Transcript 广义维纳过程

投资学专题7：
金融衍生产品定价
复旦大学金融研究院 张宗新
outline
资产价格运动的随机过程
 二叉树模型及其在衍生产品定价中的应用
 Black-Scholes 期权定价模型在衍生产品
定价中的应用
 Monte Carlo模拟在衍生产品定价中的应用


第一节 资产价格运动的随机过程

金融资产价格的运动随时间变化，形成一个随机过程。随
机过程是用来描述随机变量随着时间变化的统计术语。观
测到的价格是随机过程的一个实现，随机过程的理论是对
观测到的价格进行分析和作出统计推断的基础。
资产价格波动的随机过程

一、Wiener过程或Brownian运动

1、维纳过程（Wiener Processes）
股价行为模型通常用维纳过程来表达。理解遵循维纳过程的变量z的
行为，可以考虑在小时间间隔上变量z值的变化。设一个小的时间间
隔长度为△t,定义 z 为在△t时间内z的变化。要使z遵循维纳过程，
△z必须满足两个基本性质：
性质1：△z与△t的关系满足方程式


z   t







其中为从标准正态分布N（0，1）中抽取的一个随机值。
性质2：对于任何两个不同时间间隔△t,△z的值相互独立。
2、广义维纳过程（Generalized Wiener Process）
变量x的广义维纳过程用dz定义如下：
dx=adt+b dz
其中a和b为常数。理解方程较好的方法是分别考虑方程右边的两个组
成部分。adt项说明了x变量单位时间的漂移率期望值为a。如果缺省
bdz项，方程变为dx =adt dx/dt=a
即 x= x0+ at
维纳过程
内幕交易
概率预测
模型 示意
图
《管理世
界》
2008.4

二、Ito（伊藤）引理

一般维纳过程的漂移参数和波动率参数都是不随时间变化的。如果进
一步扩展模型，允许 和  是随机过程 xt的函数，那么我们就可以引
出一个伊藤过程。
伊藤过程，是指如下随机过程：
dx   ( x, t )dt   ( x, t ) dt


其中， dz   dt 是一个标准布朗运动， 、 是变量x和t的函数。






为表述伊藤引理，将资产的随机过程表述为如下方程：
dS   Sdt   Sdz
也就是说，用漂移率  S 和波动率 S 的伊藤过程表示资产
价格的动态。
在时间间隔为 t 后，资产价格的变化比率为：
S
 t   t
S
可见，S / S也具有正态分布特征，其均值为t ，标准差
为  t ，方差为  2 t 。
资产价格运动的随机过程



三、漂移参数  和波动率参数 的估计
上述方程的几何布朗运动中有两个未知参数 和 可以用经验方法进
行估计。假定我们有股价Pt 在等时间间隔 t 上的个观测值，观测到的
股价序列 P1, P2 , , Pn  ，其中 t  1, 2, , n 。
令 rt  ln(Pt )  ln(Pt 1 )，存在 Pt  Pt 1 exp(rt ) ，其中 rt 为第t个时间间隔上的连
续复合收益率。根据Ito引理，并且假定股价 Pt 服从一个几何布朗运动，
2
我们得到 rt 服从均值为(   / 2)t ，方差为 2 t 的正态分布。
第二节二叉树模型及其在衍生产品定价中的应用

一、二叉树模型（Binomial Tree Model）

二叉树期权定价模型假定，在每一期股票价格可以沿两个方向—
—向上或向下——中的任何一个方向变动。因此，可以将将时间T
分为很多小的时间间隔 ,在一个时间间隔内证券价格价格只有两
种运动可能：从开始的S上升到原来的u倍，即Su；或下降到原来
的d倍，其中u>1，d<1(一般假定 u  1 )。也就是说，股价上升或
d
t
下降分别用u和d表示，而在每一个
t ,股票价格变化由S到Su或Sd.
若价格上扬的概率为p, 那么下跌的概率为q=1- p。
p
uS0
S0
1-p
dS0
二叉树模型及其在衍生产品定价中
的应用




