Transcript 第三章4

回顾
刚体平面运动动力学方程
F
m xc 

m rc 

dJ c
dt

 (e)
Fi 
i

 Mc



m yc 


F
I c c 

外
ix
xc , yc ,
外
+约束方程
iy
M
外
ic
第三章
[例题1]均质杆 AB 长为 l，质量为 m，用两根细绳悬
挂。求当把B绳突然剪断时，杆AB的角加速度和A绳
中的张力。
o
解：
α
AB杆的动力学方程：
A
m xc  m g  TA
myc  0
1
12
ml  
2
1
2
lT A
y
xc  a rt 
第三章
1
2
TA
c yc
x mgx c
l
B
联立求解
 
3g
TA  1 m g
4
2l
需补充方程，求解




a c  a A  a rt  a rn
a rn  0 a rt 
1
l
o
xc  a rt 
2
1
2
α
l
A
aA
第三章
y
TA
c yc
x mgx c
B
?思考
当突然把绳AB剪断时，如何补充运动学方程？
O
m xc  mg  T x
T
m yc  T y
A
1


I 
lT x
2
xc  a rt 

B
l
1
l 
2
第三章
长为2l 质量为 m 的均质细杆 AB位于铅垂平面内。开
[例题2] 始时杆AB直立于墙面，受微小干扰后B端由静止状
态开始沿水平面滑动。求杆在任意位置受到墙的约
束反力（表示为 的函数形式）。不计摩擦。
y
A

x
O
B
第三章
解：m x
c
 X
(a)
A
m yc  Y B  mg
1
12
y
XA
A
(b)

C
m ( 2 l )  Y B l sin   X A l cos  (c)
x c  l sin 
x c  l cos  
P
y c  l cos 
O
y c   l sin  
xc   l sin   2  l cos  
YB
x
B
yc   l cos   2  l sin  
将 xc 、 yc代入（a)、(b)，得XA、YB再代入（c)，得
X
A
 3 m g sin  (3 cos   2 )
4
第三章
YA 
1
4
mg 
3
4
mg ( 3 cos   2 ) cos 
y
3 m g sin  (3 cos   2 )

A
4
1
3
Y A  mg  mg ( 3 cos   2 ) cos 
4
4
X
A

C
3g
 
sin 
2l
  d  d
d  dt
XA
P
O
B
3g
2

 
(1  cos  )
2l
杆脱离墙的条件：XA = 0
YA 
1
mg
4
第三章
YB
  arcco s 2
3
x
滚动摩擦
一个物体沿另一个物体的表面滚动或有滚动趋
势时，受到的阻碍作用称为滚动摩擦．
滚动摩擦的大小一般用阻力矩来量度，如，车轮沿地面滚动
时，地面和车轮都要发生形变，使得地面对车轮支持力 Ｎ的
作用点前移了ｋ，支持力 Ｎ对车轮质心 便产生阻碍车轮滚
动的阻力矩．
M  Nk
式中的ｋ称为滚动摩擦因数，具有长度的量纲。在数值上
相当于图中支持力 Ｎ对车轮质心Ｏ的力臂．
一般，滚动摩擦远小于滑动摩擦。
应理解为在条件相同的条件下，
克服滚动摩擦(Rolling friction)
比克服滑动摩擦(Sliding friction)
需要的力小 .
第三章

N
f
v0
§8、刚体定点运动的角动量动能
转动惯量
第三章
一、刚体作定点运动时的角动量




ri  x i i  y i j  z i k
现在求 J 的分量式

J 




   xi   y j   zk

  
2 
m i [ ri ω  ri ( ri   )]
n
Jx 

m i [ x ( x i  y i  z i )  x i ( x x i   y y i   z z i )]
2
2
2
i 1
n
n
n
i 1
i 1
  x  m i ( yi  zi )   y  m i yi zi   z  m i xi zi
2
2
i 1
n
n
n
i 1
i 1
J y   y  m i ( x  z )   z  m i yi zi   x  m i xi yi
2
i
2
i
i 1
n
n
n
i 1
i 1
J z   z  m i ( xi  yi )   x  m i xi zi   y  m i yi zi
2
i 1
2
第三章
引入符号

