Transcript 课堂提问：为什么河水中间速度大,而靠近岸边 速度小? 第八章 粘性流体动力学基础

第八章
粘性流体动力学基础
课堂提问：为什么河水中间速度大,而靠近岸边
速度小?
本章主要内容：
1.导出粘性流体动力学基本微分方程，即纳维尔
---斯托克斯（Navier-Stokes）方程
2.讨论该方程的个别精确解:二元平板间粘性流动
体的流动问题。
§8-1
粘性流体的运动微分方程式（N——S方程）
与欧拉方程的推导类似，作用于流体微团上
的力有：质量力、压力，粘性切应力。
取一六面体流体微团
1. 流体微团上受力:
表面力：
dz
z
dx
法向应力
切向应力
dy
x
质量力：F  Xi  Yj  Zk
y
pz
pz 
dz
z
 zy 

 zx  zx dz
z
 zy
z
dz
px
 xy
 yx
py
 yz
z
 xz 
dx
dy
 xz
 xz
dx
x
 xy 
px 
 yz 
dz
px
dx
x
 xy
x
dx
 yx 
 yx
y
dy
 yz
y
py 
dy
p y
y
dy
 zy
 zx
pz
x
y
下标1、2 ：分别为切应力的位置和切应力的方向
构成点的应力张量，共有九个分量：
 p xx  xy  xz

 yx p yy  yz

 zx  zy p zz





（8－1）
第一个下标：切应力所处于的坐标面
第二个下标：切应力的方向
九个应力分量中，六个切向应力两两相等
 xy   yx 
 yz
 xz

  zy 

  zx 
（8－2）
证明：取单位厚度微团, 通过其形心并平行于
ｘ轴线的力矩平衡关系如下:
pz 
面力是二阶小量，
质量力是三阶小量
对形心取矩，忽略了
质量力引起的力矩：
pz
dz
z
 zy 
 zy
y
dy
z
 yz 
形心
py
 yz
dx
py 
dy
 yz
y
p y
y
dy
dy
 zy
力矩方程为：
pz
y
 yz
 zy
dy
dy
dz
dz
 yz dz   ( yz 
dy)dz    zy dy   ( zy 
dz )dy  0
2
y
2
2
z
2
略去高阶小量后得： yz
  zy
同理可以证明另外两式成立，即
 xz   zx
 yx   xy
应力张量中只有六个分量是独立的。
 p xx  xy  xz

 yx p yy  yz

 zx  zy p zz





（8－1）
2. N-S方程的推导
ｘ方向的平衡方程：
 yx
px
 px dydz  ( px 
dx)dydz   yx dzdx  ( yx 
dy)dzdx
x
y
 zx dydx  ( zx
 zx

dz ) dydx   Xdxdydz
z
  dxdydzax
 xz
 xz

dx
x
 xy
 xz
dz
z
 xy 
dx
dy
x
y
px
p x
px 
dx
x
 xy
x
dx
稍加整理，消去ρdxdydz得ｘ方向的方程式，
DVx
1 pxx  yx  zx
X (


)
Dt
 x
y
z
同理可得ｙ方向和ｚ方向的方程式
 yx
DVx
 zx
1 pxx
 X 
(


)
Dt
 x
y
z
DVy
Pyy
 zy
1  yx
Y 
(


)
Dt
 x
y
z
 zy
DVz
pzz
1  zx
Z
(


)
Dt
 x
y
z
单位质量流体的惯性力
单位质量流体的应力
单位质量流体的质量力
这就是应力形式的粘性流体运动微分方程
讨论
1.式（８-５）中未知函数:三个速度分量和六个
应力分量，加上连续性方程，只有四个方程，
2.若要求解，需补充方程。
3.应力与变形速度之间是否有某种关系？
流体力学中实验证明，流体微团上的应力与微团
的变形速度成正比。例如由最简单的牛顿平板剪流
dvx
 
dy
（８-６）
某瞬时一方形微团ABCD，经过时间dt后变为棱
形A’B’C’D’ ，微团的剪切变形速度为:
dux
d  dux dt

/ dt 
dt
dy
dy
剪切变形速度与速度
梯度联系起来了
牛顿内摩擦定律暗示着切应力与剪切变形速
度成正比，比例系数为流体的粘性系数μ。
把牛顿内摩擦定律推广于下图一般的平面
剪切变形就有
d 1 d 2
d
   xy   yx     ( 
)
dt
dt dt
也即
 xy
 yz
 xz

vx v y
  yx   (

)  2 z 
dy
dx


v y vz

  zy   (

)  2 x 
dz
dy


vz vx
  zx   (

)  2 y 
dx
dz


（8—7）
y
B

C’