二、二叉树期权定价模型
二项式期权定价模型(Binomial Option Pricing Model，简
称BOPM)是对期权进行估价方法，它是通过统计中的二
项分布，假定只有两种可能结果而推算出来的。
下面，我们可以分六步骤对看涨期权的二项式期权定价模
型进行分析：
第一步：分析股价的未来可能运动形态;第二步：列出期
权的价格分布;第三步：构建对冲投资组合;第四步：对保
值比率进行求解;第五步：用净现值法（NPV）解出买入
期权的价格;第六步，将单期扩展之多期。
假定不支付红利股票的的3个月期的美式看跌期权，股票价格15元，
执行价格15元，无风险利率为3%，波动率为50%。即：S=15，
X=15，r=0.03， =0.5，T=0.25。
为构造二叉树，假定到期期限分为4个阶段，每段长度
=0.25/4=0.0625。
二叉树模型及其在衍生产品定价中
的应用



三、二叉树模型在可转债定价中的应用
可转债的二叉树定价步骤如下：
第一步，先计算出对应股票的二叉树节点上的数值。利用股价的历史
数据（一般利用过去3个月或者半年的股价数据）估计出股票的波动
率  ，然后计算出二叉树的几个重要参数。
r t
u  e t , d  1/ u, p  (e
 d ) (u  d )
rf

t

(
T

t
)
m
其中
，t，T分别指的是可转债的初始和期末时刻， 为无风
险利率，使用这些参数就可以推出股票的价格树图。
第二步，通过可转债的相关条件来递推价格树中各个节点的可转债的
价格。
f


二叉树模型及其在衍生产品定价中
的应用
105
实际价格
理论价格
104
103
102
101
100
99
98
-1
-8
13
20
27
10
15
22
29
-6
-3
9
9
0
1
10
10
10
11
-9
-9
-9
-1
-1
05
05
5
5
5
5
5
0
0
0
0
0
05
05
05
05
应用二叉树模型，Matlab程序对西钢转债进行拟合。
第三节 Black-Scholes期权定价模型
在衍生产品



一、 Black-Scholes 期权定价模型
1973年，美国芝加哥大学教授费希尔·布莱克和迈伦·斯科
尔斯提出了有史以来的第一个期权定价模型，即布莱克斯科尔期权定价模型（Black-Scholes Options Pricing
Model，BSOPM)。
布莱克－斯科尔斯推导出了一个确定期权价格的明确公式，
 r (T t )
即：
c  SN(d1 )  Xe

其中
N (d 2 )
1
ln( S / X )  (r   2 )(T  t )
2
d1 
 T t
1
ln( S / X )  (r   2 )(T  t )
2
d2 
 d1   T  t
 T t

二、B-S期权定价求解

由于BS公式是关于期权定价的连续时间公式，因此容易分析期权价
格的敏感性，即可以利用BS公式求出的看涨期权的价格同看涨期权
的内在价值进行比较分析，分析两者随着股票价格变化的差异。
12
期权价值
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
看涨期权的价格和内在价值
资产价格
BS公式求出的看涨-看跌期权价格
BS公式的EXCEL求解过程。在此，股票价格S为25元，执行价格X为25
元，无风险利率为8%，股票的波动率为30%，期权的到期年限为0.5年
。计算相应的看涨期权的价格。
运用B-S公式进行期权定价求解
当前股价
25
执行价格
25
无风险利率
8%
到期时间（年）T
0.5
股价波动率
30%
股票价格
看涨期权价格
内在价值
2.597032043
0
10
1.29408E-05
0
12.5
0.001053997
0
15
0.018528597
0
d1
0.294627825
17.5
0.129037806
0
d2
0.082495791
20
0.49746469
0
0.615860834
22.5
1.297035624
0
N(d1)
N(d2)
0.532873834
25
2.597032043
0
27.5
4.341892958
2.5
30
6.411299266
5
32.5
8.684918903
7.5
35
11.07341867
10
看涨期权价格
看跌期权价格（利用平
权）
看跌期权价格（利用
BS公式）
2.597032043 S*N(-d1)-X*exp(-r*T)*N(d2)
1.616768021 C-S+X*exp(-r*T)
1.616768021 X*exp(-r*T)*N(-d2)-S*N(d1)
20
05
-1
20 205 05
-1
20 206 21
20 0106 10
-0
20 206 06
-0
20 206 22
20 0306 13
-0
20 306 29
20 0406 14
-0
20 506 09
-0
20 506 25
20 0606 12
-0
20 606 28
-0
20 706 14
20 0806 01
-0
20 806 17
-0
20 906 04
20 0906 20
-1
20 006 13
-1
031
Black-Scholes期权定价模型在衍生
产品
6
鞍钢JTC1 - 实际价格
5
鞍钢JTC1 - 理论价值
4
3
2
1
0
鞍钢权证的理论价格和实际价格
三、波动率与波动率微笑
1、历史波动率


