Transcript Leontief模型

LOGO
CaoYin，IIC Lab
Introduction of Some
Economic Models
2010.4.21
Contents
1
Leontief Model
2
Credit Metric Model
3
KMV Model
www.themegallery.com
LOGO
Leontief Model
Leontief模型(W Leontief, American Economist, produced in 1920s) 是一种用于
作投入产出分析的，对经济系统进行数学分析的方法。投入产出方法作为一种经济分
析的工具，已被广泛应用于多种经济问题的探讨和研究。
Leontief、Miller等对线性投入产出模型和投入产出方程的理论和应用作了系统地
研究，这类工作主要致力于：线性投入产出方程的可解性判断方法。
n
Yi  X i   xij
j 1
Where, n activities: one activityone product
Xi: total output of activity i
xij: total amount of the product of activity i used by jth activity
Yi: “final demand” of commodity i
aij: amount of activity I’s commodity needed to produce one unit of commodity j
(production coefficients)
Let , A  aij 
xij
Xj
X  X 1 , X 2 ,..., X n

(I  A) X  Y (1)
Y  Y1 , Y2 ,..., Yn
www.themegallery.com
LOGO
Closed & Open model
(I  A)X  Y
Closed Leontief model: Yi=0 for all i AX=X
Open Leontief model: Yi>0 for at least one i
Hot tip:
Given Yi known, find Xi satisfying (1)
Demand = Production !!
 X  (I  A) 1 Y  Aij Y
Exist and is a nonnegative vector
www.themegallery.com
LOGO
Dynamic
Closed model: Ax=x
Let x1 represent the initial vector of activity levels
Ax1=x2: output attributable to the activities of one time
period
……
Axn=xn+1: activity level required in (n+1)th time period
xn+1=Anx1: it is easy to impose criteria which guarantee
that x0 is a nonzero positive eigenvector of A and
possesses suitable meaning in the context of the closed
model
在投入产出分析中，Leontief模型是Von Neumann模型(A,B)的特例，是经典的线
性生产模型对线性生产模型(A,I)，企业能按其进行生产的可行性(有效性) 。可以说，
关于线性生产模型的理论已趋完善。而现实中，尤其是经济市场化的今天，各种经
济要素间的制约关系并非线性的。
非线性Leontief投入产出模型、广义Leontief条件投入产出不等式分析等为Leontief
模型近年来的研究方向。
www.themegallery.com
LOGO
Credit Metric Model
Credit Metric模型是近年来国际金融领域信用风险管理方面的重要模型之一
主要致力于单笔债券或贷款、组合债券或贷款的信用风险估值方法和应用。
该模型构造了一个模拟信贷资产所有潜在变化以及违约波动的组合计量框架。
www.themegallery.com
LOGO
Credit Metrics的特点
1 区别风险差异
头寸数据通常都保存在金融机构一系列的系统当中，包括投资组合数据、交
易账簿数据以及表外项目数据等。只要头寸数据的基础是一致的，Credit Metrics模型就
能区分出不同投资种类之间的风险差别。
2 信用事件导致的单个敞口的价值波动
信用事件包括违约事件以及评级变动。在计算整个组合的信用风险之前，需
要先计算单个头寸的信用风险。计算的风险应能囊括信贷资产在所有各种可能的评级状
态下（包括违约）的价值分布。
3 不同信贷资产变化的相关性
Credit Metrics模型最终的目的是要计算整个信贷组合的信用风险，为此必须
要估计不同资产之间的变化相关性，包括违约的相关性和评级转移的相关性。在估计组
合的信贷资产风险值方面，相关性估计至关重要。
Hot Tips：在仅知道历史数据与产品基本性质的情况下
(1)用Credit Metric模型估计一定时段内某单个贷款产品的价值以及
风险分布规律
(2)估计几个产品的相关性，并由此求出组合贷款产品的组合价值与
风险情况
(3)加入一定的优化目标与约束条件，求得最优的风险投资策略
www.themegallery.com
LOGO
单一资产价值模型
假设 : (1) 固定利率 (2) 不可提前偿还 (3)没有信用转移
资产价值：V  M 
Cn
C1
C2
M

 ... 