B’
C

d1
D’
A
d2

D
x
这就建立了切应力与速度之间的关系，即补
充了三个方程。
法向应力与线变形速度之关系:
对于理想流体，在同一点各方向的法向应力
（即压力）是相等的，即ｐｘ= ｐy = ｐz = －ｐ
流体微团运动中存在角变形，线变形，即在流
体微团法线方向有线变形速度，它将使粘性流体中
的法向应力有所改变（与理想流体相比），产生附
加法向应力。
将牛顿内摩擦定律推广，假设附加法向应力
等于动力粘性系数与两倍线变形速度的乘积，得
法向应力的表达式：
vx

px   p  2 
  p  2  x 
x

v y

p y   p  2
  p  2  y 
y


vz
pz   p  2 
  p  2  z 
z

(８--８）
可见，在粘性流体中同一点任意三个互相垂直的
法向应力是不相等的，它们的总和为：
vx vy vz
px  py  pz  3 p  2 (   )
x y z
（８--９）
问题：上式括号内表示什么？
对于不可压缩流体，故有：
1
p   ( px  p y  pz )
3
(8-10)
即对于粘性不可压缩流体，三个互相垂直的法
向应力的算术平均值恰好等于理想流体的压力。
将切向应力和法向应力关系式代入（8--5）式得
vx
vx
vx
vx
1 p
 

2
 vx  v y  vz  X 
  v x 
(div v ) 
t
x
y
z
 x
3 x

v y
v y
v y
v y

1 p
 
2
 vx  v y  vz
Y 
  v y 
(div v ) 
t
x
y
z
 y
3 y


vz
vz
vz
vz
1 p
 
2
 vx  v y  vz  Z 
  v z 
(div v ) 
t
x
y
z
 z
3 z

这就是N——S方程
对于不可压缩流体，上式最后一项为零。
(8-11)
vx
vx
vx
vx
 2 vx  2 vx  2 vx 
1 p
 vx
 vy
 vz
X
 ( 2  2  2 ) 
t
x
y
z
 x
x
y
z 
v y
v y
v y
v y
 2v y  2v y  2v y 
1 p
 vx
 vy
 vz
Y 
 ( 2  2  2 )  （8--12）
t
x
y
z
 y
x
y
z 
vz
vz
vz
vz
 2 vz  2 vz  2 vz 
1 p
 vx
 vy
 vz
Z
 ( 2  2  2 ) 
t
x
y
z
 z
x
y
z 
Ｎ－Ｓ方程的矢量形式：
可压缩
v
1

2
 (v )v  F  p  v  (  v )
t

3
（8-13）
v
1
 (v )v  F  p  2v
t

（8-14）
不可压缩
讨论
1.方程（8-12）的求解：
三个速度和压力，加上连续性方程，方程封
闭。但由于数学上的困难，只有少数特殊情况
下有解析解。
2.方程（8-12）为偏微分方程，求解时应给定边
界条件和初始条件。
3. 物面上为无滑移条件（切向速度为零）
与理想流体不同。
§８-２
二元平板间粘性流体的流动
粘性不可压缩流体里流过间距为２Ｈ的两静
止无限大平行平板。
流动状态：定常层流，无剪切，有压力差驱动。
讨论问题：决定流体的速度分布和压力分布
本问题是N-S 方
程的精确解之一
在上述条件下，流动将是二元的，质量力可略
去不计，Ｎ－Ｓ方程和连续方程可简化为：
 vx
vx
1
 vy

vx

x

y


 v
vx
1
x
 vy

vx
y

 x
 v v y
0
 x
 x y
 2 vx  2 vx
p
 ( 2  2 )
x
x
y
 vy  vy
p
 ( 2  2 )
y
x
y
2
(a)
2
只要积分上述方程便可求得速度分布
(b)
(c)
ux  V ,
uy  0
(d)
代入(ｃ)得
u
： x  0
所以 V＝V(ｙ)
（8--15）
流速仅为ｙ的函数，与ｘ无关，即沿ｘ轴
任何一横截面上，速度分布都相同。
将(ｄ)代入(ｂ)可得:
p
0
y
所以 p  p( x)
（8--16）
压力仅为ｘ的函数，与ｙ无关，即沿ｘ轴的
任何横截面上的压力分布是均匀的，但不同截面
上具有不同的压力。
将（ｄ）式代入（ａ）式，经移项后可得
d 2u
1 dp

2
dy
 dx
(e)
考虑到（8-13）和（8-14）将偏微分改为常微分
上式左边为ｙ的函数，右边为ｘ的函数，因此
dp
C
dx
（8--17）
（ｅ）式的积分结果为：
1 dp
u
(H 2  y2 )
2  dx
（８--１８）
积分应用了物面边界条件：
du
y  0,
0
dy
y  H ,u  0
ｘ轴上速度为最大值，即ｙ= 0，u = umax
所以 umax
1 dp 2

H
2 dx
（8-19）
将上式代入（８-１８）式可得
2
y
u  umax (1  2 )
H
（8--20）
速度分布为抛物线规律，这是层流的
重要特性。
讨论：
1.已经求得速度分布，如何求流量？
2.平均速度如何求？
3.最大速度与平均速度的关系如何？
4.由我们已经学到得流体力学知识，如何测量管内
层流流动时横界面上最大速度？
5.实际问题中测得管内最大速度后有何实际义？
6. 由于流体有黏性，就有损失，管内流动损失
表现为哪个流动参量的下降？
结论
无限大两平行平板间不可压缩、无剪切、有压
差驱动的定常层流：
1. 速度分布为抛物线
2. 最大速度为平均速度的2倍
3. 流量可由最大速度之半与过水断面面积之积
得出。
4.流动损失为压力差
N-S方程的精确解之二
无限大平行平板，剪切流动，压力差驱动，定常层流
y
U
u
2h
x
vw0
U 0
不可压连方
动量方程
u v w
u
 
