Slide 1

导数与微分
（一）
四川托普信息技术职业学院

数学教研室

宋燕 赵宝珠


Slide 2


Slide 3

引言
在解决实际问题时，我们除了需要

了解变量之间的函数关系，有时还需
要研究变量变化快慢的程度。例如，
物体运动的速度，城市人口增长的速

度，国民经济发展的速度等等。

从而，引入了导数的概念


Slide 4

引例
1.变速直线运动的速度
设一物体由静止状态作匀变速直线
运动，其运动方程为
1 2
S  at
2
下面，我们考察一下物体在时刻
t  1秒时的瞬时速度


Slide 5

分析：匀速直线运动物体的瞬时速度等
于平均速度，即

s
vt  v 
t

变速运动中，考察时间段 1, 1  t 
t 0

1  t
t
当 t  0时，物体可近似的看作是
匀速运动，即 v  v  1
v  1  lim v

0

1

t  0


Slide 6

此时间段内，物体的平均速度
s s  1  t   s  1 
v

t
t

1
1
2
a  1  t   a  12
a
2
2

 t  a
t
2

当 t  0.5
0 秒时，
当 t  0.1
秒时，
当t  0.01
秒时，

v  1.25a
v  1.05a
v  1.005a

v
1

lim
v

a


所以，
t  0

a


Slide 7

推
广

v t t

0

s
 lim v  lim
t  0
t  0  t
s  t 0  t   s  t 0 
 lim
t  0
t

上式表明，求变速直线运动的瞬时速
度可转化为求当时间改变量无限接近
于 0 时，路程的改变量与时间的改变
量之比的极限。


Slide 8

2. 切线问题

y

y  f  x
M1  x0   x, y0   y 

  x  0

M0  x0 , y0 



0



y

T

N

y0

x0 x0   x

x


Slide 9

可见，当x  0 时，点 M1沿着曲线 
点 M 0 ，同时割线 M1 M0 切线 M0T（即
割线 M1 M 0 的极限位置，   ，所以，
y
k M 0T  tan   lim tan   lim
x  0
x  0  x
f  x0   x   f  x 0 
 lim
x  0
x

上式表明，求曲线上每点处的切线斜率
可转化为求当 x 的改变量无限接近于 0
时，纵坐标 y 的改变量与横坐标 x 的改
变量之比的极限。


Slide 10

导数的定义
设有函数 y  f  x  ，记
x  x  x0
y  f  x0  x   f  x0 

定义1 设函数 y  f  x 在点 x0 及其附
近有定义，如果当x  0 时，
y
的极限存在，则称此极限值
x
为函数在点 x0处的导数，记作


Slide 11

y
f   x0   lim
x  0  x
f  x0  x   f  x 0 
 lim
x  0
x
dy
y

y
,
或记作 x  x0
，其中 反映
dx x  x0
x

函数 f  x 的平均变化速度，称为函
f   x0  反映函数
数的平均变化速度；
x0 处的变化速度，称为函数在点
x0
在点
处的变化率。


Slide 12

归纳 求函数在一点处导数的步骤：
（1）求出对应于自变量改变量x

的函数改变量

y  f ( x0  x )  f ( x0 )
（2）求出函数改变量与自变量改变量的比值
y f ( x0  x )  f ( x0 )

x
x
y
（3）求出当x  0
时
的极限
x
f ( x0  x )  f ( x0 )
y
lim
 lim
x  0 x
x  0
x


Slide 13

应用 例1 求函数 y  ax  b 在 x  2 处的导数
解：

⑴ y

 a  x0  x   b   ax0  b 
 a  2  x   b   2a  b 
 a x


y
a

x
⑵

a
x x
y
a x
⑶ lim
 lim
a
x 0 x
x 0 x

所以， y x  2  a


Slide 14

公式2
若将导数定义公式中作变量替换，令
x  x0  x ，则当x  0 时，x  x0 ，

从而公式变形为
f   x0   lim

x  x0

f  x   f  x0 
x  x0


Slide 15

应用

3
y

x
例2 求函数
在 x  1 处的导数

解： f   1  lim
x 1

f  x   f  1

x 1
3
x 1
 lim
x 1 x  1



 lim x 2  x  1
x 1

3




Slide 16

定义2 设函数 y  f  x  在区间  a, b  内可
导，对于区间内每一点 x，都有
一导数值与它对应，这就规定了
一个新的函数，称之为导函数，
dy
简称导数，记作 f   x  , y 或dx ，

即
f   x   lim

x  0

f  x  x   f  x 
x


Slide 17

1
应用 例3 求函数 y  的导数
x
1
1

解： (1)y 
x  x x
x

x ( x  x )
y
1
( 2)

x
x ( x  x )


y
1
1
(3) lim
 lim  
 2

x  0  x
x  0
x
 x ( x  x ) 



1
f ( x )   2
x


Slide 18

导数的几何意义
y

y  f  x
M1  x0   x, y0   y 

  x  0

M0  x0 , y0 



0



y

y
k M 0T  tan   lim tan   lim
x  0
x  0  x
f  x0  x   f  x 0 
 lim
 f   x0 
x  0
x

T

N

y0

x0 x0   x

x

  x0 , f  x0  处的切线方程为
曲线 y  f  x 上点
y  y0  f   x0  x  x0 
  x0 , f  x0  处的法线方程为
曲线 y  f  x 上点
1
y  y0  
x  x0 

f   x0 

 f   x   0
0


Slide 19

应用 例4

3
y

x
 2在点 1, 1 处的
求曲线

切线和法线方程

解：

f   1  lim

f  x   f  1

x 1
x3  1
 lim
x 1 x  1
x 1



 lim x 2  x  1
x 1



3

切线方程：y   1  3  x  1即 y  3 x  4
1
法线方程：y   1    x  1即 x  3 y  2  0
3


Slide 20

左导数与右导数
定义3

f ( x0  x )  f ( x0 )
y
 lim
如果 lim

x  0 x
x  0
x
存在，则称此极限值为 f  x 在

点 x 0 处的左导数，记作

f  x0 

f ( x0  x )  f ( x0 )
y
 lim
如果 lim

x  0 x
x  0
x
存在，则称此极限值为 f  x  在

点 x 0 处的右导数，记作 f  x0 


Slide 21

结论
函数 f  x  在
点 x 0可导

f  x0 和 f  x0 都存在
等价

f  x0   f  x0 


Slide 22

可导与连续
定理1 如果函数 y  f  x  在 x 0 处可导，
则它在点 x 0 处一定连续。
说明 可导必连续，但连续不一定可导

y

y x

0

x

图形的不光滑处(即尖点处)不可导


Slide 23

课后作业
习题3—1，1 ﹙1﹚、﹙2﹚、
2