1
2
n
(1  r ) (1  r )
(1  r ) (1  r ) n
其中，C - -每年利息；M - -到期本金；m- -债券到期前的年数
考虑: 信用质量转移而引起的价值变化
设信贷资产价值V , 均值为，方差为 2
t时刻资产价值：Vt  V0 e
( 
2
2
) t  tZt
（对数正态分布）
ln
违约条件：PDef  Pr(Vt  VDef )  Pr(
ln
违约距离：d 
V0
 ( 
 t
2
2
)t
 Z t )  Pr( Z t 
V0
2
ln
 (   )t
VDef
2
 t
)
Vt
2
 (   )t
VDef
2
 t
ln
资产回报率：r 
VDef
Vt
2
 (   )t
V0
2
 t
其中，PDef --违约概率，VDef --违约时资产价值
www.themegallery.com
LOGO
联合资产价值模型
(1)联合评级概率:
P( SGj , STi )  
vi
vG

vj
vT
f (rG , rT ,  )drG drT
其中，联合正态分布f (rG , rT ,  ) 
1
2 1   2
 ( rG2  rT2  2 rG rT  )
e
2(1  2 )
G, T --初始评级，SGj , STi --最终评级，分别为第j 与第i 级的状态
(2)联合违约概率
违约相关性：corr ( Def1 , Def 2 ) 
P( Def1 , Def 2 )  P1 ( Def1 ) P2 ( Def 2 )
[ P1 ( Def1 )(1  P1 ( Def1 ))]  [ P2 ( Def 2 )(1  P2 ( Def 2 ))]
P( Def1 , Def 2 )= Pr(V1  VDef 1 ,V2  VDef 2 )
 Pr(r1  d 21 , r1  d 22 )  f (d 21 , d 22 ,  )
www.themegallery.com
LOGO
投资组合产品实例
输入数据
目标输出
各贷款项目金额
与利率
不同等级贷款的
收益期望值以及
挽回率
Monte
Carlo
模拟
各项贷
款年平
均收益
率的期
望值与
标准差
状态转移概率矩
阵
贷款项目收益的
历史数据
资产组合收益率的
期望(目标函数)
资产组合收
益率的方差
银行贷款准
备金要求
资产
投资
比例
Var 约 束
与 各 类
法 规 管
理约束
相关系数
矩阵
问题描述：
某商业银行拟对7个投资项目进行贷款
现已知：每个项目的形用等级以及贷款年限都不相同，从已有的历史数据出发
需要：对投资项目的未来信用等级及收益率进行评估（期望值、标准差）
来确定：资产组合目标函数、Var约束与其它约束
最终目标：最优的投资比例
www.themegallery.com
LOGO
Question1：（单一贷款）
已知：一年期状态转移矩阵、不同等级贷款的期望收益率
如何求：几年内平均收益率的标准差和期望值
一年状态转移矩阵
S
Z G , S = -1 ( PG , I )
I 1
等级阈值
PG , S  P( Z G ,S 1  r  Z G ,S )
其中，PG , S 为信用等级由G级转移到S级的转移概率
MonteCarlo模拟
各年度的信用等级转移概率
该笔贷款各年末收益模拟结果：
收益期望值： E(Yi)=不同信用转移概率×相应的贷款收益率
收益方差：D(Yi)=E(Yi2)-[E(Yi)]2
各年度的平均收益率的标准差和期望值
www.themegallery.com
LOGO
Monte Carlo模拟
二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，Monte Carlo作
为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。但其基本
思想并非新颖，人们在生产实践和科学试验中就已发现，并加以利用。
当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与之
有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，再通过它得到问题的解。