 0,
 0, u  u ( y )
x y z
x
u u u
u
1 p
 2 u  2 u  2u
u v  w  
 ( 2  2  2 )
t
x y
z
 x
x y z
动量方程
简化为
u u u u
1 p
 2 u  2 u  2u
u v  w  
 ( 2  2  2 )
t
x y
z
 x
x y z
 2u 1 p

 const.
2
y
 x
1 p 2
y  c1 y  c2
积分 u ( y) 
2 x
y  h
yh
得
1 p 2
u0
h  c1h  c2
2  x
1 p 2
u U 
h  c1h  c2
2  x
c1  U / 2h
1 p 2
c2  U / 2 
h
2  x
y
U
u
2h
x
U 0
U
1 p
2
2
u( y) 
( y  h) 
h

y


2h
2 x
剪切流动
+
压差流动
+
u
U 1 p
h)
 h   ( ) yh   ( 
y
2h  x
下板表面切应力
u
U 1 p
h)
 h   ( ) yh   ( 
y
2h  x
上板表面切应力
思考问题
u( y)  ?
y
U1
u
x
2h
U2
两板之间的流量，平均速度，能量损失如何
计算？
I believe all of you can do it very well.
例8-1 两平行平板相距h＝10mm，上板相对下板
以U＝1.5ｍ/s的速度向上运动，垂直距离为１m
的流层两点压力分别为:
p1  250 KN / m
粘性系数和密度分别为:
  0.9pa  s
  1260kg / m
试确定：
1）速度和切应力分布；
2）最大流速；
3）上板上的切应力
3
2
p2  80 KN / m
2
解：
1）
两平板间液体在压差和剪切联合作用下流动，速
度方向与压差方向相反。平板间流动的速度分布
为(x轴平行下板向上）：
1 d ( p   gz )
Uy
2
u
(hy  y ) 
2
dx
h
速度分布由如下办法求得：
粘性剪切，压差，重力作用下, 定常二元NS方程简化为：
 vx
vx
 2 vx  2 vx
1 p
 vy
X
 ( 2 
)
vx
2
y
 x
x
y
 x
2

vx
 2 vx  v y
1 p
 vx
 vy
Y 
 ( 2 
)
vx
2
y
 y
x
y
 x
 v
v y
x

0

y

 x
(1)
(2)
(3)
连续性方程化简为：
u x
0
x
即
p
(2)式化简为：
  g cos  
y
ux  f ( y)
(4)
y  h时，p  pa
积分得
p    g cos  ( y  h)  pa
由(1)有
1 p   ux
g sin  

0
2
 x  x
2
 ux
1 d ( p   gH )
所以

2
x

dx
两次积分得 u  1 d ( p   gH ) y 2  c y  c
x
1
2
2
dx
2
积分常数由如下边界条件确定
y  0，ux  0，y  h，ux  U
1 d ( p   gH )
Uy
2
ux 
(hy  y ) 
2
dx
h
这是x轴平行平板向下的速度表达式，如果向上，
则与教材一致。
( p   gz ) 2  250 10  1260  9.8 1  262.36kp a
3
( p   gz )1  80kpa
d ( p   gz ) 80  262.36

 128.97( KPa)
dx
2
所以
128.97 103
1.5
2
u
(0.01y  y ) 
y  566.5 y  71.65 103 y 2
2  0.9
0.01
2）由τ＝－μｄｕ/ｄｙ可得切应力分布:
du
3
 566.5  143.3 10 y
dy
  509.85  128.97 10 y
3
2）当
解得
du
 0 时速度最大，即 566.5 y  143.3 103 y  0
dy
y  3.95 10
3
所以
umax  566.5  3.95 103  71.65 103  (3.95 103 ) 2  1.12m / s
上板的切应力（ｙ＝ｈ＝0.01ｍ）
du
 h  
dy
y h
 509.85  128.97 10  0.01  780 Pa
3
例8－2
无限长水平圆管定常层流
z
r0
u (r )
z
r
y

y
x
连续方程
轴对称流动
动量方程
u v w
u
 
 0,
 0, u  u (r )
x y z
x

0

u
u
u
u
1 p
u
v w

   2u
t
x
y
z
 x
动量方程
积分
1 p
1 d
du
2
 u 
(r
)
 x
r dr
dr

或
再积分得 
du
1 p r 2
r

 c1
dr
 x 2
c1
du
1 p r


dr
 x 2
r
1 p 2
u (r ) 
r  c1 ln r  c2
4  x
边界条件： r  0 速度保持有限  c1  0
r  r0 , u  0

1 p 2
c2  
r0
4 x
最后得
1 p 2
u (r ) 
(r  r02 )
4 x
1 p
u (r ) 
( r02  r 2 )
4 l
与以前的结果相同
旋转抛物面分布