Transcript Gauss型求积公式

第四章
数值积分与数值微分
— Gauss 求积公式
1
内容提要
 数值积分
 基本概念
 Newton-Cotes 求积公式
 复合求积公式
 Gauss 求积公式
 Romberg 求积公式
 多重积分
 数值微分
2
本讲内容
 Gauss 求积公式
 一般理论：公式，余项，收敛性，稳定性
 Gauss-Legendre 求积公式
 Gauss-Chebyshev 求积公式
 无限区间的 Gauss 求积公式
3
Gauss 型求积公式
怎样构造更高精度的求积方法
考虑求积公式

b
a
n
f ( x )dx   Ai f ( xi )
i 0
 含 2n+2 个参数 (节点与系数)，为了使该公式具有
尽可能高的代数精度，可将 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1
代入公式，使其精确成立，则可构造出代数精度至
少为 2n+1 的求积公式!
自由选取求积节点！等分点不一定最佳！
4
举例
例：试确定节点 xi 和系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽
可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。

1
1
f ( x ) dx  A0 f ( x0 )  A1 f ( x1 )
解：将 f (x)＝1, x, x2, x3 代入求积公式，使其精确成立，可得
 A0  A1  2

 A0 x0  A1 x1  0

2
2
A
x

A
x
1 1  2/3
 0 0
 A x3  A x3  0
 0 0
1 1
 A0  1, A1  1


3
3
, x1 
 x0  
3
3


1
1

 3
3
f ( x )dx  f  
f
 3 
 3 




该公式对 f (x)＝x4 不精确成立，故有 3 次代数精度！
缺点：非线性方程组求解较困难！
5
Gauss 型求积公式
一般情形：考虑机械带权求积公式

b
a
n
 ( x ) f ( x ) dx   Ai f ( xi )
i 0
定义：若存节点在 xi [a, b] 及系数 Ai ，使得上面的求积
公式具有 2n+1 次代数精度，则称节点 xi 为高斯点，Ai 为
高斯系数，求积公式为 高斯型求积公式
性质：上面的求积公式至多具有 2n+1 次代数精度
n
2
将 f ( x )   ( x  xi ) 代入验证即可
i 0
Gauss 求积公式在所有机械求积公式中代数精度最高
6
Gauss 点
问题：如何计算 Gauss 点 xi 和 高斯系数 Ai
法一：解非线性方程组
太困难! 
法二：分开计算
 先确定 Gauss 点
 再通过解线性方程组计算 Gauss 系数
7
Gauss 点

b
a
n
f ( x )  ( x ) dx   Ai f ( xi )
i 0
定理：插值型求积公式中的节点 xi (i = 0, 1, … , n) 是 Gauss
n
点的充要条件是：多项式 n1 ( x )   ( x  xi ) 与任意次数不
i 0
超过 n 的多项式 p(x) 关于权函数 (x) 正交，即
此时，高斯系数 Ai 为

b
a
 ( x ) p( x )n1 ( x ) dx  0
b
Ai    ( x )li ( x ) dx
a
其中 li(x) 为以 xi 为节点的 Lagrange 基函数。
证明: 板书
8
Gauss 点
推论：设 p0(x), p1(x), , pn(x) ,  是 [a, b] 上带权 (x) 正交的
多项式族，则 Gauss 点即为 pn+1(x) 的零点！
 计算 Gauss 点的一般方法
 求出 n+1(x) 的表达式
与 1, x, x2, ..., xn 带权正交
 计算其零点
特殊情形：
(1) [a, b]=[-1, 1], (x)=1，
则 Gauss 点即为 Legendre 多项式的零点
(2) [a, b]=[-1, 1],  ( x ) 

1 x
2

1
则 Gauss 点即为 Chebyshev 多项式的零点
9
举例
 Gauss 系数的计算
 将 f (x) = 1, x, x2, …, xn 代入，解方程
 或利用 Lagrange 基函数
例：试确定节点 xi 和系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽
可能高的代数精度。

1
0
x f ( x ) dx  A0 f ( x0 )  A1 f ( x1 )
解：板书
10
余项
 余项公式
设 p2n+1(x) 是 f(x) 在节点 x0, x1, , xn 上的 2n+1 次 Hermite
插值多项式, 即 p2n1 ( xi )  f ( xi ),
p2'n1 ( xi )  f '( xi )
f (2n2) ( x ) 2
f ( x )  p2n1 ( x ) 
n1 ( x )
(2n  2)!
f (2n2) ( x )
2

(
x
)
f
(
x
)
d
x


(
x
)
p
(
x
)
d
x


(
x
)

2 n1
n1 ( x ) dx
a
a
a (2n  2)!
n
b
f ( 2 n2) ( x ) 2
  Ai p2 n1 ( xi )    ( x )
n1 ( x ) dx
a
(2n  2)!
i 0
b
b
b
f ( 2 n2) ( ) b
2
R[ f ] 

(
x
)

( x ) dx   (a, b)
n

1

(2n  2)! a
11
收敛性与稳定性
可以证明：当 a, b 为有限数，且 f (x) C[a, b] 时
n
b
i 0
a
lim  Ai f ( xi )    ( x ) f ( x ) dx
n
Gauss 型公式是收敛的
令 f ( x)  l ( x)
2
i

b
a
n
 ( x )l ( x ) dx  Ai li2 ( x j )  Ai
2
i
j 0
Ai  0
Gauss 型公式是稳定的
12
正交多项式 Gauss 公式
 利用正交多项式构造 Gauss 求积公式
 积分区间: [-1, 1]，权函数： (x) = 1
Gauss-Legendre 求积公式
 积分区间: [-1, 1]，权函数：  ( x ) 
1
1  x2
Gauss-Chebyshev 求积公式
13
G-L 公式
Gauss-Legendre 求积公式
 积分区间: [-1, 1]， 权函数: (x) = 1
Gauss 点 = Legendre 多项式 pn+1(x) 的零点
 G-L 求积公式:

