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连续型随机变量及其概率分布 第九讲 大纲 • 什么是连续型随机变量 • 主要连续型随机变量及其分布介绍 – 均匀分布 – 指数分布 – 伽玛分布 概率密度函数 • 对于离散型随机变量我们可以用一系列等 式来描述其概率分布的情况 • 而对于连续型的随机变量，由于变量的可 能取值是某一区间内的所有值，这时我们 考察事件X = x的概率显然没有什么意义， 而必须了解事件a b的概率 • 为此，引进概率密度函数的概念 概率密度函数的定义 • 对于随机变量X，如果存在非负可积函数 f (x)，使对任意实数a，b ，(a b)，都有： b P(a X b) f ( x)dx F (b) F (a) a • 则称X为连续型的随机变量，并称f (x)为X的 概率密度函数(probability density function, pdf) – 对应于离散型随机变量， f (x)为X的概率质量 (mass)函数， pmf 说明 • 讨论连续型随机变量落如某一区间的概率 时，不必区分是否包括区间端点 • 随机变量落入某一区间(a，b)的概率等于曲 线 y = f (x)在区间(a，b)上的面积 • 概率密度函数y = f (x)满足概率的基本性质 – 非负性 f ( x) 0 – 正则性 f ( x )dx 1 这两条性质是判定函数 f (x) 是否为随机变量 X 的概率密度函数的充 要条件 概率分布函数 • 设X是一连续型随机变量，则函数 F(x) = Pr(X ≤ x)称作X的概率分布函数 – 与我们前面学的次数或频率累积分布曲线相似 – 也称作累积分布函数，cdf – 对于离散型随机变量，定义同样成立 • 对于任意实数x1< x2，随机点落入(x1, x2)上 的概率为： Pr( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 ) 分布函数的特性 • 如果将X看作是数轴上的随机点的坐标，那 么F(x)在x处的函数值就表示点X落入区间 (-∞, x)上的概率 • 对于连续型随机变量X，分布函数F(x)与密 度函数 f (x) 有如下关系： x F ( x ) Pr( X x ) Pr( X x ) – F(x)是f(x)的可变上限积分函数 – F(x)的取值随x的不同而不同 f (t )dt F′(x) • 在 f (x)的连续点处，有 f (x) = F′(x) • 在可导处x0 F ( x0 x ) F ( x0 ) F ( x0 ) lim x 0 x Pr( x0 X x0 x ) lim x 0 x f ( x0 ) f ( x0 ) x Pr( x0 X x0 x ) 这就是概 率密度 分布函数的性质 • 0≤ F(x) ≤1 • F(x)是非减函数 – 若x1< x2，有f (x1)< f (x2) F ( x) 0, lim F ( x) 1 • xlim x • F(x)右连续 – 对于连续型随机变量， F(x)处处连续 – 对于离散型型随机变量， F(x) = Pr(X ≤ x) – lim F ( x x ) F ( x ) x 0 F(x)右连续 分布函数与密度函数的几何含义 Pr( a X b) f ( x) b f ( x) F(x) f ( x )dx a F (b) F ( a ) x 几种重要的连续型随机变量 • 均匀分布 • 指数分布 • 伽玛分布 均匀分布 • 一个质点在某个区间作均匀运动，以等可 能性落在区间内的任意一点 • 定义：如果随机变量X 的概率密度函数为： 1 , a xb f ( x) b a otherwise 0 则称X服从 [a，b] 区间上的均匀分布，记作 X ~U[a，b] 分布函数 F ( x) x xa 0 x a f (t )dt , a xb b a xb 1 图示 f (x) a b x b x F (x) 1 a 例5.38 • 某人要搭乘一列6：00发出的火车，他打算 乘出租车于5：40出发到火车站，从他家乘 汽车 到火车站，在最顺利的情况下要10分 钟，在交通最拥挤时要50分钟，到火车站 后上火车要5分钟。假定从他家到火车站汽 车行驶时间X在[10，50]区间上服从均匀分 布，问此人能赶上火车的概率。 练习 • 秒表最小刻度值为0.01秒。若计时精度是取 最近的刻度值，求使用该表计时产生的随 机误差X 的概率密度函数f (x) ，并计算误差 的绝对值不超过0.004秒的概率。 