这就是Monte Carlo的基本思想。
用Monte Carlo进行计算机模拟的步骤：
(1) 设计一个逻辑框图，即模拟模型。
(2) 根据流程图编写程序，模拟随机现象。可通过具有各种概率分布的模拟随机数来
模拟随机现象。
(3) 分析模拟结果，计算所需要结果。
www.themegallery.com
LOGO
Monte Carlo模拟-续
本例中，贷款信用等级联合转移的Monte Carlo模拟
步骤如下：
(1) 由配极法，产生t个服从N(0，1)，标准化正态分布
的贷款收益率随机数r1,r2,⋯,rt。由正态分布的性质，
应分布于[-3.09，3.09]中
(2) 若ZG，S(1)-1<r1≤ZG，S(1)，则该笔贷款的第一年末的
信用等级处于S(1)等级。若S(1)=8，则该笔贷款违约，
终止模拟。否则将S(1)作为第二年初的信用等级继续
进行模拟。
(3) 依次类推，若ZS(t-1)，S(t)-1<rt≤ZS(t-1)，S(t)，则该笔贷
款的第t年末的信用等级处于S(t)等级。由此得到该笔
贷款期限内各年末信用等级的一次模拟结果。
将上述步骤重复足够多次，即足以统计分析出该笔贷
款期限内各年度末信用等级S(1),S(2),⋯,S(t)的概率分
布情况
www.themegallery.com
LOGO
Matlab模拟结果
已知数据：
输出数据：
信用等级
第一年年末
S(1)
第二年年末
S(2)
第三年年末
S(3)
第四年年末
S(4)
AAA(1)
0.00%
0.00%
0.00%
0.00%
AA(2)
0.00%
0.00%
0.01%
0.01%
A(3)
0.58%
1.68%
3.27%
5.37%
BBB(4)
12.25%
22.01%
29.84%
35.31%
BB(5)
80.81%
65.16%
52.42%
42.64%
B(6)
6.08%
10.67%
13.79%
15.86%
CCC(7)
0.24%
0.45%
0.65%
0.80%
违约(8)
0.03%
0.03%
0.03%
0.02%
收益率期望
3.89
3.97
4.10
4.23
4.05
收益率方差
2.28
3.08
3.63
3.98
3.24
平均值
以企业5为例（由蒙特卡罗方法可分别求
出7个企业个年度收益率情况，右表仅列
出了企业5的模拟收益）
7
e.g.E (Y5 )   ( R4, j  p5, j )  p5,8  RD5
j 1
 0.0058  8.21  0.1225  7.33  0.8081 3.82  0.0608  ( 1.51)
0.0024  (23.85)  0.0003  (42  100)
 3.89
7
D(Y5 )   { p5, j  [ R4, j  E (Y5 )]2 }  p4,8  [ RD5  E (Y5 )]2
j 1
 0.0058  (8.21  3.89) 2  0.1225  (7.33  3.89) 2  0.8081 (3.82  3.89) 2
0.0608  (1.51  3.89) 2  0.0024  ( 23.85  3.89) 2  0.0003  (42  100  3.89) 2
 2.28
www.themegallery.com
LOGO
Question2：
已知：单一贷款的历史收益
如何求：贷款组合的收益率期望值和方差
单一贷款的历史收益
cov(ri , rj )
各企业贷款收益率的相关系数
ij 
贷款权重向量(设定)
X T  ( x1, x2 ,..., xn )
D(ri ) D(rj )
其中，ri , rj 表示贷款i , j 的年收益
各项贷款收益率期望值与方差(Monte Carlo模拟得)
n
1年后贷款组合的市场价值
其中，V  V0 ( x1  x2  ...  xn )-贷款总金额
Ri -MC 模拟得的各贷款年平均收益率期望值
E (V1 )  V (1+ xi Ri )              (2)
i 1
n
D(V1 )=V 2 D( xi Ri )  V 2 ( X T  X )      (3)
i 1
 =diag ( 1 ,  2 ,...,  n )  各项贷款收益率的标准差
 11

