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第七章 欧拉方程
§7.1
欧拉运动学方程
§7.2
欧拉动力学方程
§7.3
重刚体定点转动的求解
§7.1 欧拉运动学方程
(一) 欧拉角
1.刚体定点转动的例子
陀螺
常平架
2.欧拉角
刚体绕固定点转动时，自由度是3，因而确定
刚体的位置需要三个独立变量。这三个独立变量可
以有各种取法，最常用的一种取法是用两个角度确
定瞬时转轴的方位，再用另一个角度确定刚体绕这
个轴所转过的角度。这三个角通常称为欧拉角。
为描述定点转动，选定点为坐标原点，用三个
独立变化的角度（欧拉角）确定转轴取向和绕转轴
转过的角度.
章动
角
Z轴位置由
θ,φ角决定
进动
角
自转
角
节线ON
0   
0    2
0    2
3.刚体定点转动的运动方程
一般说来，刚体若作定点转动，则其欧拉角是时
间的函数。如果确定了三个函数关系式，就确定了刚
体的运动，也就是说，如果选欧拉角为坐标，有
    t 

    t 

    t 
（7.1—1）
这就是刚体定点转动的运动方程。由（7.1—1）式
可以确定刚体在任何时刻欧拉角的数值，从而就确
定了刚体的位置。
(二). 瞬时角速度与瞬时转轴
1.瞬时角速度
由上面的论述可知，如果采用欧拉角描述刚体的
定点转动，则刚体在每一时刻都具有互相独立的自转
角速度、章动角速度和进动角速度。因此，刚体的瞬
时角速度应是这三个角速度的矢量和，即
   
(7.1—3)
2.瞬时转轴
定点转动的独立变量有三个，其中两个
确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转
动的角度。
定点转动时，转动轴的方向随
时间变化，转动瞬轴在空间描绘的
锥面称空间极面，在刚体内描绘的
锥面称本体极面。
定点转动时，一个角速度矢量
（有三个分量）就足以描述刚体运动。
(三).欧拉运动学方程
在直角坐标系
   xi   y j   zk



 x   sin  sin    co s 
 y   sin  co s    sin 
 z   co s   

   ,  ,
（四）速度和加速度
1.速度
v 
dr

   r
dt
v  vA 
a 
2.加速度
dr 
dt
dv
dt
O

d
dt
a 
 r      r
dt
a  aA 
 r    r
d
dt
P
r
 vA    r
转动加
速度
d
R
M
向轴加
速度
   2r
 r     r    r 
2

例 7-1 B当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水
平圆形轨道C转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心A的联
线和沿垂线成θ角时，点的速度及加速度。已知螺旋桨
的长度AB ＝l，螺旋桨自身旋转的角速度为ω1。
解：这个是一般运动问题
v  vA 
vA  Vj
dr 
dt
 vA    r
  1 j 
V
r   l sin  i  l co s  k
R
k
因此，B点的速度为：
vB
V 

 V j   1 j 
k   l sin  i  l cos  k
R 

vB
l


  1 l co s  i  V  1 
sin   j   1 l sin  k
R




B点的加速度为：
aB  a A 
d
dt
 1
vA  Vj
d
dt
dj
dt
 r       r 
 1 ,  0  j  
  1 j 
V
R
k
 1V
i
R
r   l sin  i  l co s  k
a  aA 
 
V
d
dt
2
i 
R
 r       r 
 1V
R

i  l s in  i  l c o s  k

V
Vl

 

  1 j 
k    1l c o s  i 
c o s  j   1 l s in  k 
R
R

 

2
V 2

V l
2
 
  1 l s in  
s in   i
2
R
 R


2V  1 l
R
co s  j  1 l co s  k
2
1
2
 V 2

V l
2
  1 l sin  
sin



2
R
 R

a  
2
2
V

l

2
 
1

co s    1 l co s 
 
R


2

2
2






§7.2
欧拉动力学方程
(一) 定点转动的角动量定理
求解刚体定
点转动的基本
方程是角动量
方程。如果刚
体绕定点O以角
速度   t 转
动，则由角动
量定理可得
dJ 0
dt
 M0
利用第三章的惯量张量,可
以写出角动量定理的分量形式
 dJ x 
 dt  M x 

