Transcript 例: 质量为m

例 花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始
时两臂伸开，转动惯量为I0，角速度为0，然后
将两臂合拢，使其转动惯量变为2/3I0，则此时转
动角速度 =
2
I 0 0  I 0
3
3 20 。
例：有一半径为R的水平圆转台，可绕通过其中心的竖
直固定光滑轴转动，转动惯量为 J，开始时转台以
匀角速度  0 转动，此时有一质量为 m的人站在转
台中心。随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边
缘时，转台的角速度为 
 J 0 J  mR
根据角动量守恒，有


J 0  J  mR 
2
2

例1：长为
l、质量为M的匀质杆可绕通过杆一端O的
1
2
M
l
水平光滑固定轴转动，转动惯量为
，开
3
始时杆竖直下垂，如图所示。有一质量为
子弹以水平速度
的
m

v0射入杆上A点，并嵌在杆中，
OA  2l 3，则子弹射入后瞬间杆的角速度
6v0
  (4  3M m)l
O
.
碰撞前后杆与子弹系统角动量守恒
2
1 2
2 2
mv0  l  [ Ml  m( l ) ]
3
3
3
2l 3
.
A

v0
m
例：一根质量为
m、长为 l
的均匀细杆，可在水平
桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动。已知细
杆与桌面的滑动摩擦系数为
 ，则杆转动时受
的摩擦力矩的大小为多少？
解：如图所示，取长为
dl 质元
dr
m
dm  dr
l
m
dM  gr dr
l
l
l
m
1
M   dM   g rdr  gml
0
0
l
2
例:一根轻绳绕过质量为
m 4 , 半径为 R的定滑轮。
定滑轮的质量均匀分布在边缘上。绳的一端系一
质量为 m
2的重物，绳的另一端由质量为 m的
人抓住，如图所示。若绳与滑轮间没有滑动，当
人从静止开始以匀速率
物 B上升的速率
u相对绳子向上爬时，重
v多大？人对地
的速度多大？并讨论该速度的方向
（人对地何时向上？何时向下？）
由题设知滑轮
m 2
J R
4
A
B
T2
解一： 作分隔示力图
列方程：

a
对人 : mg  T2  ma mg
1
1
对B : T1  mg  ma
2
2
2
mR
对滑轮 : (T2  T1 ) R 

4
绳与轮无相对滑动 : a  R
联立解得：
T1
a  2g 7
B
T2 T1
a
1
mg
2
则B上升速度：
v  at  2gt 7
（与人爬速度无关）
人对地的速度为：
u  2gt 7
解二：选滑轮、人和重物为一系统，人和重物的重力
有力矩，合外力矩不为零，角动量不守恒。
M  dL dt
1
1
M  mgR  mgR  mgR
2
2
由角动量定理
合外力矩
t 时刻 角动量为 L
m
L  Rv  J  mR(u  v)
2
2
 du dt  0 J  mR 4 a  dv dt  R  R d dt
dv 2
2
 g v  gt (t  0 v0  0)
解得：
dt 7
7
例: 质量为 m，半径为R的圆柱轮，可绕固定轴O转动。
在光滑台面上有一质量为M、长度为L的平板。起初，
板静止于图示位置。现用水平方向恒力 F 拉动平板，
使它与轮缘无相对滑动地通过轮子，忽略轴的摩擦。
求：（1）板在运动过程中与轮间的摩擦力；
（2）板与轮子脱离接触时的速率。（已知圆柱
轮绕轴O转动时的转动惯量 J= 1/2 mR2）
O
R
F
M
L
解：
f
O
R
M
F
f
F  f  Ma
Rf  J
a  R
1
J  mR 2
2
 v
4 FL
2M  m
解方程组得:
mF
f 
2M  m
2F
a
2M  m
恒量
v  v  2aL (v0  0)
2
2
0
例: 一半径为R的圆盘可绕通过圆盘中心、且与盘面垂直
的水平轴转动，圆盘的转动惯量为J。盘上绕有一根
不可伸长的轻绳，绳与圆盘间无相对滑动。当绳端系
一质量为m的物体时，物体匀速下降。若在绳端改系
一质量为M的物体，物体加速下降。假设圆盘与轴间
的摩擦力矩为恒量，并不计空气阻力。
求：（1）圆盘与轴间的摩擦力矩；
（2）质量为M的物体的加速度。
R
O
解： （1）
mg T  0
T
RT  M f  0
摩擦力矩
（2）
T
M f  mgR
T
RT   M f  J
Mg  T   Ma
T
R  a
加速度
( M  m) gR
a
J  MR 2
mg
2
Mg
例: 一质量为m，长为l 的均匀细杆可绕过杆的一端的光
滑水平轴O转动（如图），杆相对转轴O的转动惯量
1
J  ml 2 。若杆由与铅直方向成
3
 0  600 角的位置
从静止开始运动，求其到达垂直位置时的角速度ω。
解一：
M  J
l
1 2
 mg sin   ml 
2
3
3g
d d
    sin  

2l
dt d

3g
600  2l sin d  0 d
0
  3g
2l
O
╯
 l
m
mg
解二：由机械能守恒
l l
1
1 1 2 2
0
2
mg (  cos 60 )  J   ml 
2 2
2
2 3
3
g

2l
例：一质量为m的小球放在光滑水平桌面上，用一穿过
桌面中心光滑小孔的轻绳与小球相连。开始时，小
球在桌面上绕中心作半径为 r1的匀速率圆周运动，
此时绳的拉力为F。然后慢慢地增大绳的拉力，使
小球的运动半径由 r1减小到 r2，最终使小球保持在
半径为 r2的圆周上作匀速率圆周运动。
求: (1) 小球最终的角速度;
(2) 在小球运动半径从r1到r2的过程中拉力所做的功。
解：(1)小球作半径为r1的圆周运动 F  mr112
在小球运动半径减少过程中角动量守恒
mr 1  mr 2
2
1
2
2
则小球最终角速度
r12
r12
2  2 1  2
r2
r2
F
mr1
(2)拉力所做的功
1 2 2 1 2 2 1 2 r12
W  mr2 2  mr1 1  mr2 ( 2
2
2
2
r2
 r
1
 Fr1  1
2
 r2


  1


2
F 2 1 2 F
)  mr1
mr1
2
mr1