m
I xx 
I yy
I zz 
mi ( yi  zi )  I x

2
2
( zi  xi )  I y
i
2
2
m i ( xi  yi )  I z
2
2
m
  m
I zy  I yz 
i
yi zi
I yx  I xy
i
yi xi
I xz  I zx 
m
i
惯性积
xi zi
J x  I xx  x  I xy  y  I xz  z
所以
绕固连坐标系x、y、z轴
的转动惯量
J y   I yx  x  I yy  y  I yz  z
J z   I zx  x  I zy  y  I zz  z
第三章
刚体对定点的角动量与
刚体的转动惯量及惯量
积有关
上式可以写成矩阵形式
 J x   I xx
  
J y    I yx
 
 J z    I zx

角动量列阵
 I xy
I yy
 I yz
 I xz    x 


 I yz   y


I zz    z 
惯量矩阵
特点：对角元素是正号，
非对角元素为负号。
九个元素称为
惯量系数
Inertial coefficient
第三章
角速度列阵
二、刚体作定点运动时的动能
T 
1
mv

2
i
2
i

1
2

 

m i v i  (  ri )


1  
    ( ri  m i v i )    J
2
2

1
T 
1
2
( I xx  x  I yy  y  I zz  z  2 I yz  y  z  2 I zx  z  x  2 I xy  x  y )
2
2



   xi   y j   zk

2
J x  I xx  x  I xy  y  I xz  z
J y   I yx  x  I yy  y  I yz  z
J z   I zx  x  I zy  y  I zz  z
第三章
三、对过O点任意轴e的转动惯量(moment of inertia)
1.定义：
I 

mi  i
2
i
2.回转半径radius of gyration ：
z0
mi
物理上认为，刚体按一定规律
r i ρi
z
分布的质量，在转动中等效于
e
集中在某一点上的一个质点的
质量，此点离某轴线的垂距为k， O
x0
x
因此，刚体对某一轴线的转动
惯量与该等效质点对此同一轴
线的转动惯量相等，
I  mk
2
k 
I
m
第三章
y
A
y0
称为对该轴线的回转半径
3.惯量张量
 I xx

  I yx
  I zx

 I xy
I yy
 I yz
inertia tensor
 I xz 

 I yz 
I zz 
对o点的惯量张量
对质量均匀分布或按一定规律分布，且形状规则的刚体
I xx 
 ( y  z ) dm
I zy  I yz 
 yz dm
I yy 
 ( z  x ) dm
I yx  I xy 
 zx dm
I zz 
 ( x  y ) dm
I xz  I zx 
 xy dm
2
2
2
2
2
2
第三章
通过空间某一点o，某一瞬时轴e的方向余弦为α、β、γ。

即  的方向余弦。因
 y  
 x  
T 
1
( I xx   I yy   I zz   2 I yz  y  z  2 I zx  z  x  2 I xy  x  y )
2
x
2
T 
1
2
T 
 z  
1
2
y
2
z
( I xx   I yy   I zz   2 I yz   2 I zx   2 I xy  )
2
I
2
2
2
2
2
I  I xx 
2
 I yy 
2
 I zz 
2
 2 I yz   2 I zx   2 I xy 
第三章
 I xx
 
I    I yx
  I zx

 I xy
I yy
 I zy
 I xz 

 I yz 
I zz 
惯量矩阵是对称阵，它描述物体对点O的质量
分布状况，是表示物体绕点O转动惯性的度量
第三章
四、惯量主轴
在惯性矩阵中, 若 Ixy = Iyx = 0; Izx = Ixz = 0;
I则zyOxyz
= I称为主轴坐标系，三轴称为惯性主轴,
yz = 0
Ixx、
Iyy、 Izz称为主转动惯量。惯性矩阵为
 I xx