 dJ y 
 M y

 dt
 dJ z 
 M z

 dt
d
 dt  I x x   x   I x y   y   I x z   z    M x 

d
   I y x   x   I y y   y   I y z   z    M y 
 dt
d
   I z x   x   I z y   y   I z z   z    M z 
 dt
(二).欧拉的两点简化
1.采用本体坐标系
由于刚体相对于静止坐标系是运动的，故上式左部
所包含的惯量系数必然都是时间t的函数。这使得方程
（7.2—3）的求解极为复杂。如果采用本体坐标系则惯
量系数将均为常数.从而使问题的求解得以简化。所谓本
体坐标系就是固着在刚体上的坐标系。
2.取惯量主轴为坐标轴
当取惯量主轴为本体坐标系的坐标轴时,全部惯量
积便均为0,于是可以使问题的求解大为简化.
(三).欧拉方程
基本方程
dJ
 M
dt
将坐标系固联于刚体，则
J  J xi  J y j  J zk
但
dJ
dt
 J xi  J y j  J zk    J
取惯量主轴为坐标轴，有
J  I 1 x i  I 2  y j  I 3 z k
   xi   y j   zk
M  M xi  M
y
j  M zk
为什么？
J x  I 1 x ,
J y  I 2 y ,
i
j
k
y
z
I 2 y
I 3 z
 J  x
I 1 x
J z  I 3 z
欧拉动力学方程
 I 2  I 3   y z
I 2 y   I 3  I 1   z  x
I 3 z   I 1  I 2   x  y
I 1 x 
 M
x
 M
y
 M
z
机械能守恒
1
2
I
2
2
2


I


I

1
x
2
y
3
z
V
 E
(四) 由拉格朗日方程推导欧拉方程
  为广义坐标，取刚体的三条惯量主
以三个欧拉角  、、
轴为动坐标系的x、y、z轴。由第五章讨论知道，当广义坐标
为角量时，对应的广义力为沿转动轴方向的外力炬分量。但
与  、 对应的广义力并不是沿惯量主轴方向的力矩分量，而
是沿着节线方向和固定坐标系Z轴的力矩分量，只有与广义坐
标 对应的广义力 Q 才是沿主轴（z轴）方向的力矩分量 M z。
下面，利用拉格朗日方程推导z分量的欧拉动力学方程。

T 
1
2
T


( I 1 x  I 2  y  I 3  z )
2
T  x
 x 
2

T  y
2

T  z
 y 
 z 
 y
 x
 z
 I 1 x
 I 2 y
 I 3 z



利用欧拉运动学方程
 x   sin  sin    co s 
 y   sin  co s    sin 
 z   co s   
 x

T

T



 y

 0,
T  x
(
T
dt  

1

d
 I 3 z
 x 
 z
T  y
)  I 3 z

T  z
 y 
 z 
 y
 x
 z
 I 1 x
 I 2 y
 I 3 z



 x

 y

 z

T
   sin  sin    cos     x
 0
 I 1 x  y  I 2  y  x

d
   sin    sin  cos    y
(
T
dt  
)
T

 Mz
I 3  z  ( I 1  I 2 ) y  x  M
z
这就是z分量的欧拉动力学方程。由于把哪一个主轴作为z轴
是完全任意的，因此我们可以通过轮换下标的方法写出沿其
它两个方向的欧拉动力学方程。对所有轴的方程为
 I 1  x  ( I 2  I 3 ) y  z  M

 I 2  y  ( I 3  I 1 ) z  x  M
 I 3  z  ( I 1  I 2 ) y  x  M
x
y
z
这就是由拉格朗日方程推导出的刚体定点运动时的欧拉动力
学方程。
值得指出的是，如只限于在正交系中求解，则方程
（7.2-11）的第三式是唯一能够直接用拉格朗日方程导出的方
程，而其它两式都不能通过拉格朗日方程直接求得，其原因
如前面所述，与广义坐标
对应的广义力不是
，
M x和 M y
、 
而是沿节线方向和固定坐标系Z轴方向的力矩分量。事实上，
在很多情况下，我们并不需要知道欧拉动力学方程，而是直
接利用拉格朗日方程给出以欧拉角为广义坐标的刚体定点运
动的微分方程。以欧拉角为广义坐标的刚体定点运动的拉格
朗日函数为
L
1
2

1
2
I 1 ( sin  sin    cos  ) 
2
I 3 ( cos    )  V
2
1
2
I 2 ( sin  cos    sin  )
2
§7.3 重刚体定点转动的求解
(一). 几种可解情况
一个刚体，除约束反力外，有时只在重力作用下作
定点转动，我们把这种刚体叫重刚体，例如陀螺．陀螺
下端和地面接触的那一点是一个定点．
已知的可解情况
1. 欧勒—潘索情况 外力的合力通过固定点 O，固定点O
和刚体的重心G相重合，形状没有限制——不对称陀螺或
欧勒陀螺。
2. 拉格朗日—泊松情况 I1＝ I2 ≠I3，刚体的重心则位于
动力对称轴上但不与固定点重合——回转仪，也叫拉格朗
日陀螺或简称陀螺。
3．C．D．可娃列夫斯卡雅情况 I1＝ I2 ＝ 2I3，重心在惯
量椭球的赤道平面上——对称陀螺。
(二). 欧勒—潘索情况
M
x
 M
y
 M
z
0
欧勒动力学方程
I 1 x   I 2  I 3   y  z
I 2 y   I 3  I 1   z  x
I 3 z   I 1  I 2   x  y
 x   0 cos  nt   
 y   0 s in  n t   
 0
 0
 0
 x   n y   n 2  x
一般情况仍难以求解，若I1=I2，
求导
 I 2  I 3   y z
I 2 y   I 3  I 1   z  x
 0
 x  n y  0
 0
 y  n x  0
I 1 x 
I 3 z  0
z    常数
n 
I 3  I1
I1