对于理想的欧式期权而言，BS期权定价模型仅依赖于五
个参数：股票价格、期权的执行价格、期权的到期时间、
无风险利率和股票的价格波动率。在这些参数中，和由发
行的金融合约的条款所定，和可从市场得到。唯一需要确
定的参数就是波动率。
请注意，BS模型中波动率是指在t  0 到 t  T 的未来时期
内的标的资产的波动率。由于在现实金融市场上，证券价
格的波动是一个随机过程，估计波动率并不是一件简单的
事情。通常，有两种方法可以对波动率进行估计，即历史
波动率(historical volatility)与隐含波动(imp volatility)。


（1）方差估计法
计算方式如下：先计算出标的资产价格S第i天的报酬u ，
即ui =ln(Si/Si-1)，利用此前一段时间（可选择3个月、半年）
资产报酬数据，估计日报酬的标准差。即：
t

1 m
 
(uni  u )2

m  1 i 1
2
u

m
1
 un  i
m i 1

1 m
(u n  i  u ) 2

m  1 i 1
这里，
为 u i的算术平均。u i 的标准差相当于  的
估计值，其中  为时间间隔长度（以年为计算单位）。
鞍钢股份的历史波动率
2006-11-23
2006-11-08
2006-10-24
2006-10-09
2006-09-15
2006-08-30
2006-07-11
2006-06-01
2006-05-11
2006-04-19
2006-04-04
2006-03-14
2006-02-22
2006-02-07
2006-01-11
2005-12-20
2005-12-05
2005-11-18
2005-11-03
2005-09-07
2005-08-23
2005-08-08
2005-06-24
2005-06-09
2005-02-25
2005-02-01
0.14
Volatility
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
鞍钢股份的波动性（GARCH估计）
2006-11-23
2006-11-08
2006-10-24
2006-10-09
2006-09-15
2006-08-30
2006-07-11
2006-06-01
2006-05-11
2006-04-19
2006-04-04
2006-03-14
2006-02-22
2006-02-07
2006-01-11
2005-12-20
2005-12-05
2005-11-18
2005-11-03
2005-09-07
2005-08-23
2005-08-08
2005-06-24
2005-06-09
2005-02-25
2005-02-01

（2）GARCH(1,1)模型估计
volatility
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0

2、隐含波动率
确定波动率的第二种方法是估计隐含波动率。隐含波动率是另外
一种定义，假定：
 S0 为当前股票价格；K为执行价格；T为到期时间；r为无风险利率；
V为期权当前的市场价格。
 利用上述参数，通过数值方法求解下式，可以得到隐含波动率的
V (S , T  t )  SN (d1 )  Ker (T t ) N (d2 )
值：
 其中，时间从到期日起以天计，且：

ln(S / K )  (r   I 2 / 2)(T  t )
d1 
I T t
d2  d1   I T  t
华菱权证的历史波动和隐含波动
2日
9日
0.5
11
月
12
日
14
日
9月
17
日
8月
20
日
7月
22
日
6月
25
日
5月
27
日
4月
30
日
3月
10
月
20
06
年
20
06
年
20
06
年
20
06
年
20
06
年
20
06
年
20
06
年
20
06
年
20
06
年
3月
20
06
年
0.6
隐含波动率
波动率
0.4
0.3
0.2
0.1
0

