Transcript 矢量代数第5讲 - 应用数学家园

矢量代数与场论第5讲
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1
第四节 矢量场的环量及旋度
2
1. 环量
设有力场F(M), l为场中的一条封闭的有向
曲线, 来求一个质点M在场力F的作用下, 沿l
正向运转一周时所做的功(此时, l的切向矢
量t按第三节开头的规定, 就指向这里所取的
l的正向).
3
t
l
dl
dl
F
图2-18
4
如图2-18, 在l上取一弧元素dl, 同时又以dl表
其长, 则当质点运动经过dl时, 场力F所做的
功能就近似地等于
dW=Ftdl
若以t表示l的单位切向矢量, 则
Ftdl=(Ft)dl=F(tdl),
由此又可写
dW=Fdl,
(4.1)
其中dl=tdl是方向与t一致,模等于弧长dl.
5
据此, 当质点沿封闭曲线l运转一周时, 场力
F所做的功, 就可用曲线积分表示为
W   Ft d l   F  d l.
(4.2)
l
l
这种形式的曲线积分, 在其他矢量场中,也常
常具有一定的物理意义.
6
例如在流速场v(M)中, 积分
v

d
l

(4.3)
l
表示在单位时间内, 沿闭路l正向流动的环流
Qt.
7
又如在磁场强度H(M)所构成的磁场中, 按安
培环路定律, 积分
(4.4)
 H dl
l
表示沿与积分路线成右手螺旋法则的方向
通过l上所张之曲面S的各电流强度I1,I2,…,Im
的代数和, 即有
m
 H dl  I
l
k 1
k
 I.
(4.5)
8
因此, 数学上就把形如上述的一类曲线积分
概括成为环量概念, 其定义如下.
(1) 环量的定义
设有矢量场A(M), 则沿场中某一封闭的有向
曲线l的曲线积分
   Adl
(4.6)
l
叫做此矢量场按积分所取方向沿曲线l的环
量.
9
在直角坐标系中, 设
A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.
又 dl=dlcos(t,x)i+dlcos(t,y)j+dlcos(t,z)k
=dxi+dyj+dzk
其中cos(t,x), cos(t,y), cos(t,z)为l的切线矢量t
的方向余弦, 则环量可以写成
   A  d l   P d x  Q d y  R d z (4.7)
l
l
10
例1 设有平面矢量场A-yi+xj, l为场中的星
形线x=Rcos3q, y=Rsin3q. 求此矢量场沿l正向
的环量.
11
解 由于平面封闭曲线的正方向, 在无特别申
明时, 即指保持所围区域的内部在左边时的
前进方向. 因此有
   A dl   -yd x  xd y
l
l

  - R sin q d( R cos q )  R cos q d( R sin q )
3
3
3
3
0
2
  (3R sin q cos q  3R cos q sin q )d q
2
4
2
2
4
2
0
 3R
2

2
0
3
2
sin q cos q d q   R
4
2
2
12
根据环量的定义, 由(4.5)式可知, 磁场H的环
量, 为通过磁场中以l为边界的一块曲面S的
总的电流密度(即在点M处沿n的方向, 通过
与n垂直的单位面积的电流强度). 为了研究
这一类问题, 引入环量面密度的概念.
13
(2) 环量面密度
设M为矢量场A中一点, 在M点处取定一个
方向n, 再过M点任作一微小曲面DS, 以n为
其在M点处的法矢, 对此曲面, 我们同时又
以DS表其面积, 其周界Dl之正向取作与n构
成右手螺旋关系,
14
n
M
DS
Dl
图2-20
15
如图2-20, 则矢量场沿Dl之正向的环量D与
面积DS之比, 当曲面DS在保持M点于其上的
条件下, 沿着自身缩向
D
M点时, 若
的极限存在, 则称其为矢量场
DS
A在点M处沿方向n的环量面密度(就是环量
对面积的变化率), 记作mn, 即
mn  lim
DS  M
 Adl
Dl
DS
16
例如: 在磁场强度H所构成的磁场中的一点
M处, 沿方向n的环量面密度, 由(4.5)式为
Dl H  d l
DI d I
mn  lim
 lim