指数分布 • 定义：如果随机变量X 的概率密度函数为： l e lx x0 l 0 f ( x) 0 otherwise 则称X服从参数为l 的指数分布，记作X~E(l) • 其分布函数为： x0 0 F ( x) lx 1 e x0 指数分布的应用 • 常用于描述两次事件在特定的时间间隔内 发生的概率，如 – 电子元件的寿命 – 病人候诊的时间 – 机器发生两次故障的间隔 – 银行自动提款机支付一次现金所花费的时间 • 其中参数l 表示在单位时间内，事件发生的 次数 图形 pdf cdf Expondist函数 • 语法：Expondist(x, lambda, cumulative) – x：函数的数值；Lambda：参数值l； – Expondist(10,0.2,TRUE) = 0.864665，是一个概率 分布值 – Expondist(10,0.2,FALSE) = 0.027067 ，是一个概 率密度值 指数分布与泊松分布 • 泊松分布中随机变量X描述的是在一段时间中事件 发生的次数(离散)，指数分布描述的则是两次事件 发生之间的时间间隔(连续) • 两种分布有同样的参数，但参数的表述形式有所 不同 泊松分布随机变量 指数分布随机变量 一段时间内机器发生故障的次数 机器使用至发生故障之间的时间 一段时间内商店接待的顾客人数 两位顾客到达一商店间隔的时间 一分钟内电话交换台接到的呼唤次数 电话交换台接到两次呼唤的时间间隔 例5.44 • 已知某工厂生产的笔记本电池的使用寿命X服 从参数l=0.4的指数分布。厂家承诺，如果电 池在半年之内不能使用的话，可以免费更换。 已知能够正常使用的电池的平均利润为每个 200元，更换电池的成本为每个600元，请问该 厂家最终的平均利润为多少？ • 我们首先需要计算一下电池的使用寿命在半年 以内的概率是多少： P(X<0.5)=expondist(0.5,0.4,1)=0.1813。 • 然后计算电池的平均（期望）利润为： 200×0.9183-600×0.1813=74.88（元） 伽玛分布 • 指数分布和伽玛分布都可以用来计算等候时间、 产品可靠度、排队问题等 • 不同的是，在指数分布中是等待第一个成功事 件所需的时间，而在伽玛分布中，则等待第n 个成功事件所需的时间 • 定义：如果随机变量X概率密度函数为： 1 a 1 x / b x e x0 a f ( x; a , b ) b (a ) 0 otherwise – 其中， a和b 均大于0 则称X服从参数为a和b的伽玛分布 图形 f(x) Gamma Distributions 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 x 8 10 应用 • 伽玛分布可以用来计算等候时间 • 在泊松过程中，单位时间成功次数为l，那 么等候第一个成功事件出现的时间平均需 要b＝1/ l，若要等候第n个成功事件出现， 则a＝n • GAMMADIST函数 – 语法：GAMMADIST(x, alpha, beta, cumulative) 例5.45 • 某个淘宝热门小铺平均而言每分钟的点击 人数达到2人次，那么第50个访问者会在半 小时内出现的概率是多少？ • 该网站第一位访问者出现的平均时间b ＝ 1/2分钟，a ＝50，x＝30，根据伽玛分布， 得到： F(X=30; a ＝50, b＝1/2)＝Gammadist(30, 50, 1/2, 1) =0.9156。 例5.46 • 小张每天早上7点半左右搭乘公交车上班，一般而 言，平均每10分钟有一班公交车。今天早上他等了 20分钟还没有公交车到达，请问今天的情况是否特 别偶然? • 公交车抵站可以视为泊松过程，因此等候的时间服 从伽玛分布 • 等候第一个公交车出现的时间平均需要b＝10分钟， 小张在这20分钟的时间里等待下一辆公交车到达， 所以a＝1。 • 等候20分钟尚无公交车到达的概率为： • P(X>20; a ＝1, b＝10)=1-P(X<=20) =1-Gammadist(20, 1, 10, true) = 1-0.8647 = 0.1353 伽玛分布与泊松分布 • 两种分布都是从泊松过程中产生的 – 泊松分布是一种离散型随机变量分布，它描述 的是在一个连续的时间或空间中，事件发生n次 的概率 – 伽玛分布则是连续型随机变量分布，它描述的 是在一个泊松过程中，事件发生n次所需一定时 间的概率 • 它们之间是否存在着某种对应关系？ 伽玛分布与泊松分布 • 在例5.45中，我们用伽玛分布计算了第50个访 问者会在半小时内出现的概率 • 现在对于这一事件，我们也可以用泊松分布来 计算在半小时内出现至少50个访问者的概率 • 由题意可知l = 2×30 = 60，其概率值为：1Poisson(49, 60, 1) = 0.9156，结果与我们用伽玛 分布计算的完全一样！ • 因此在求解泊松过程的概率问题时，这两种分 布都可以使用，对于每一种分布，一定要找到 正确的参数大小 其他的连续型随机变量分布 • 正态分布、t分布、F分布 • 非常重要，将在后面专门介绍 作业 • 5.16 • 在高为 h 的△ABC 中任取一点M ，点 M 到 AB 的距离为随机变量X，求其密度函数 f (x) 和分布函数F(x) 。 – 需要用到概率的几何定义 E C F .M h A B