I  0

 0
0 

0

I zz 
0
I yy
0
若点O与质心C重合，则轴Cx、Cy、Cz称为中心惯
性主轴，相应的转动惯量Ix、Iy、Iz称为中心主转
动惯量。此时刚体对定点的角动量为
 J x   I xx
  
J
 0
 y 
 J z   0
0
I yy
0
第三章
0   x 


0 y


I zz    z 
确定惯性主轴的几何方法
• 如果均质刚体有对称平面，
则平面上某点的惯性主轴之
一必与平面垂直
mxz
i
i
i
0
m
i
z 1 z 2 对称面
o1 o 2
yi zi  0
 如果均质刚体有对称轴, 则此
z
轴是轴上各点的惯性主轴
mxz
i
i
i
0
m
i
yi zi  0
第三章
x
P
对称轴
y
例1
均质细杆绕z轴匀速转动，质量为m，求:
1.杆对O点的惯量矩阵
z
2.杆对O点的角动量
ωz
3.杆的动能
O
x
y
l
第三章
解
建立结体坐标系Oxyz
z
ωz
1. 杆对O点的惯量矩阵
O
x
x  0, z  0
y
I xy  I xz  I yz  I y  0
Ix 
Io
1
3
ml , I z 
2
1
 3 ml
  0

 0

2
0
0
0
1
ml
2
3


0 

1
2
ml 
3

0
第三章
l
2. 杆对O点的角动量
ω   zk
  (0, 0,  z )
J 0  I 0    I xz  z
T
I z z 
 I yz  z


1
2
 J O  ml  z k
3
T
3. 杆的动能
解法一： T 
解法二： T 
1
2
1
2
 I 0 
T
mv
2
c
1
2
 Tr 
I z 
2
z
1
ml 
8
第三章
2
1
6
2
z
ml  z
2

1
2
2
2
ml  z  1 ml 2  2
z
24
6
五、惯量椭球（inertia ellipse)
刚体对于通过某点的任意轴线的转动惯量的几何描述。
刚体对通过O点的轴l 的转动惯量I 和轴l 的方向有关。
为了说明它们之间的关系可在轴l 上取一长为R的线段
OP，并令R与该轴的转动惯量有如下关系：
1
R 
I
当轴l在空间改变方向时,矢量R的末端P的轨迹满足方程式：
I xx x  I yy y  I zz z  2 I xy xy  2 I yz yz  2 I zx zx  R I  1
2
2
2
2
这个方程规定的曲面是一个椭球面，称为刚体
关于 O点的惯量椭球。一个确定的刚体对于任
一点的惯量椭球具有完全确定的尺寸，其形状
和方位不依坐标系的不同而变化。在刚体上的
每一个点，都可作出一个相应的惯量椭球；但
它们的大小、形状和方位彼此不同。
第三章
作业：p.128-137;
3.7)，3.8)，3.29)
第三章
回顾
I  I xx 
2
 I yy 
2
 I zz 
2
 2 I yz   2 I zx   2 I xy 
I xx 
 ( y  z ) dm
I zy  I yz 
 yz dm
I yy 
 ( z  x ) dm
I yx  I xy 
 yx dm
I zz 
 ( x  y ) dm
I xz  I zx 
 xzdm
2
2
2
式中  ,  , 
2
2
2


e
e
为
的三个方向余弦（   i

  j  k )
可以通过适当选取坐标轴的方向，如坐标轴选在刚体的对称轴上，
可使6个惯量积为零（这时的坐标轴称为刚体主轴或惯量主轴），则
式简化为
 I xx

I  0

 0
0
I yy
0
0 

0

I zz 
第三章
I  I 1  I 2   I 3 
2
2
2
[例题]均匀长方形薄片的边长为a与b，质量为m求此长
方形薄片绕其对角线以ω匀速转动时的转动惯量和角动量。
解：如图所示，坐标轴取在惯量主轴上，因
 