, (4.9)
DS  M
DS  M DS
DS
dS
就是在点M处沿方向n的电流密度.
17
又在流速场v中一点M处, 沿方向n的环量面
密度, 由(4.3)式为
Dl v  d l
DQt d Qt
mn  lim
 lim

, (4.10)
DS  M
DS  M DS
DS
dS
即为在点M处与n成右手螺旋方向的环流对
面积的变化率, 称为环流密度(或环流强度).
18
(3) 环量面密度的计算公式
在直角坐标系中, 设
A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,
则由斯托克斯公式
D 
 Adl   Pd x  Qd y  Rd z
Dl
Dl
  ( Ry - Qz )d y d z  ( Pz - Rx )d x d z  (Qx - Py )d x d y
DS
  [( Ry - Qz )cos(n, x)  ( Pz - Rx )cos(n, y )
DS
(Qx - Qy )cos(n, z )]d S ,
19
再按中值定理有
D  [( Ry - Qz )cos( n, x)  ( Pz - Rx )cos( n, y )
 (Qx - Py )cos(n, z )]M * DS
其中M*为DS上的某一点, 当DSM时, 有
M*M, 于是
D
mn  lim
DS  M DS
 ( Ry - Qz )cos   ( Pz - Rx )cos   (Qx - Py )cos 
(4.11)
20
D
mn  lim
DS  M DS
 ( Ry - Qz )cos   ( Pz - Rx )cos   (Qx - Py )cos 
(4.11)
其中cos, cos, cos为DS在点M处的法矢n
的方向余弦. 这就是环量面密度在直角坐标
系下的计算公式.
21
例2 求矢量场A=xz3i-2x2yzj+2yz4k在点M(1,2,1)处沿矢量n=6i+2j+3k方向的环量面密度.
解 矢量n的方向余弦为
6
2
3
cos   ,cos   ,cos  
7
7
7
故在点M处沿n方向的环量面密度为
mn M  [( Ry - Qz )cos   ( Pz - Rx )cos   (Qx - Py )cos  ]M
6
3
 4
2
2 2
 (2 z  2 x y )  3 xz - 4 xyz 
7
7
7 M

6
2
3 18
 -2   3   8   .
7
7
7 7
22
2. 旋度
从上面可以看到, 环量面密度是一个和方向
有关的概念, 正如数量场中的方向导数与方
向有关一样. 然而在数量场中, 我们找出了
一个梯度矢量, 在给定点处, 它的方向表出
了最大方向导数的数值, 而且它在任一方向
上的投影, 就是该方向上的方向导数. 这一
事实, 自然给我们一种启示, 就是希望也找
到这样一种矢量, 它与环量面密度的关系,
正如梯度与方向导数之间的关系一样.
23
mn  ( Ry - Qz )cos   ( Pz - Rx )cos   (Qx - Py )cos 
(4.11)
从上式看出, 如果取
R=(Ry-Qz)i+(Pz-Rx)j+(Qx-Py)k, (4.12)
则(4.11)式可写为
mn=Rn=|R|cos(R,n),
(4.13)
其中n=cosi+cosj+cosk为方向n上的单位
矢量.
24
R=(Ry-Qz)i+(Pz-Rx)j+(Qx-Py)k, (4.12)
mn=Rn=|R|cos(R,n),
(4.13)
其中n=cosi+cosj+cosk为方向n上的单位
矢量.
上式表明, 在给定点出, R在任一方向n上的
投影, 就给出该方向上的环量密度. 从而可
知, R的方向为环量面密度最大的方向, 其模
即为最大环量面密度的数值.
因此称R为矢量场A的旋度.
25
(1)旋度的定义
若在矢量场A中的一点M处存在这样的一个
矢量R, 矢量场A在点M处沿其方向的环量面
密度为最大, 这个最大的数值, 正好就是|R|,
则称矢量R为矢量场A在点M处的旋度, 记作
rot A, 即
rot A=R.
简言之, 旋度矢量在数值和方向上表出了最
大的环量面密度.
26
在直角坐标系中有
rot A=(Ry-Qz)i+(Pz-Rx)j+(Qx-Py)k, (4.14)
或
i