 =  21


  n1
12
 22
n 2
...
...
1n 
 2 n 


 nn 
 n项贷款收益率相关系数矩阵
www.themegallery.com
LOGO
Matlab模拟结果
Matlab程序:
[him,hin]=size(HisIncome);
for i=1:him
STIncome(:,i)=std(HisIncome(i,:));
end
for i=1:him
for j=1:him
TempCor=corrcoef(HisIncome(i,:),HisIncome(j,:));
IncomeCor(i,j)=TempCor(1,2);
end
end
企业收益相关系数矩阵
企业1
企业2
企业3
企业4
企业5
企业6
企业7
企业1
1
0.211153
0.250693
0.281513
0.381545
0.555265
0.251846
企业2
0.211153
1
0.18145
-0.11705
0.338554
-0.05437
0.553672
企业3
0.250693
0.18145
1
0.416518
0.191086
0.035521
0.476686
企业4
0.281513
-0.11705
0.416518
1
0.549804
0.117973
0.353376
企业5
0.381545
0.338554
0.191086
0.549804
1
0.150853
0.6149
企业6
0.555265
-0.05437
0.035521
0.117973
0.150853
1
0.241393
企业7
0.251846
0.553672
0.476686
0.353376
0.6149
0.241393
1
公式(2)(3)
得到：贷款组合的收益率期望值
和方差
用途：控制市场风险，限制贷款
组合的损失(VaR)在一定范围内
+ 七个企业在期末收益率的标准差和期望值
期末处于各信用
等级的概率
贷款收
益率Ri
企业1
企业2
企业3
企业4
企业5
企业6
企业7
期望值
6.0799
5.5026
8.4709
7.2847
4.0461
-0.375
-15.18
标准差
0.0613
0.3642
0.3492
1.0415
3.2413
8.2051
17.539
www.themegallery.com
LOGO
目标函数与约束条件
6
7
i 1
i 1
目标函数：
max Z   wi ri   xi Ri
其中，wi , ri 表示资产权重和相应利率
(1)VAR约束：
P(V1  E (V1 )  ( R  C ))  5%
 V  E (V1 )
(R  C) 
 P 1

  5%
 D(V )

D
(
V
)
1
1 

V  E (V1 )
当贷款企业数量n足够大时，1
 N (0,1)
D(V1 )