a
a b
2
则转动惯量为
a b
2
2
,  0
2
 2 2
0

m
1
2
bdx   b (
2
2
12 a  b
2
a
2
12
a b


L  I e 

2
a b
ma b
2
2
)  2 2
2
0


6( a  b )
2
b
2
12 ( a  b )
2
2
2
2
a b
 I 1  I 2 
2
2
2
2
 yz dm
I yx  I xy 
 yx dm
I xz  I zx 
 xz dm
2
I e  I 1  I 2   I 3 
a
角动量为
b
, 
I zy  I yz 
2
m
a b
1
b
ady   a (
2
2
)
2
2
y
m
e

b
o
a
第三章
2
a b
2
12
6(a  b )
2
2

x
§9 定点运动刚体的欧拉角描述
ON — 固定坐标平面
x oy 与动坐标平面xoy的交线（节线）。

— ox 0 轴与ON间的夹角，描述了ozˊ轴（刚体自转轴）绕 oz
转动（进动角）。
 —oz轴与oz轴间的夹角是刚体自转轴oz绕ON转动角（章动角）

—节线ON与ox轴间的夹角，刚体绕ozˊ轴的转动角（自转角）
上述  ,  , 三个角坐标称为欧拉角，确定了定点转动刚体在空

z 
间的位置，其变化范围为
0    2 ,
0 ,
0    2
y


G
x

mg
惯性系：O
固连系：Oxyz

O
N

第三章


0
迴轉儀運動 (gyroscopic motion)
第三章
1.定点转动的角速度



是进动角速度  、章动角速度  和自转角速度 




    
（1）
在固定坐标系Ox 0 y 0 z 0 中的分量为
 ox   sin  sin    cos 


 oy   sin  cos    sin 



 oz   cos   
（2）
在动坐标系oxyz中的分量为
 x   sin  sin    cos 


 y   sin  cos    sin 



 z   cos   
（3）
（2）或（3）式称为定点转动欧拉运动学方程。
第三章
的合成
2.欧拉动力学方程

dJ

 M
dt
刚体定点转动的
角动量
诸外力对定点
的主矩




J 0  ( I xx  x  I xy  y  I xz  z ) i  (  I yx  x  I yy  y  I yz  z ) j  (  I zx  x  I zy  y  I zz  z ) k

dJ
dt





 J x i  J y j  J z k    J
I 1 x  ( I 2  I 3 ) y  z  M
x
I 2  y  ( I 3  I 1 ) z  x  M
y
I 3  z  ( I 1  I 2 ) x  y  M
z
第三章



   xi   y j   zk





M  M xi  M y j  M zk
欧拉动力学方程
[例1]如图4.31所示，均质圆锥体的高为h，质量为m， 为圆锥
体与平面接触线同轴 ox 0 的夹角，质心C在圆锥体轴线上，且距顶
3
点为 h ，速率为   3 h cos    求该圆锥体在 ox 0 y 0 平面上作
4
c
4
定点转动的动能。圆锥顶角为2α。
解：圆锥体作定点转动，OD为转动瞬轴。所以
 c  CE   
h sin    
3
3
h cos   
4
h cos   
4
  ctg   
第三章
D
ω x  ωsinα  ctg   sin α    cos α
ωy  0
ω z  ωcosα  ctg α   cos α
I1  I 2 
I3 
则动能
T 
1
1
2

