Transcript 初中代数第十三章第四节

§13．4 一次函
数
一、学习目标
1．理解正比例函数、一次函数的概念；
2．能根据实际问题中的条件，写出正比例
函数和一次函数的解析式．
3．了解正比例函数与一次函数的区别与联
系，体会事物间的特殊与一般的辩证关
系．
二、重点难点
本节的重点是：一次函数和正比例函数的定
义与确定解析式的方法．
本节的难点是：确定实际问题中的函数解析式．
在中考中，确定实际问题中的函数解析式和
函数自变量的取值范围是重点考查题型．
三、新课
1．利用定义，确定解析式中的待定字母
n2  n1
在 y  (n 1) x
中，当常数n为何值时，
y是x的正比例函数？
【分析】要使函数为正比例函数，必须使系数
n2－1≠0，且指数n2＋n－1＝1，由此可求得n
的值．
【解】由题意，得
n2＋n－1＝1，且n2－1≠0，
故可解得
n＝－2或n＝1，且n≠±1．
∴ n＝－2．
∴ 当n＝－2时，y是x的正比例函数．
例1
2
三、新课
例1
n2  n1
在 y  (n 1) x
中，当常数n为何值时，
y是x的正比例函数？
2
【点评】(1)对于一个正比例函数解析式y＝kx，
要明确x的指数为1，同时其系数不等于0．
(2)与本题类似的其他变式题有：
若函数y＝(3m－2)x2＋(1－2m)x(m为常数)是
正比例函数，则m的值为(
)
1
2
2
1
(A)m＞
(B)m＜
(C)m＝
(D)m＝2
3
3
2
三、新课
例2
m 1
在一次函数y＝(m－3) x  x  3中，
若x≠0， 则m的取值为_______．
【分析】此解析式中有两项含有自变量x，
故当(m－3) x m1 为一次项时，可与x合并
同类项；当(m－3) x m1 为常数时，与3合
并，都可能使解析式为一次函数，故要
分类讨论．
三、新课
例2
m 1
在一次函数y＝(m－3) x  x  3中，
若x≠0， 则m的取值为_______．
【解】(1)当m－3＝0即m＝3时，y＝x＋3是一
次函数；
(2)当m－3≠0时，由m－1＝1得m＝2，此
时y＝－x＋x＋3＝3不是一次函数，舍去．当
m－1＝0即m＝1时，y＝－2x0＋x＋3＝x＋1是
一次函数．
∴ m＝3或1．
三、新课
例2 在一次函数y＝(m－3) x m1  x 3中，
若x≠0， 则m的取值为_______．
【点评】(1)求一次函数的解析式中的待定字母
的值，要同时讨论化简后解析式自变量的指数
(等于1)和系数(不等于0)．本例中含自变量x的项
有两项，既要考虑有待定字母的含x项为常数时，
解析式为一次函数；又要考虑此项为一次项时，
与另一个一次项合并后，可能为一次函数，也可
能不为一次函数．
(2) 与 本 题 类 似 的 其 他 变 式 题 有 ： 当 m ＝
_________时，函数y＝(m＋3) x 2 m 1＋4x－5(x≠0)是
一个一次函数．
三、新课
2．求实际问题中的函数解析式
例3 从A地向B地打长途电话，按时收费，3
分时间之内收费2.4元，3分后每加1分
收1元(不足1分按1分计算)，求t≥3(分)
时电话费y(元)与t(分)之间的函数关系
式．
【分析】本题中的相等关系为：t(t≥3)时电话
费y＝3分内的电话费＋(t－3)分的电话费．
【解】由题意，得y＝2.4＋(t－3)·1＝t－0.6，
即 y＝t－0.6(t≥3)．
例3
从A地向B地打长途电话，按时收费，3
分时间之内收费2.4元，3分后每加1分
收1元(不足1分按1分计算)，求t≥3(分)
时电话费y(元)与t(分)之间的函数关系
式．
【点评】(1)实际问题中的函数关系式的建立关键
是找到问题中隐含的相等关系．
(2)解本题易错的是未能正确理解分段收费的
意义，在列式时，计算3分后的电话费时，没把
时间t减去已收费的前3分，写成y＝2.4＋t·1．
(3)与本题类似的其他变式题有：
学校为创建多媒体教学中心，备有资金180万
元，现计划分批购进电脑x台，每台电脑售价6千
元，求所剩资金与电脑台数之间的函数关系式，
并指出自变量x的取值范围．
练
习
(一)选择题：
1．下列函数中，正比例函数是 ( A )
(A)y＝－3x
(B)y=3x＋3
(C)y＝－3x2
3
(D)y＝
x
练
习
(一)选择题：
2．下面各题中，成正比例关系的有 ( C )
(A)人的身高与体重
(B)正三角形的面积与它的边长
(C)买同一练习本所要的钱数与所买本数
(D)从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
练
习
(一)选择题：
3．已知下列函数：
(1)y＝3－2x；(2)y＝ 3 x；(3)y＝ x ＋2；
1
(4)y＝ 3x  1 ；(5)y＝ x ＋2．
其中一次函数有 ( A )
(A)2个
(B)3个
(C)4个
(D)5个
练
习
(二)填空题：
1．如果y＝(m2－1)x是正比例函数，则m的取
m≠±1
值范围是________．
m
2
2
x
2．当m＝_______时，函数y＝(m ＋m)
为一次函数．
2
m 1
练
习
(二)填空题：
3．某油箱中有油20升，油从管道中均匀流出，
100分时间可以流尽，则油箱中余油量Q(升)与
Q＝20－0.2t
流出时间t(分)之间的函数关系是__________，
0≤t≤100
自变量t的取值范围是___________．
(三)解答题：
1．已知y＝P＋Z，P为常数，Z与x成正比例，
且x＝2时，y＝1；x＝3时，y＝－1．(1)
写出y与x间的函数关系式；(2)如果x的
取值范围是1≤x≤4，求y的取值范围．
(1)y＝－2x＋5
(2)1≤x≤4时，有－3≤y≤3
(三)解答题：
2．设有三个变量x，y，z，其中y是x的正
比例函数，z是y的正比例函数，
求证z是x的正比例函数．
【证明】由题意设①y＝k1x，②z＝k2y，
其中k1，k2是不等于0的常数．
把①代入②式，得z＝k1k2x，此时k1·k2是
一个不等于0常数，故z是x的正比例函数．