Transcript 3.3典型测试系统的动态特性 弹簧－阻尼系统 ● 举例：一个弹簧－阻尼系统 根据动力学分析，建立运动方程 dy (t ) c  ky (t )  k1 x(t ) dt ● 是一个典型的一阶系统。 ● 将此公式左右作富里叶变换得： cY ()( j)  kY ()  k1

3.3典型测试系统的动态特性
弹簧－阻尼系统
● 举例：一个弹簧－阻尼系统
根据动力学分析，建立运动方程
dy (t )
c
 ky (t )  k1 x(t )
dt
● 是一个典型的一阶系统。
● 将此公式左右作富里叶变换得：
cY ()( j)  kY ()  k1 X ()
一阶系统频率响应函数
该系统的频响函数为
1
k1
Y ( )
k1


H ( j ) 

X ( ) c( j )  k c j  1 k
k
系统灵敏度
将此式作归一化处理
H  j  
1
 j  1
一阶系统频率响应函数
由于 H ( j ) 是复数，它可以分解为幅值和
相位两方面表达，其模 H ( j ) 称为系统的
幅频特性；其相角  ( ) 称为系统的相频特性
，它们都是频率  的函数。
1
A   H  j  
2
1   
    arctg 
由此二公式绘制出该系统的幅频特性曲线和相
频特性曲线
一阶系统频率特性
幅频特性曲线
相频特性曲线
Bode图
Bode图：幅值坐
标用分贝数，频
率坐标用对数分
度绘制的幅频特
性和相频特性曲
线，称为 Bode
图。
实、虚频率特性
H ( j ) 是复数，可以表达为：
H ( j )  Re( )  j Im( )
式中 Re( ) 是 H ( j ) 的实部
Im( )是 H ( j ) 的虚部
Re( ) 和 Im( )都是  的实函数。
Re  
Im  
1
1   
 
2
1   
2
Nyquist（奈奎斯特）曲线
将实部作横坐标，
虚部作纵坐标绘制
出 Re( ) 对 Im( )的
曲线，并分别在曲
线上注明相应的频
率，所得的曲线称
为幅相频特性曲线，
常称为Nyquist（奈
奎斯特）曲线。
A
Nyquist（奈奎斯特）曲线
由图可见，在某一 i 时，向径 OA 的长度
代表了频响函数 H ( j ) 在频率为 i 下的
模 H ( ji ) ，而 OA 与横坐标轴的夹角代表了
频响函数 H ( j ) 在该频率下的相角  (i )
质量－弹簧－阻尼系统
举例：一个质量－弹簧－阻尼系统
根据动力学分析，建立运动方程
2
d y (t )
dy(t )
m
c
 ky(t )  k1 x(t )
2
dt
dt
是一个典型的二阶系统。
将此公式左右作富里叶变换得：
弹
簧
阻尼
位移响应
交变力
mY( )( j )  cY ( )( j )  kY ( )  k1 X ( )
2
质量－弹簧－阻尼系统
该系统的频响函数为
Y ( )
k1
H ( j ) 

2
X ( ) m( j )  c( j )  k
令  
n


k
m
c
 
2 km
k1
S
k
－系统的固有角频率
－系统的阻尼率
－系统的灵敏度
质量－弹簧－阻尼系统
则上式就成为：
n
H ( j ) 
S
2
2
   2 jn   n

1

1  
 n
2


  2j 

 n
将此式作归一化处理
H ( j ) 
1
 
1 

 n
2

 

  2j 


 n




S

系统灵敏度

 系统固有角频率
质量－弹簧－阻尼系统
H ( j ) 
1
  
1   
   n 
2 2
2

2  
  4  

 n 
 
2  
n 

 ( )  arctg
2
 
1   
 n 
由此二公式可绘制出该系统的幅频特性曲线
和相频特性曲线
频率特性
幅频特性曲线
相频特性曲线
ζ阻尼率
固有频率
Bode图
实、虚频率特性

H ( j ) 是复数，可以表达为：
H ( j )  Re( )  j Im( )
式中 Re( ) 是 H ( j )
的实部
Im( )是 H ( j ) 的虚部

 Re( )和 Im( )都是  的实函数。
2
  
1 
 

 n
Re( ) 
2 2

   
1  
 
   4

 n 


实频特性
2
 


 n




2
实、虚频率特性
Im( ) 
虚频特性

 2
n

 
1  


 n





2
2

  4


2
 


 n




2
实频曲线
虚频曲线
Nyquist（奈奎斯特）曲线
信号通过系统的时频域响应
信号通过系统在时域内所得的响应（输出）是
输入信号与系统的脉冲响应函数的卷积；在频域
内响应信号的频谱函数是输入信号的频谱函数与
系统的频响函数的乘积。
Y ( )  X ( )  H ( j )
因为 X ( )
与H ( j ) 一般均为复数，皆可表达为
X ( )  X ( ) e
j x ( )
H ( j )  H ( j ) e
j ( )
信号通过系统的时频域响应
所以
Y ( ) e
j y ( )
 X ( ) e
j x ( )
 H ( j ) e
j ( )
此时可分辨表达为幅值运算和相位运算
Y ( )  X ( )  H ( j ) （幅值相乘）
即
e
j y ( )
e
j x ( )
e
j ( )
 y ( )   x ( )   ( )
(相位相加)
举例
  0.25
举例：一检测系统为二阶线性系统，其频响
函数为
H ( j ) 
1
 
1 

 n
2

 

  0.5 j 


 n
则其响应的幅频特性为
H ( j ) 
1
 
1  
   n



2
2


  0.25

 n



2




举例
其相频特性为
系统的冲激响应h(t)
  