3、波动率微笑（Volatility Smiles）

应用期权市场价格和BS公式推算出来的隐含波动率具有以下两个方
向的变动规律：
一是“波动率微笑”，即隐含波动率会随着期权执行价格不同而不同。
由于隐含波动率是执行价格和到期日的函数，特别地，当执行价格等
于股票最初价格S0时，隐含波动率最小，当执行价格偏离0时，隐含
波动率会增加，这种现象通常称为“波动率微笑”。
二是波动率期限结构（Volatility Term Structure），即隐含波动率会
随期权到期时间不同而变化。从长期来看，波动率大多表现出均值回
归，即到期日接近时，隐含波动率的变化较剧烈，随着到期时间的延
长，隐含波动率将逐渐向历史波动率的平均值靠近。波动率微笑的形
状也受到期权到期时间的影响。一般而言，期权到期日越近，波动率
“微笑”就越显著，到期日越长，不同价格的隐含波动率差异越小，
接近于常数。



四、期权的衍生物及其风险对冲

1.德尔塔（ ）

在任何确定的时间内，衍生证券的价值是标的资产价格的函数。这个
函数对标的资产价格变化的敏感度用希腊字母德尔塔（Delta，）来
描述。德尔塔（ ）是Black-Schols期权定价模型的一个重要衍生概
f
念，在证券组合中对投资者具有重要意义。其公式表达为：

14

S
12
10
C
8
6
4
2
0
10
C:\C_doc\教学\Matlab_金融试验\衍生
市场
12
14
16
18
20
S
22
24
26
28
30
看涨期权对股票价格的敏感性和Delta策略




在Black-Schols期权定价模型中，德尔塔（ ）的决定十
分简单：它就等于N (d1 ) 。德尔塔特性如下：
（1）认购权证的Delta一定为正值，认沽权证的Delta一定
为负值。这正负号表示期权价格和标的资产价格之间的变
动关系。正号表示同向变动，负号表示异向变动；
（2）Delta数值的范围介于-1和+1之间。
（3）平价期权的Delta数值约为0.5。
Black-Scholes期权定价模型在衍生
产品



Delta中性组合
对于价格低于理论价值的权证,还可以按比例购买
股票+认沽权证，构造Delta 中性组合,也就是买入
波动率,在股价向任何一方向变动时，组合价值都
将上升。
但是，如果波动率下降，则会影响到套期保值效
果，隐含波动率变动会使得组合价值曲线发生位
移，一旦权证的隐含波动率下降，即使股价发生
了较大变动，组合价值仍会受到损失。
Black-Scholes期权定价模型在衍生
产品




2.伽马（）
仅在标的股票的价格只发生微小变动时，德尔塔对冲才是
有效的，因为它只考虑了一阶导数。如果标的股票价格可
能发生较大的变化，那么，对冲组合就要考虑二阶导数。
于是，引入伽马（Gamma， ）的概念。
伽马度量的是衍生资产的凸性，伽马度量的是期权价格曲
线上该点的二阶导数。对于不支付红利的欧式期权来说，
存在：
2

c 
N ( d1 )
  C
 2 
S S
S T  t
X=30;sigma=0.3; r_f=0.05
价格=15-50
周期：12M
0.14
0.12
Gamma
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
12
10
50
8
40
6
30
4
2
20
2010
0.1
0.2
Delta
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
C:\Program Files\MATLAB71\work\Delta_Gamma_option01
Black-Scholes期权定价模型在衍生
产品




3.西塔( )
西塔( ,Theta)是期权定价中的另一个重要参数。西塔( )
被定义为：

f
1
 re rT XN (d 2 )   2 S 2
t
2
西塔度量的是衍生证券价值的变动方向。如果时间增加，
期权曲线将向右移动。西塔正是度量的曲线的这种移动。
Black-Scholes期权定价模型在衍生
产品