rot A 
x
P
j

y
Q
k

z
R
(4.15)
27
旋度在任一方向上的投影, 就等于该方向上
的环量面密度, 即有
rotn A=mn.
(4.16)
例如在磁场H中, 旋度rot H是这样一个矢量
, 在给定点处, 它的方向乃是最大电流密度
的方向, 其模即为最大电流密度的数值, 而
且它在任一方向上的投影, 就给出该 方向上
的电流密度. 在电学上称rot H为电流密度矢
量.
28
同样, 在流速场v中, 旋度rot v在给定点处,
它的方向乃是最大环流密度的方向, 其模即
为最大环流密度的数值, 而且它在任一方向
上的投影, 就给出该方向上的环流密度.
29
此外, 由(4.14)式
rot A=(Ry-Qz)i+(Pz-Rx)j+(Qx-Py)k, (4.14)
可将斯托克斯公式写成如下的矢量形式:
 A  d l   (rot A)  d S
l
(4.17)
S
30
例3 求矢量场A=xy2z2i+z2sinyj+x2eyk的旋度.
解
i

rot A 
x
2 2
xy z
j
k

y
2
z sin y

z
2 y
x e
 
 2 y
 2 y 
 2
2 2
  ( x e ) - ( z sin y )  i   ( xy z ) - ( x e )  j
x
z

  z
 y
 2

2 2 
  ( z sin y ) - ( xy z )  k
y

 x
( x 2 e y - 2 z sin y ) i  2 x( y 2 z - e y ) j - 2 xyz 2 k.
31
在计算矢量场A=Pi+Qj+Rk的散度和旋度时,
还可以用这样的方法: 求出函数P,Q,R对x,y,z
的各偏导数, 列成如下形式的表
 P P P 
 x y z 


 Q Q Q 
DA  
x y z 


 R R R 
 x y z 


叫做矢量场A的雅各比矩阵, 等号左侧的DA
是其记号.
32
 Px Py Pz 


DA   Qx Qy Qz 
R R R 
y
z 
 x
将此矩阵与散度和旋度计算公式
div A=Px+Qy+Rz
rot A=(Ry-Qz)i+(Pz-Rx)j+(Qx-Py)k,
比照, 就可以看出, 在DA中主对角线上的三
个偏导数之和, 就构成散度div A; 其余六个
偏导数正好就是旋度rot A的公式中所需要
的.
33
 Px Py Pz 


DA   Qx Qy Qz 
R R R 
y
z 
 x
rot A=(Ry-Qz)i+(Pz-Rx)j+(Qx-Py)k,
非对角线上的六个偏导数正好就是旋度rot
A的公式中所需要的. 如果将这六个偏导数
在旋度公式中出现的先后顺序和它们在DA
中所对应的位置顺序认清楚, 就能方便地由
DA直接写出rot A来.
34
比如, 在例3的矢量场A=xy2z2i+z2sinyj+x2eyk
中, 其雅各比矩阵为
2 2
2
2
y z
2 xyz
2 xy z 


2
DA   0
z cos y 2 z sin y 
2 y
 2x e y

x
e
0


由此立得
div A=y2z2+z2cosy=z2(y2+cosy),
rot A=(x2ey-2zsiny)i+2x(y2z-ey)j-2xyz2k
这与例3结果相同.
35
例4 设一刚体绕过原点O的某个轴l转动, 其
角速度为w=w1i+w2j+w3k, 则刚体上的每一
点处都具有线速度v, 从而构成一个线速度
场. 由运动学知道, 矢径为r=xi+yj+zk的点M
的线速度为
v=wr=(w2z-w3y)i+(w3x-w1z)j
+(w1y-w2x)k,
如图2-21, 求线速度场v的旋度.
36
l
w
v
O
r
M
图2-21
37
v=wr=(w2z-w3y)i+(w3x-w1z)j
+(w1y-w2x)k,
解 由速度场v的雅各比矩阵
-w3 w 2 
 0