 x   0 cos  nt   
 y   0 s in  n t   
z    常数
利用第一积分和欧勒运动学
方程，可求出运动规律。
总角速度的大小
 

 x2   y2   z2
 02   2  常 数
方向绕Oz作匀速转动，绘圆锥体
周期为
 
2
n

2
I1

I 3  I1
欧勒运动学方程
 x   s in  s in    c o s 
 y   s in  c o s    s in 
 z   cos   
首先注意，动量矩是恒矢量
（M=0）取其方向为ζ（与 同
方向），它在固定坐标系的分量
与 也相同。
J x  J sin  sin   I 1 x
J y  J sin  co s   I 1 y
J z  J co s   I 3 z  I 3 



J x  J sin  sin   I 1 x
J y  J sin  co s   I 1 y
  0  常数
J z  J co s   I 3 z  I 3 
J sin  0  I 1 0
 x   0 cos  nt   
 y   0 s in  n t   
再以  z
积分，得
 ,
  n
  sec  0    n  t  1
 

  nt  
2
  0  常数

 

2
  nt  
代入  z   co s   

  sec  0    n  t  1
 

  nt  
2
  0  常数

  sec  0    n   0
  n  0
  0
除了绕z轴自转，还绕ζ轴进动
地理地
轴
天文地
轴
从地球看天文地轴（地球转动瞬轴）绕地理地轴
（地球的对称轴）转动
因
2

I1
 1日
I 3  I1
 300
所以，天文地轴绕地理地轴转动的周期为
 
2
I1

I 3  I1
 3 0 0日
这种现象在天文学上叫做纬度变迁。由于太阳引力和
月球引力对地球质心的力矩不为零，这只是一种近
似。实际测量的结果为为14个月。
(三). 拉格朗陀螺
K与进动角
速度同方向
1. 动能和势能
因为现在我们所研究的对象是对称陀螺，如
果如取对称轴为z轴，则三个主转动惯量可用
I 1  I 2  I 3 表示，其转动动能为
T 
1
2
T 
1
2
势能

I1  
I1 
2
2
x

2
 sin 
2
y
2

1
2
1
I 3
2
z
  2 I  cos    
3
V  m gl cos 
2
2.拉格朗日函数与守恒量
可写出拉格朗日函数
L 
1
2
因
L

I1 
2
 sin 
2
2
L
  2 I  cos    
1
3
2
 m gl cos 
中不显含 和 ，即  和 都是循环坐标，得
L

2
 I 1 sin   I 3  cos     cos   常 数   



L

 I 3  cos      I 3 s  常 数  



cos     s


2
I 1 sin    cos    
因为
1
2

I1 
2
L
t
 0
，广义能量守恒

  sin  
2
2
1
2
I 3  cos   

2
 m gl cos   E
即

I1 

2
 sin 
2
2



2
I3
 2  E  m gl cos 

I 1    sin   I 3 s  2  E  m gl cos 
2
2
2
2

3.章动的求解
I 1 sin   I 3 s co s   
2
 z   cos     s  常 数

I1 
令
2
I3s

2
I1  x 



2
2
sin 
2

I3s
2

 2  E  m g l co s 

 ，
co s   x

  x 
2

2
I1
I3


2
1  x   2  E
2
 m g lx  1  x
2

x
2
x
f
x
2
x
 f

1 

2

2
E


2
m
g
lx
1

x


I1 
I3


2
2m gl
x
 x1   x  x 2
  x
 1 
I1
 
 
I 1 1  x

2

x

  x
2
2
I1
 x3

x1  x 2  1  x 3

f (x)
2
 x
I3
只要知道x与t的关系，
运动就完全确定。
1
1
O
x1 x 2
x3
x

黄极
由于地球是一个扁球体,太阳引力和月球引力对地球质心
的力矩使得地球自转轴在地心参考系中产生进动. 进动周
期大约是25800年，章动周期19年。由于进动,从地球上看,
地轴的赤道平面在空间改变取向的结果春分点和秋分点逐
年有所变化，这种现象叫岁差。