0.5
 

 n
 ( )   arctg
2
  
1 
 

 n
系统的幅相频特性
举例

输入信号为： x (t )  cos( 0t  )  0.5 cos(2 0t   )
2
 0.2 cos(4 0t 

6
)
输入信号的幅相频特性
6
举例
则输出信号
y (t )  x (t )  h(t )
6
举例
频域计算则为幅频相
乘，相频相加。
6
Y ( )  X ( )  H ( j )
2.0
-0.9π
1.28
 y ( )   x ( )   ( )
0.32
-0.1π
6
举例
方波通过不同频响系统后波形变化 1
6
方波通过不同频响系统后波形变化 2
输入
6
方波通过不同频响系统后波形变化 3
输入
6
方波通过不同频响系统后波形变化 4
输入
6
方波通过不同频响系统后波形变化 5
输入
6
测试与检测技术基础
频响函数与传递函数
描述系统动态特性更为广泛的函数是传递函数
传递函数的定义是初始条件为零时系统输出信
号的拉普拉斯变换(拉氏变换)与输入信号的拉
Y ( s)
氏变换之比，记为 H (s )
H ( s) 
X ( s)

 st
Y
(
s
)

y
(
t
)
e
dt

式中 Y (s ) 为输出信号的拉氏变换
0


X (s ) 为输入信号的拉氏变换 X ( s)  0 x(t )est dt
s为拉氏变换算子

和  皆为实变量
s    j ,  0,
6
频响函数与传递函数
传递函数表示了系统的输入信号与输出信号
之间在复数域内的关系。即代表输入信号在
复数域经传递函数的加工而形成复数的输出
信号。是系统数学模型的一种表示方法。
频响函数与传递函数
对于一个线性系统，表达输出与输入信号的微
分方程是：
d n y (t )
d n 1 y (t )
dy(t )
an
 an 1
     a1
 a0 y ( t )
n
n 1
dt
dt
dt
d m x (t )
d m 1 x (t )
dx(t )
 bm
 bm 1
     b1
 b0 x (t )
m
m 1
dt
dt
dt
在零初始条件下，即 t  0 时 x(t )  0, y (t )  0 。
则其传递函数可分别对上式两边求拉氏变换求
得
Y ( s) bm s m  bm1s m1      b1s  b0
H ( s) 

n
n 1
X ( s) an s  an1s      a1s  a0
频响函数与传递函数
传递函数和频响函数均可描述系统，但它们
各自表达不同的物理含义，因此应用在不同场
合
如一正弦信号（单一频率）x(t )  sin t (t  0)
输入到一个一阶系统，一阶系统的运动微分方
程为
dy ( t )
c
将
程
dt
 ky (t )  k1 x ( t )
x(t )  sin t (t  0) 代入后可求解出微分方
6
频响函数与传递函数
y (t ) 
S
1  ( )
2
[sin(t   )  e
s /
cos ]
 A( )[ y1 (t )  y2 (t )]
式中
A( ) 
S
1  ( )2
y1 (t )  sin(t   )
y2 (t )  e
t /
cos
衰减项
6
频响函数与传递函数
若将此信号输入到一个二阶系统，此二阶系统
微分方程若为
2
d y (t )
dy(t )
m
c
 ky(t )  k1 x(t )
2
dt
dt
将
x(t )  sin t 代入求解得
y(t )  A( ){sin[t   ( )]  ent [k cosd t  k1 sin d t ]}
 A( )[ y1(t )  y2 (t )]
式中
y1(t )  sin[t   ( )]
y2 (t )  e
nt
[k cosd t  k1 sin d t ] 衰减项
6
频响函数与传递函数
由前面系统时域响应两个公式来看，无论一阶
还是二阶系统，其时域响应均可认为是由衰减
项 y2 (t )或 y2 (t ) 与不衰减项 y1 (t ) 或 y1(t ) 组成。衰
减项称为瞬态过程，不衰减项称为稳态过程
6
频响函数与传递函数
从另外的“域”来讨论同样问题：若输入信号
的拉氏变换和富里叶变换分别为


x(t )  sin t  X ( s) 拉氏变换
x(t )  sin t  X ( ) 富里叶变换
可以证明，正弦函数的拉氏变换与单边正弦信
号的富里叶变换相等，即
即


0

sin te dt   sin te
 st
X ( s)  X ( )
0
 jt
dt
(t  0)
6
频响函数与传递函数
将输出信号总括成
稳态过程
瞬态过程
y(t )  A( )[ y1 (t )  y2 (t )]
对它求拉氏变换得
Y ( s)  A( )[Y1 ( s)  Y2 ( s)]
由于
则
y1 (t ) 均为一正弦函数，故
Y1 ( s)  Y1 ( )
Y ( s)  A( )[Y1 ( )  Y2 ( s)]
稳态过程
瞬态过程
6
频响函数与传递函数
系统的传递函数为：
 Y1 ( )  Y2 ( s ) 
Y ( s)
 A( ) 
H ( s) 

)
s
(
X
X ( s)


 Y1 ( ) Y2 ( s ) 
 Y1 ( ) Y2 ( s ) 

 A( ) 

 A( ) 


)
s
(
X
)

(
X
)
s
(
X
)
s
(
X




Y2 ( s )
 H ( j )  A( )
X ( s)
重要
结论
稳态过程频响函数 瞬态过程传递函数
6
重要结论
频响函数的含义是一系统对输入与输出皆为正
弦信号传递关系的描述。它反映了系统稳态输
出与输入之间的关系，也称为正弦传递函数。
传递函数是系统对输入是正弦信号，而输出是
正弦叠加瞬态信号传递关系的描述。它反映了
系统包括稳态和瞬态输出与输入之间的关系。
如只研究稳态过程的信号，则用频响函数来分
析系统。如研究稳态和瞬态全过程信号，则用
传递函数来分析系统。
6