Dv  w3
0 -w1


 -w

w
0
1
 2

得 rot v=2w1i+2w2j+2w3k=2w.
这说明: 在刚体转动的线速度场中, 任一点
的旋度, 除去一个常数因子外, 恰等于刚体
转动的角速度(旋度因此而得名).
38
例5 设矢量场A=y2z2i+z2x2j+x2y2k, 证明
Arot A=0.
证由
2
2
 0
2 yz 2 zy 

2
2
DA   2 xz
0
2 zx 
 2 xy 2 2 yx 2

0


得 rot A=2(y-z)x2i+2(z-x)y2j+2(x-y)z2k,
于是有
Arot A=2x2y2z2(y-z+z-x+x-y)=0.
39
(2) 旋度计算的基本公式
1) rot (cA)=crot A(c为常数),
2) rot (AB)=rot Arot B,
3) rot (uA)=urot A+grad uA(u为数性函数),
4) div(AB)=Brot A-Arot B,
5) rot(grad u)=0,
6) div(rot A)=0.
通常称rot A=0的场为无旋场. 公式5)说明任
何梯度场都是无旋场, 公式4)则说明, 若A和
B都是无旋场, 则AB乃为无源场.
40
例6 证明矢量场A=ugrad u是无旋场.
证 由公式3)
rot A=rot(ugrad u)
=urot(grad u)+grad ugrad u
由公式5), rot(grad u)=0,
又 grad ugrad u=0, 故有
rot A=0,
所以A为无旋场.
41
第五节 几种重要的矢量场
42
场论中有几种重要的矢量场, 即有势场, 管
形场, 调和场. 下面将分别介绍它们. 在此之
前, 须先说明一下在三维空间里单连域与复
连域的概念.
43
(1) 如果在一个空间区域G内的任何一条简
单闭曲线l, 都可以作出一个以l为边界且全
部位于区域G内的曲面S, 则称此区域G为线
单连域; 否则, 称为线复连域. 例如空心球体
是线单连域, 而环面体则为线复连域, 如图
2-22.
44
空心球体
45
环面体
46
(2) 如果在一个空间区域G内的任一简单闭
曲面S所包围的全部点, 都在区域G内(即S内
没有洞), 则称此区域G为面单连域; 否则, 称
为面复连域. 例如环面体是面单连域, 而空
心球体则为面复连域.
47
显然, 有许多空间区域即是线单连域, 同时
又是复单连域, 例如实心的球体, 圆柱体, 平
行六面体等等, 都既是线单连域, 同时又是
复单连域.
48
1. 有势场
定义 设有矢量场A(M), 若存在单调函数
u(M)满足
A=grad u,
(5.1)
则称此矢量场为有势场; 命v-u, 并称v为这
个场的势函数.
易见矢量A与势函数v之间的关系是
A-grad v.
(5.2)
49
由此定义可以看出:
(1) 有势场是一个梯度场;
(2) 有势场的势函数有无穷多个, 它们之间
只相差一个常数.
因为, 若A(M)为有势场, 按定义就存在势函
数v, 它满足
A-grad v.
由梯度的运算法则有
-grad(v+C)-grad v=A(C为任意常数),
即v+C亦为有势场A(M)的势函数. 由于C为
任意常数, 故知A的势函数有无穷多个.
50
又若v1和v2均为矢量场A(M)的势函数, 则有
grad v1=grad v2,
或
grad (v1-v2)=0,
于是有 v1-v2=C(C为常数),
即
v1=v2+C.
所以, 在有势场中的任何两个势函数之间,
只相差一个常数.
51
由此, 若已知有势场A(M)的一个势函数
v(M), 则场的所有势函数的全体可表示为
v(M)+C(C为任意常数). (5.3)
然而是否任何矢量场都为有势场呢?我们有
下面的定理.
52
定理1 在线单连域内矢量场A为有势场的充
要条件是A为无旋场.
证: [必要性]设
A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k, 如果A为有
势场, 则存在函数u(x,y,z), 它满足A=grad u,
即有
P=ux, Q=uy, R=uz
因P,Q,R都具有一阶连续偏导数, 则
Py=uxy, Pz=uxz,Qx=uyx,Qz=uyz,
Rx=uzx,Ry=uzy,
因此Ry-Qz=0, Pz-Rx=0, Qx-Py=0,
则在场内处处有 rot A=0.
53
[充分性]设在场中处处有rot A=0, 又因场所
在的区域是线单连的, 则由斯托克斯公式可
知, 对于场中的任何封闭曲线l都有
 A  d l  0.
l
这个事实等价于曲线积分

