

 0
F ( x)  
 3
 0
1

x0
x
dx
6
x
x
x
dx  3 ( 2  ) dx,
6
2
P{1  x 
3 x  4
x4
0,
 2
x
 12
F ( x)  
2
 3  2 x  x ,

4

1
(3)
0 x3
x  0
0  x  3
3 x  4
x  4
7
7
11
}  F ( )  F (1) 
2
2
48
( 2)
0
 x

 0
F ( x)  
 3
 0
1

x0
x
dx
6
x
x
x
dx  3 ( 2  ) dx,
6
2
P{1  x 
3 x  4
x4
0,
 2
x
 12
F ( x)  
2
 3  2 x  x ,

4

1
(3)
0 x3
x  0
0  x  3
3 x  4
x  4
7
7
11
}  F ( )  F (1) 
2
2
48
• 定义：设X~N（0，1），若 满足条件
P{X  z }   ,0    1.
则称点为标准正态分布的 分位点。（图形）
例如：

z
0.001
0.005
0.01
0.025
0.05
0.10
3.090
2.576
2.327
1.960
1.645
1.282
§5
随机变量的函数的分布
1. 离散型随机变量的函数分布
2. 连续型随机变量的函数概率分布
3. 定理
离散型随机变量的函数分布
已知随机变量X的分布律，求Y = g(X) (g（.）为连续函
数的分布律)
一般若已知随机变量X的分布律为
X
x1
…
xn…
…
Pk
P1
…
Pn
…
则Y = g(X)的分布律为
Y
g (x1 )
…
g(xn )
…
Pk
P1
…
Pn
…
例题1：设随机变量X具有以下的分布律，
X
-1
0
1
2
Pk
0.2
0.3
0.1
0.4
试求Y=（X-1）2的分布律。
解： Y=(X-1)2
Pk
4
1
0
1
0.2
0.3
0.1
0.4
注：此处若有相等的项需合并
Y
0
1
4
P
0.1
0.7
0.2
返 回
连续型随机变量的函数概率分布
例题2 设随机变量具有概率密度
f X ( x),  x  
求随机变量Y=2X+8的概率密度.
例题3 设随机变量具有概率密度
  x  
x

f X ( x)   8

0
0  x  4,
其它。
求Y = X2的概率密度？
返 回
定理：
设随机变量 X具有概率密度
f X ( x ),   x  , 又设函数
g ( x )处处可导且恒有 g ( x )  0
或恒有 g ( x )  0, 则Y  g ( X )是
连续型随机变量，其概 率密度
 f X [ h ( y )] h( y ) ,   y  
fY ( y )  
其它
0
其中   min( g (  ), g ( )),
  max( g (  ), g ( )).
h ( y )是g ( x )的反函数。
（证明）
例题4 设随机变量 X ~ N（， 2）
， 试证
明X的线性函数Y=aX+b也服从正态分布。
例题5 设电压V=Asin  ，其中A是一个已知的
且有 ~ U（ 
 
2
,
2
)，试求电压V的概率密度。
思考题： 设电压V=Asin ，其中A是一个已知的正
常数并有 ~ U (0， ) ，求电压V的概率密度。
注：此时V=Asin  在（0， ）
上不是单调函数，
不能再使用上述方法。（解）
返回目录
解：X的概率密度为
f ( x) 
1
e
2 
由y=ax+b得x=
( x  )2

2 2
，
  x  
y b
1

, 且有 h ( y ) 
a
a
则由定理得Y=aX+b的概率密度为（下一张）
1
y b
fY ( y ) 
f(
),   y  
a
a
y b
)2
a

2
2

e
(
即
1

a
1
fY ( y ) 
a
1
e
2 

1
2 
[( y  ( b  a )] 2
2 ( a ) 2
,  y  
即有Y  aX  b ~ N ( a  b, ( a ) ).
2
返回
 
解：v  g ( )  A sin  , g ( )  A cos  0, 其中 （  ， ），
2 2
v
1
且有反函数  h(v)  arcsin , h(v) 
 0,
2
2
A
A v
又 的概率密度为
 
1
 （  ， ）
 ,
f ( )  
2 2
0
其它。
由（5.1)得v  A sin  的概率密度为
1

 (v )  
0

1
A v
2
2
,
 Av A
其它。
解：分别记 X，Y的分布函数为 FX ( x), FY ( y ), 则
y 8
FY ( y )  P{Y  y}  P{2 X  8  y}  P{ X 
}
2
y 8
 FX (
)
2
将FY ( y )关于y求导，得 Y  2 X  8的概率密度为
y 8
fY ( y )  f X ( x)  (
)
2
1 y  8 1
) , 0  y  4
 (
 8 2
2

其它
0
返回
解：分别记 X，Y的分布函数为 FX ( x), FY ( y ),
Y  X 2  0
（1） 当y  0, FY ( y )  0
（2） 当y  0，FY ( y )  P{ X 2  y}
 P{ y  X 
y}
 FX ( y )  FX (  y )
FY ( y )关于y求导得 Y的概率密度为
 1
[ f X ( y )  f X (  y ), y  0

fY ( y )   2 y
0
y0

注：若X ~ N（0，
1），则Y  X 2服从自由度
为1的 2分布
定义
返 回
 2分布，若随机变量具有概率密度
 1
 1  x 
x e ,x 0
 n2
f ( x)   2 ( )
0
其它

则称X服从自由度为n的 分布
2
返 回
证明：
1 、当g （x） 0时，因为 g（x）严格单增且可导
所以反函数 h（y）存在，且在（ ，）严格单增、可导
（1）当y  时，F（
Y y） P{Y  y}  0；
（2）当  y  时，F（
Y y） P{Y  y}  P{ g（X） y}
h（y）
 P{ X  h（y）
}   
f X（x）dx
（3）当y  时，F（
Y y） P{Y  y}  1；
所以Y的概率密度为
]h（y），  y  
 f X [ h（y）

f（
Y y） FY（y） 
0，
其它

（下一页）
2 当g （x） 0时，因为g（x）严格单减且可导
所以反函数h（y）存在，且在（，）严格单减、可导
（1）当y  时，F（
 P{Y  y}  0；
Y y）
（2）当  y  时，F（
 P{Y  y}  P{g（X） y}
Y y）
 P{ X  h（y）
} 

h( y )
f（
X x）dx
（3）当y  时，F（
 P{Y  y}  1；
Y y）
所以Y的概率密度为
]   h（y），  y  
 f X [h（y）

f（
 FY（y） 
Y y）
0，
其它

返 回