1
1
n
f ( x ) dx   Ai f ( xi )
i 0
14
低阶 G-L 公式
 n =0 时, Pn1 ( x)  x
Gauss 点: x0  0
G-L 求积公式:

1
1
将 f (x)＝1 代入求出 A0
f ( x ) dx  2 f (0)
1
2
 n =1 时, Pn1 ( x )  (3 x 2  1)
Gauss 点: x0   3 , x1  3
两点 G-L 求积公式:

1
1
3
3

 3
3
f ( x ) dx  f  
 f
 3 
 3 




将 f (x)＝1, x 代入
求出 A0 , A1
15
低阶 G-L 公式
1
2
 n =2 时, Pn1 ( x )  (5 x 3  3 x )
Gauss 点: x0   15 , x1  0, x2  15 ,
5
5
三点 G-L 求积公式:

1
1
5 
15  8
5  15 
f ( x ) dx  f  
  f (0)  f 


9 
5  9
9  5 
16
更多 G-L 公式
当 n > 3 时，可用数值方法计算 Pn+1(x) 的零点
n
0
节点个数
1
Gauss点
0.0000000
Gauss系数
2.0000000
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
0.5773503
0.7745967
0.0000000
0.8611363
0.3399810
0.9061798
0.5384693
0.0000000
0.93246951
0.66120939
0.23861919
1.0000000
0.5555556
0.8888889
0.3478548
0.6521452
0.2369269
0.4786287
0.5688889
0.17132449
0.36076157
0.46791393
17
G-L 公式余项
 余项公式
f ( 2 n2) ( ) b 2
R[ f ] 
Pn1 ( x ) dx

(2n  2)! a
( n  1)!


3
(2n  3) (2n  2)!
2
2 n 2
4
f ( 2 n 2) ( )
  (-1, 1)
18
一般区间上的 G-L 公式
一般区间上的 G-L 求积公式
 积分区间: [a, b]， 权函数: (x) = 1
做变量代换
ba
ba
x
t
2
2
ba
ba
g(t )  f 
t

2 
 2

b
a
n
ba 1
f ( x ) dx 
g ( t ) dt   Ai g ( ti )

2 1
i 0
19
G-L公式举例
I [ f ]=0.46740110027234
例：用四点G-L公式 (n=3) 计算定积分


2
0
x 2cos(x ) dx
解：令 x   t  
4
4
g(t ) 


2
0
2
16
 t  1
2
cos
x cos(x ) dx 
2



4
4

4
( t  1)
1
2
1
16
 t  1
2
cos

4
( t  1) dt
[0.3479 g ( 0.8611)  0.6521 g ( 0.3400)
 0.6521 g (0.3400)  0.3479 g (0.8611)]
 0.4674
20
G-C 公式
Gauss-Chebyshev 求积公式
 积分区间: [-1, 1]，权函数:  ( x ) 
1
1  x2
Gauss 点 = Chebyshev 多项式 Tn+1(x) 的零点
 G-C 求积公式:

1
1
1
1  x2
n
f ( x ) dx   Ai f ( xi )
i 0
21
G-C 公式
 2i  1 
xi  cos 

 2n  2 
 Tn+1(x) 的零点
Ai 
 Gauss 系数
(i = 0, 1, … , n)

n1
(i = 0, 1, … , n)
 G-C 求积公式:

 余项:
1
1
1
1 x
R[ f ] 
2
f ( x ) dx 

n
f (x )

n1
( 2 n 2)
2
f
( )
2 n 2
2 (2n  2)!
i 0
i
  (-1, 1)
22
低阶 G-C 公式
n=0
n=1

1

1
1
1
(1  x 2 )1/ 2 f ( x ) dx   f (0)
2 1/ 2
(1  x )

 
f ( x ) dx    f  2 2  f
2

2 2

两点 G-C 公式
n=2


2 1/ 2
  f  3 2  f 0   f
(1

x
)
f
(
x
)
d
x

1
3
1


3 2

三点 G-C 公式
23
G-C公式举例
例：用五点G-C公式计算奇异积分

1
1
ex
1  x2
dx
解：直接代公式可得

1
1


 2i  1  
dx   f  cos 
 
2
5 i 0 
 2n  2  
1 x
ex
4
 3.9775
误差估计
R[ f ] 
2
22 n 2 (2n  2)!
f (2 n 2) ( )


9
2
e

4.6

10
210  10!
24
无穷区间上Gauss公式
 无穷区间上的 Gauss 型求积公式
x
 积分区间: [0, ]，权函数：  ( x )  e
Gauss-Laguerre 求积公式
 积分区间: [- , ]，权函数： ( x)  e
 x2
Gauss-Hermite 求积公式
这两个求积公式的 Gauss 点和 Gauss 系数可以通过查表得
到，见教材 124，125 页 。
25
几点注记
 Gauss 型求积公式的优点
 计算精度高
 可计算无穷区间上的积分和奇异积分
 Gauss 型求积公式的缺点
 需计算 Gauss 点和 Gauss 系数
 增加节点时需重新计算
 复合 Gauss求积公式
 将积分区间分隔成若干小区间
 在每个小区间上使用 Gauss 求积公式
26