M0
A  d l 与路
M
径无关. 其积分之值, 只取决于积分的起点
M0(x0,y0,z0)与终点M(x,y,z); 当起点固定时,
它就是终点M的函数, 将这个函数记作
u(x,y,z), 即
54
u ( x, y , z )  
( x, y, z )
( x0 , y0 , z0 )
P d x  Q d y  R d z. (5.4)
现证明这个函数满足A=grad u, 即A为有势
场. 这只要证明
ux=P, uy=Q, uz=R
即可.
先证其中第一个等式. 为此, 我们保持终点
M(x,y,z)的y,z坐标不动, 而给x坐标以增量Dx,
这样, 得到一个新的点N(x+Dx, y,z), 于是有
Du=u(N)-u(M)=
55
N
M
M0
M0
  Adl -  Adl
N
  Adl
M

( x Dx , y , z )
( x, y, z )
Pd x  Qd y  Rd z
因积分与路径无关, 故最后这个积分可以在
直线段MN上取, 这时y与z均为常数, 从而
dy=0, dz=0. 这样
Du  
( x Dx , y , z )
( x, y,z )
P ( x, y, z )d x.
56
按积分中值定理有
Du=P(x+qDx,y,z)Dx, (0q1).
两端除以Dx后, 令Dx0而取极限, 就得到
u
 P( x, y, z ).
x
同理可证
u
u
 Q( x, y, z ),  R( x, y, z ).
y
z
57
此性质又表明:
Adl  Pd x  Qd y  Rd z
u
u
u
 dx dy dz
x
y
z
 d u.
即表达式Adl=Pdx+Qdy+Rdx为函数u的全
微分, 故亦称函数u为表达式的原函数.
58
一般, 称具有曲线积分 M
0M
A  d l 与路径无
关性质的矢量场A为保守场. 从上面的定理
及其证明我们可以看出, 在线单连域内: "场
有势(梯度场)", "场无旋", "场保守"以及"表
达式Adl= Pdx+Qdy+Rdz是某个函数的全微
分"这四者是彼此等价的.
59
u ( x, y , z )  
( x, y, z )
( x0 , y0 , z0 )
P d x  Q d y  R d z. (5.4)
在利用上式计算u的时候, 通常还是用曲线
的参数方程x=x(t), y=y(t), z=z(t)来进行积分
的, 但是在积分过程中, 上式的积分上限也
用字母x,y,z表示, 这就容易搞混. 此外, 既然
与曲线路径无关, 因此选择最简单的直线积
分最好, 为此, 不妨用a,b,c代表积分的目的
点, 也就是先计算u(a,b,c), 在计算完成后, 再
将a,b,c换回记号x,y,z就行, 就是上式写成
u ( a , b, c )  
( a ,b , c )
( x0 , y0 , z0 )
P d x  Q d y  R d z.
60
u ( a , b, c )  
( a ,b , c )
( x0 , y0 , z0 )
P d x  Q d y  R d z.
选择最简单的直线, 就是矢性函数为:
l(t)=xi+yj+zk
=[x0+(a-x0)t]i+[y0+(b-y0)t]j+[z0+(c-z0)t]k
dl=[(a-x0)i+(b-y0)j+(c-z0)k]dt
因为M(x0,y0,z0)也是由做题者任选的, 如果可
能尽量选择在原点, 这样上面两式就成为
l(t)=xi+yj+zk=ati+btj+ctk
dl=(ai+bj+ck)dt, 代到上式进行计算是很简
便的, t是积分从0到1.
61
l(t)=xi+yj+zk=ati+btj+ctk
dl=(ai+bj+ck)dt
u (a, b, c)  
( a ,b , c )
( x0 , y0 , z0 )
Pd x  Qd y  Rd z
1
  Pa d t  Qb d t  Rc d t
0
1
  [ Pa  Qb  Rc]d t
0
最后的公式就是
1
u (a, b, c)   [ Pa  Qb  Rc]d t
0
62
例1 证明矢量场
A=2xyz2i+(x2z2+cosy)j+2x2yzk
为有势场, 并求其势函数.
证 由A的雅可比矩阵
 2 yz 2 2 xz 2 4 xyz 