1
2
m(R
2

20
1
2
h )
4
2
mR
10
m  T'
2
c
2

3
3
mc 
2
m(
3h
1
2
D
I 1 x 
2
1
2
2
2
 cos  ) 
4
I 3 z
1 3
m(R 
2
2 20
1
2
2
h ) cos  
2
4
当几何关系 h  Rctg  ,代入,得
T 
3
2
2
2
mh  ( 1  5 cos  )
40
第三章
1 3
2 10
2 2
2
2
mR  cos  ctg 
3. 定点转动的典型实例（陀螺运动）
①陀螺的回转效应
若陀螺不在转动，且对称轴
不在铅垂方向，则会向一个
方向倾倒：
若陀螺高速自转，被外力冲击
时，仍可在原转轴附近回旋，
而不会继续倾倒
进动轴
z
z

z
进动
自转轴
mg
O
O
O
说明陀螺运动时能产生一种与外力抗衡的内力矩，这
种内力矩称为回转力矩
第三章
②陀螺的进动
z
自转轴
z
z
进动
rCsin
d
Lsin
M
M
L
 rC
O
O

mg
mg
O
1.由角动量定理出发：如图，对固定点O，陀螺只受重力矩
的作用，即



M   ri  m i g 
i
第三章


M    ri  mi g     mi ri   g
i
 i



i
mi ri
m
进动轴
z
d
Lsin
M
 mg  rc  mg
L

根据刚体角动量定理
自转轴
mg
O


dL  Mdt
即角动量的变化量dL应像M一样垂直于L.L的顶端绕一水
平圆周运动.陀螺自转轴绕竖直轴的转动即为进动.
又如图
dL  L sind
第三章
z
d 
dL
L sin 


Mdt
(1)
L sin 
rc mg sindt
L sin

d
Lsin
M
L
rc mg

dt
L
mg
O
其中L是陀螺的自转角动量，为陀螺绕其对称轴旋转的转
动惯量I与自转角速度  的乘积.因此，陀螺的进动角速度为
mgrc
d
p 

(2)
dt
I
由此可见，陀螺的进动角速度随着自转角速度 、I 的
增大而减少，与角度  无关.
考虑到进动角速度的方向，由（1）和（2）式可得
M  p  L
第三章
③直观物理图象
P
z
选自转轴上一点为参考系原点，该参考
系随自转轴一起进动（绕进动轴转动），
则参考系为非惯性参考系。
在此参考系中，陀螺除受到重力作用外，
还受到惯性离心力和科里奥利力，如图
进动
A
P
O’
fc
B
mg
O
重力mg和惯性离心力fc：产生的力矩使陀螺倾倒的倾向
科里奥利力fcor ：分析可得，如图A、B两点处的fcor提供的
合力矩使陀螺不致倾倒。
重力mg和惯性离心力fc与陀螺自转角速度无关；
科里奥利力fcor 与陀螺自转角速度成正比。
因此，只要陀螺自转角速度足够高时，陀螺就能不倾倒甚
至能够使倾角变小。当然自转角速度很小时，仍会倾倒。
第三章
④陀螺特点:
1.不受外力矩或外力矩很小时，刚体的角动量保持恒定
L  I  const
高速自转的陀螺具有极大的反抗外力矩的作用，力图保
持其转轴在空间的方向不变.广泛应用于航海、航空、导弹
和火箭等系统的定向、导航和自动驾驶等.
2.章动－当陀螺的自转角速度不够大时，则除了自转和进动
外，陀螺对称轴还会在铅垂面内上下摆动，即角
会有大小波动，称为章动.
保持转动方向
z
z
进动
进动

O
O
第三章
进动
章动
C
D
北半球：春分点 秋分点
D
地球自转轴的进动
黄道面
C
南半球：秋分点 春分点
注:春分点沿黄道面每年
西移约 50.3″
地球赤道
北
北
P
23.5o
mi
O
m’i
南
南
岁差：由太阳和月球引起的地球自转轴的进动形成日、
月岁差(即回归年与恒星年之差,前者略短于后者)，地
球自转轴的进动周期约为25800年.
第三章
I 1 x  ( I 2  I 3 ) y  z  M
x
I 2  y  ( I 3  I 1 ) z  x  M
y
I 3  z  ( I 1  I 2 ) x  y  M
z
第三章
欧拉动力学方程