(R  C)
 -1.65
D(V1 )
 D(V1 )  
( R  C )2
1.652
(2)银行监管约束
DLR  L / D  75%
RR  ( R  C ) / L  5%
LMR  M 1 / D  8%
其中，DLR - 存贷比例，
L - 个贷款期末余额，
D - 各项存款期末余额，
RR - 备付金比例，
R - 人行备付金存款期末余额，
C - 库存现金期末余额，
(3)准备金与库存约束
w2  6%
w3  7%
0.06%  w1  1.5%
(4)贷款结构约束
0  xi  0.2(i  1, 2,..., n)
0  wi  1(i  1, 2,..., 6)
6
n
i 1
i 1
 wi  xi  1
LMR - 拆出资金比例，
M 1- 拆出资金期末余额
www.themegallery.com
LOGO
实例结果
整理得：
max Z  0w1  0.025w2  0.025w3  0.025w4  0.03w5
0.033w6  6.0799 x1  5.5027 x2  8.4709 x3  7.2848x4
4.0462 x5  0.3748 x6  15.1753x7
D(V1 )  [1108 ( w1  w4 )]2 /1.652
贷款组合VAR约束：
存贷款比例：
x1  x2  x3  x4  x5  x6  x7  75%
备付金比例：
w1  w4  5%( x1  x2  x3  x4  x5  x6  x7 )
拆出资金比例：
w5  w6  8%(1  w2  w3  w4 )
法定 / 系统内存款准备金比例：
w2  6%, w3  7%
给予流动性 / 盈利性库存现金比例：
0.06%  w1  1.5%
贷款结构：
0  xi  0.2(i  1, 2,..., 7)
0  wi  1(i  1, 2,..., 6)
6
7
i 1
i 1
 wi  xi  1
可见，该问题可视为线
性规划问题（易求解）：
Matlab程序：
[x,fval,exitflag,output]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
X  [0.1725,0.1775,0.2,0.2,0,0,0]
W  [0.0006,0.06,0.07,0.0541,0,0.0653]
即，将1 ×108 元资金按上述结果进行投资分配,结果可使银行获
得55637307 元的最大收益.
www.themegallery.com
LOGO
KVM Model
KMV模型的基本概念:
KMV模型是用来估计借款企业违约概率的方法。该模型认为，贷款
的信用风险是在给定负债的情况下由债务人的资产市场价值决定的。但资产
并没有真实地在市场交易，资产的市场价值不能直接观测到。
为此，模型将银行的贷款问题倒转一个角度，从借款企业所有者
的角度考虑贷款归还的问题。在债务到期日，如果公司资产的市场价值高于
公司债务值（违约点），则公司股权价值为公司资产市场价值与债务值之间
的差额；如果此时公司资产价值低于公司债务值，则公司变卖所有资产用以
偿还债务，股权价值变为零。
KMV模型的运用步骤:
（1）利用Black-Scholes期权定价公式，根据企业资产的市场价值、资产价值
的波动性、到期时间、无风险借贷利率及负债的账面价值估计出企业股权的市
场价值及其波动性。
（2）根据公司的负债计算出公司的违约实施点 (default exercise point，为
企业1年以下短期债务的价值加上未清偿长期债务账面价值的一半)，计算借款
人的违约距离。
(3)根据企业的违约距离与预期违约率(EDF)之间的对应关系，求出企业的预期
违约率。
www.themegallery.com
LOGO
KMV模型的基本思路:
当企业资产市场价值V低于企业所需清偿的负债面值D时企业将发生违约
违约距离DD：表示企业资产市场价值期望值V距离违约点值DP的远近（DD越大，违
约的可能性越小）
由企业违约数据库，映射违约距离企业实际的期望违约频率EDF以及未来违约概率
计算企业的期望违约频率有三步：
1. 估计企业资产市场价值V和波动率σv ；
2. 计算违约距离DD；
3. 计算期望违约频率EDF
问题点：
V和σv不能直接观测到
解决方法：
从V和σv与股权市场价值E、股权市场价值波动率σE以及企业负债面值D之间的关系中
推导得出
式中，E为企业股权市场价值,D为企业债务面值
r为无风险收益率,τ为债务偿还期限,
V(d)为标准累积正态分布函数
σE为企业股权市场价值波动率
DD-负债企业的违约距离,DP-违约点值
www.themegallery.com
LOGO
实例分析
1.上市公司股权市场价值波动率的估计
采用历史波动率法估计上市公司股权市场价值未来一年的波动率。假设上市公司股票价格满足对数正态
分布，则股票周收益率ui为：