2
2 
DA   2 xz - sin y 2 x z 
 4 xyz 2 x 2 z 2 x 2 y 


这是对称矩阵, 因此rot A=0. 故A为有势场.
63
A=2xyz2i+(x2z2+cosy)j+2x2yzk
现利用公式计算u(a,b,c),
1
x  at , y  bt , z  ct , u (a, b, c)   [ Pa  Qb  Rc]d t
0
1
u (a, b, c)   [2abc t a  (a c t  cos(bt ))b
2 4
2 2 4
0
2a bcct ]d t
2
4
1
2
2
2 2
2
2
 [2a bc  a c b  2a bc ]  sin b 
5
2
2
 a bc  sin b
因此u(x,y,z)=x2yz2+siny.
64
u=x2yz2+siny.
于是得势函数v-u-siny-x2yz2+C.
65
用公式
1
x  at , y  bt , z  ct , u (a, b, c)   [ Pa  Qb  Rc]d t
0
计算出来的数量场u可以用来计算矢量场A
中的任何的曲线积分, 有如下例3的支持.
例3 若A=Pi+Qj+Rk为保守场, 则存在函数
u(M)使

AB
A  d l  u ( M ) A  u ( B) - u ( A).
B
(5.9)
66
证 因A为保守场, 则曲线积分 AB A  d l
与路径无关, 于是
B
M0
B
 Adl   Adl   Adl   Adl 
AB
A
A
B
A
M0
M0
M0
  Adl -  Adl
其中M0为场中任一点, 根据(5.4)式:
M
u(M )   A  d l ,
M0
则上式就成为

AB
A  d l  u ( M ) A  u ( B) - u ( A).
B
67
例4 证明A=2xyz3i+x2z3j+3x2yz2k为保守场, 并
计算曲线积分
 A  d l,
l
其中l是从A(1,4,1)到B(2,3,1)的任一路径.
证由
 2 yz 3 2 xz 3 6 xyz 2 

3
2 2 
DA   2 xz
0
3x z 
 6 xyz 2 3 x 2 z 2 6 x 2 yz 


因为是对称矩阵, 所以rot A=0, A为保守场.
68
A=2xyz3i+x2z3j+3x2yz2k
1
x  at , y  bt , z  ct , u (a, b, c)   [ Pa  Qb  Rc]d t
0
计算u:
1
3 5
2 3 5
2
2 5
u (a, b, c)   (2abc t a  a c t b  3a bc ct )d t
0
1
2
3
2
3
2
3
2
3
 (2a bc  a bc  3a bc )  a bc
6
 Adl  x
l
2
yz
3 B (2,3,1)
A(1,4,1)
 12 - 4  8.
69
作业:
从65页开始
习题5
第4,9题
每周交一次作业,作业尽量写在纸上,且写明
姓名和学号
每周答疑时间：
单周二上午头两节课
双周二上午四节课
70