Transcript 第六节 高斯公式 通量与散度

第六节 高斯公式 通量与散度
一、高斯公式
二 、通量与散度
一、高斯公式
设空间闭区域  由分片光滑的闭曲面  围
成，函数 P ( x , y , z )、Q( x , y , z )、R( x , y , z ) 在  上
具有一阶连续偏导数，则有公式
P Q R
( 
 )dv   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy

x y z


P Q R
或
( 
 )dv

x y z

  ( P cos   Q cos   R cos  )dS

这里  是  的整个边界曲面的外侧 ，cos  , cos  ,
cos  是  上点 ( x , y , z ) 处的法向量的方向余弦 .
证明 设闭区域  在 xOy 面
上的投影区域为 Dxy .
 由  1， 2 和  3 三部分组成，
 1 : z  z1 ( x , y ) ， 1 取下侧;

 2 : z  z2 ( x , y ) ， 2 取上侧;
 3 是以 Dxy 的边界曲线为准
线而母线平行于z 轴的柱
面上的一部分，取外侧 . x
根据三重积分的计算法,有
R
R
 z dv   {  z dz}dxdy
z2 ( x , y )

D xy
z1 ( x , y )
2
z
1
O
3
y
Dxy
R
 z dv   { 

z1 ( x , y )
D xy
R
dz}dxdy
z
z2 ( x , y )
  { R[ x , y, z ( x , y )]  R[ x , y, z ( x , y )]}dxdy.
2
1
D xy
2
z
根据曲面积分的计算法，有

(  1取下侧， 2 取上侧， 3 取外侧 )
1
O
y
Dxy
x
 R( x, y, z )dxdy    R[ x, y, z ( x, y)]dxdy,
1
1
D xy
 R( x, y, z )dxdy   R[ x, y, z ( x, y)]dxdy,
2
2
D xy
 R( x, y, z )dxdy  0. (  在 xOy上的投影为 0 )
3
3
3
 R( x , y, z )dxdy
于是

  { R[ x , y, z ( x , y )]  R[ x , y, z ( x , y )]}dxdy,
2
1
D xy
R
 
dv   R( x , y, z )dxdy.
z
P
dv   P ( x , y, z )dydz ,
同理 
x




Q
 y dv   Q( x, y, z )dzdx,


和并以上三式得
P  Q R
 ( x  y  z )dv   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy .


由两类曲面积分之间的关系知
P Q R
( 
 )dv

x y z

  ( P cos   Q cos   R cos  )dS .

Gauss公式的实质:
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界
曲面上的曲面积分之间的关系.
例 1 计算曲面积分
I   ( x  y )dydz  ( y  z )dzdx  ( z  x )dxdy,

其中  是以原点为中心、边长为 a 的正方体的
整个表面的外侧 .
解 令 P  x  y, Q  y  z , R  z  x , 则
Q
P
R
 1,
 1.
 1,
y
z
x
由高斯公式，得到
I   (1  1  1)dv  3 dv  3a .
3


例2 计算曲面积分  ( x  y )dxdy  ( y  z ) xdydz

其中为柱面 x 2  y 2  1 及平面 z  0, z  3 所围成
的空间闭区域  的整个边界曲面的外侧 .
解 P  ( y  z ) x,
Q  0,
z
3
R  x  y,
P
R
Q
 y  z,
 0,
 0,
x
z
y
原式  ( y  z )dxdydz


2
0
o
x
1
9
d  dr  ( r sin   z ) rdz  
.
2
1
0
3
0
1
y
例3 计算曲面积分
2
2
2
(
x
cos


y
cos


z
cos  )ds ，其中 为锥面


x 2  y 2  z 2 介于平面 z  0 及 z  h ( h  0) 之间的
部分的下侧，
cos  , cos  , cos  是  在 ( x , y , z ) 处的
法向量的方向余弦 .
解 空间曲线在 xOy 平面
上的投影区域为Dxy，
1

曲面不是封闭曲面,
为利用高斯公式,添加辅助曲面.
h
D xy
补充  1 : z  h ( x 2  y 2  h2 ),  1取上侧 .
z
   1构成封闭曲面，
1
   1围成空间区域  .
h

在上使用高斯公式,
 ( x
2
cos   y cos   z cos  )dS
2
D xy
2
o
y
x
  1
 2 ( x  y  z )dv  2 ( x  y )dv  2 zdv .



其中 Dxy  {( x , y ) | x 2  y 2  h2 }.

 ( x  y)dv  

2
0
d  dr  ( r cos   r sin  )rdz  0.
h
0
h
r

 ( x cos   y cos   z cos  )dS
2
2
2
  1
1
 2 zdv  2 d  dr  zrdz  h .
2
  ( x cos   y cos   z cos  )dS   z dS
2
h
0

2
h
0
2
4
r
2
2
1
1
  h dxdy  h4 .
2
D xy
故所求积分为
1 4
1 4
4
 ( x cos   y cos   z cos  )dS  2 h  h   2 h .
2
2
2
二、通量与散度
1. 通量的定义
设有向量场




A( x , y , z )  P ( x , y , z )i  Q( x , y , z ) j  R( x , y , z )k
沿场中某一有向曲面  的第二类曲面积分为
 
 
   A  dS   A  n dS
0


  Pdydz  Qdzdx  Rdxdy

称为向量场 A( x , y , z ) 向指定侧穿过曲面 的通量 .

2. 散度的定义

设有向量场 A( x , y , z )，在场内作包围点 M
的闭曲面 ， 包围的区域为 V，记体积为 V .
若 V 收缩成点 M 时，
 
 A  dS
极限 lim
存在，
V M
V


则称此极限值为 A 在点 M 处的散度，记为 divA .
散度在直角坐标系下的形式
P Q R
( 
 )dv   vndS

x y z


1
 P Q R
1
( 
 )dv   vndS

V   x y z
V 
1
P Q R
vndS  ( 
 ) ( , , )
由积分中值定理,

V 
x y z
P  Q  R
1
两边取极限,


 lim
vndS

 M
x y z
V 
 P Q R
divA 


.
x y z

高斯公式可写成  divAdv   A dS
n


其中是空间闭区域 的边界曲面，

An 是向量A在曲面的外侧法向量上的投影 .
 
( A  A  n  P cos   Q cos   R cos  ).
0
n