式中：Si,Si − 1为股票复权后的周收盘价，E为一年内的交易周数。计算出公司股权市场价值的年波动率σE ，
2.上市公司股权市场价值计算方法
流通股市场价值=12月份周平均收盘价格×流通股股数
非流通股市场价值=每股净资产×非流通股股数
上市公司股权市场价值=流通股市场价值+非流通股市场价值
3.债务面值、债务期限和无风险利率
表 一年期定期存款利率表
年份
1999年
2000年
2001年
2002年
年利率
r=2.25%
r=2.25%
r=2.25%
r=1.98%
公司债务面值D为公司财务年报中总负债面值。设定违约距离的计算时间为一年，即τ = 1。无风险利率
使用中国人民银行公布的一年期定期整存整取的存款利率。
4.违约点的确定
分别讨论三种情况：
(1)违约点值DP=流动负债
(2)违约点值DP=流动负债+50%长期负债
(3)违约点值DP=流动负债+75%长期负债
www.themegallery.com
LOGO
实例分析结果
(1)违约距离检验结果表
违约点值DP
均值
DP=流动负债
t-检验
前4年
前3年
前2年
前1年
ST公司
2.2942
3.0785
2.1722
2.2933
非ST公司
2.3787
3.2987
2.4798
3.0445
均值差
-0.0845
-0.2202
-0.3076
-0.7512
t-值
-0.6299
-1.1968
-1.9480
-3.0077
P值(双尾)
0.5316
0.2364
0.0565
0.0039
z-值
-0.5656
-0.5862
-1.8409
-3.4041
P值(双尾)
0.5716
0.5577
0.0656
0.007
均值差
-0.0547
-0.1772
-0.3264
-0.7583
t-值
-0.4294
-0.9808
-2.0889
-3.3978
P值(双尾)
0.6695
0.3308
0.0413
0.0014
z-值
-0.3805
-0.3805
-2.0260
-3.3218
P值(双尾)
0.7036
0.7036
0.0428
0.0009
ST公司
2.2423
3.0290
2.1043
2.1429
非ST公司
2.2820
3.1847
2.4395
2.9071
均值差
-0.0397
-0.1557
-0.3352
-0.7643
t-值
-0.3176
-0.8641
-2.1511
-3.5263
P值(双尾)
0.7521
0.3911
0.0358
0.0010
z-值
-0.4217
-0.2365
-2.0465
-3.3835
P值(双尾)
0.6733
0.8130
0.0407
0.0007
Wilcoxon检验
t-检验
DP=流动负债+50%长期负债
Wilcoxon检验
均值
DP=流动负债+75%长期负债
t-检验
Wilcoxon检验
www.themegallery.com
LOGO
实例分析结果
图1 被ST前1年ROC曲线
图3 被ST前3年ROC曲线
图2 被ST前2年ROC曲线
图4 被ST前4年ROC曲线
www.themegallery.com
LOGO
KMV vs. Credit Metrics
KMV model和Credit Metrics model是目前国际金融界最流行的两个信用风险管理模型
。两者差异主要表现在以下几个方面:
1、KMV模型对企业信用风险的衡量指标edf主要来自于对该企业股票市场价格变化的
有关数据的分析，而credit metrics模型对企业信用风险的衡量来自于对该企业信用评
级变化及其概率的历史数据的分析。
2、KMV模型是一种动态模型，可以随时根据该企业股票市场价格的变化来更新模型
的输入数据，及时反映信用风险水平的变化。Credit Metrics采用的是企业信用评级指
标分析法，在相当长的一段时间内保持静态特征。
3 、KMV模型被认为是一种forward-looking的方法，edf指标中包含了市场投资者对
该企业信用状况未来发展趋势的判断。credit metrics模型采用backward-looking的方
法,主要依赖信用状况变化的历史数据。
4 、KMV模型的EDF指标是一种对风险的基数衡量法，而Credit Metrics所采用的与
信用评级分析法则是一种序数衡量法。以基数法来衡量风险最大的特点在于不仅可以反
映不同企业风险水平的高低顺序，而且可以反映风险水平差异的程度，因而更加准确。
而序数衡量法只能反映企业间信用风险的高低顺序，如bbb级高于bb级，却不能明确说明
高到什么程度。
5、Credit Metrics采用的是组合投资的分析方法，注重直接分析企业间信用状况变
化的相关关系，因而更加与现代组合投资管理理论相吻合。而KMV则着重分析单个授信企
业体现在股价变化信息中的自身信用状况，对企业信用变化的相关性没有给予足够的分
析。
www.themegallery.com
LOGO
LOGO
Cao Yin