4、维加（vega，）
当波动率变化一个单位时（通常为1%），衍生证券的价
值变化称为维加（vega， ）。用公式表达为：

f

反映的是证券价格本身波动对衍生证券价格的影响。若
构造的组合使  值等于零，则该组合的价值不受波动率变
化的影响。按照BS期权定价公式，可以得到不支付红利
股票的欧式看涨期权和看跌期权的  表达式：
 
C 
d
C
 SN (d1 ) 1  Xe  r (T t ) N (d 2 )  S T  tz (d1 )


P 
P S



( Xe  r (T t )  S )   C
  
Black-Scholes期权定价模型在衍生
产品




5、罗（ ）
当利率变化一个单位时（通常为1%），衍生证券的价值
变化称为罗（ ）。用公式表达为：

f
r
可见，反映的是衍生产品价格对利率变化的比率。按照
BS期权定价公式，可以得到不支付红利股票的欧式看涨
期权和看跌期权的  表达式：
C 
C
 Xe  r (T t ) N (d 2 )
r
P 
P
  X (T  t )e  r (T t ) N (d 2 )
r
蒙特卡罗模拟在衍生产品定价中的
应用

第四节 蒙特卡罗模拟在衍生产品定价中的应用

一、蒙特卡罗模拟方法介绍

蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）是一种通过模拟标的资产
价格随机运动路径得到权证价值期望值的数值方法，是一种应用十分
广泛的金融衍生产品定价方法。
如果股价运动服从伊藤过程，则当然股价如果服从其他分布，只要给
出具体的表达式，我们就可利用蒙特卡罗模拟法进行模拟。蒙特卡罗
模拟进行期权定价的核心在于生成股价价格的随机过程。

蒙特卡罗模拟在衍生产品定价中的
应用







蒙特卡罗模拟的实质是模拟标的变量的随机运动，预测其衍生产品的
平均回报，并由此得到衍生品价格的一个概率解。
蒙特卡罗模拟的优点：
（1）提供一个相当广泛和强大的期权定价技术：
（2）得到广泛应用。正如Campell所指出的：“虽然在依赖于路径的
的衍生证券定价的确方面存在一些近似的解析解，但最为有效的方法
还是蒙特卡罗模拟。”
蒙特卡罗模拟的缺点：
（1）只能用于欧式期权，期权不能提前执行。美式期权的提前执行
性增加了期权定价的复杂性，而这必须用一个动态程序分析进行递归。
因而尝试应用蒙特卡罗模拟技术来对美式期权定价，成为近年来者来
领域的发展方向之一。
（2）为了达到一定的精度，必须进行大量的模拟运算。
蒙特卡罗模拟在衍生产品定价中的
应用

二、金融衍生产品定价的Monte Carlo模拟





Boyle最早利用Monte Carlo方法进行期权定价。Monte Carlo模拟
相关步骤为：
第1步：设定基础资产数据的生成过程。通常使用带漂移的随机游
走模型，同时指定漂移项的大小和波动参数的大小，设定执行加
价格K和期限T。
第2步：从正态分布中抽取长度为T的序列，该序列为误差项序列，
 t ~ N。
(0,1)
即
第3步：构建观测值长度为T的基础资产序列。
第4步：分析基础资产在到期日T时的价格。对看涨期权而言，若
到期日基础资产价格 PT  K ，则此次重复试验下，期权价值为0并
到期作废。
蒙特卡洛模拟计算欧式期权价格
function eucall=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu)
 s0=50;K=52;r=0.05;T=5/12;sigma=0.4;Nu
=1000;


MoterCarlo_01.M
鞍钢权证市场价格、BS理论价格、蒙特卡罗拟合图
2006-10-23
2006-10-9
2006-9-25
5
2006-9-11
2006-8-28
2006-8-14
2006-7-31
2006-7-17
2006-7-3
2006-6-19
2006-6-5
2006-5-22
2006-5-8
2006-4-24
2006-4-10
2006-3-27
2006-3-13
2006-2-27
2006-2-13
2006-1-30
2006-1-16
2006-1-2
2005-12-19
2005-12-5
6
BS理论价格
实际价格
蒙特卡洛模拟价格
4
3
2
1
0