Transcript 正交多项式

第三章
函数逼近
— 正交多项式
1
内容提要
 正交多项式
 正交函数族与正交多项式
 Legendre 正交多项式
 Chebyshev 正交多项式
 Chebyshev 插值
 第二类 Chebyshev 正交多项式
 Laguerre 正交多项式
 Hermite 正交多项式
2
正交函数族
正交函数
定义：设 f(x), g(x)  C[a, b]，  (x) 是 [a, b] 上的权函数，
若
b
( f , g )    ( x ) f ( x ) g ( x )dx  0
a
则称 f(x) 与 g(x) 在 [a, b] 上 带权
 (x) 正交
3
正交函数族
正交函数族
定义：设函数 0(x), 1(x), , k(x) ,  C[a, b]，
 (x) 是 [a, b] 上的权函数，若
b
i j
0,
( i ,  j )    ( x ) i ( x ) j ( x ) dx  
a
 Ai  0, i  j
则称 {k(x)} 是 [a, b] 上 带权
 (x) 的正交函数族
 若所有 Ai =1 ，则称为 标准正交函数族
4
正交函数举例
例：三角函数系
1， cos x，sin x，cos 2x，sin 2x，…
在 [-, ] 上是带权  (x)=1 的正交函数族
证： (1, 1)  π dx  2π

π
π
(sin nx, sin mx )   sin nx sin mx dx  π   nm
π
π
(cos nx, cos mx )   cos nx cos mx dx  π   nm
π
(m, n = 1, 2, 3, … )
π
(cos nx, sin mx )   cos nx sin mx dx  0
π
(m, n = 0, 1, 2, … )
5
正交多项式
正交多项式
定义：设 n(x) 是首项系数不为 0 的 n 次多项式， (x) 是
[a, b] 上的权函数，若
b
i j
0,
( i ,  j )    ( x ) i ( x ) j ( x ) dx  
a
Ai  0, i  j


则称  n n0 为 [a, b] 上 带权  (x) 正交，称 n(x) 为 n
次正交多项式。
6
正交多项式
性质 1：设  n  为 [a, b] 上带权  (x) 正交多项式，
n 0
Hn 为所有次数不超过 n 的多项式组成的线性空间，则

 0 ( x),
1 ( x), 2 ( x) ,
,  n ( x) 
构成 Hn 的一组基
性质 2：设  n 
为 [a, b] 上带权  (x) 正交多项式，
n 0
则对  p(x)  Hn-1，有

 p( x ),  n ( x )   a  ( x) p( x) n ( x) dx 0
b
7
正交多项式
性质 3：设  n n0 为 [a, b] 上带权  (x) 正交多项式，

且首项系数均为 1，则
 n1 ( x)  ( x   n ) n ( x)  n n1 ( x)
其中
n = 0, 1, 2, …
( x n ,  n )
( n ,  n )
, n 
 1  0, 0  1,  n 
( n ,  n )
( n1 ,  n1 )
证明：板书
这就是正交多项式的三项递推公式！所有首项系数为 1 的正交
多项式族都满足这个公式，该公式也给出了正交多项式的一个
计算方法。
8
正交多项式
性质 4：设  n n0 为 [a, b] 上带权  (x) 正交多项式，

则 n(x) 在 (a, b) 内有 n 个不同的零点
证明：板书
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正交多项式
 几类重要的正交多项式
 Legendre 多项式
 Chebyshev 多项式
 第二类 Chebyshev 多项式
 Laguerre 多项式
 Hermite 多项式
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Legendre 多项式
勒让德（Legendre）多项式
在 [-1, 1] 上带权
 (x)=1 的正交多项式称为 勒让德多项式
记号：P0 , P1 , P2 , ...
1 dn
2
n
P0 ( x )  1, Pn ( x )  n
(
x

1)
x [-1, 1]，n = 1, 2, …
2 n! dx n
( n  1)
(2n)!
 Pn (x) 的首项 xn 的系数为： 2n(2n  1)
 n
n
2
n! d n
2
n
(
x

1)
 令 Pn ( x ) 
(2n)! dx n
2 n!
则 Pn ( x) 是首项系数为 1 的勒让德多项式
2 ( n!)
11
Legendre 多项式
 勒让德多项式的性质
0,
mn

(1) 正交性： (P , P )  1 P ( x )P ( x ) dx   2
n
m
1 n m
, mn

 2n  1
(2) 奇偶性：P2n(x) 只含偶次幂，P2n+1(x) 只含奇次幂，故
Pn (  x)  ( 1)n Pn ( x)
(3) 递推公式：( n  1)Pn1 ( x)  (2n  1) x Pn ( x)  nPn1 ( x)
其中 P0(x) = 1, P1(x) = x，n = 1, 2, …
(4) Pn(x) 在 (-1,1) 内有 n 个不同的零点
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Legendre 多项式
 勒让德多项式的表达式
ex31.m
P0 ( x )  1
P1 ( x )  x
P2 ( x)  ( 3 x 2  1) / 2
P3 ( x)  (5 x3  3 x) / 2
P4 ( x)  ( 35x4  30x 2  3) / 8
P5 ( x)  (63x5  70x 3  15x) / 8

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Chebyshev 多项式
切比雪夫（Chebyshev）多项式
在 [-1, 1] 上带权
 (x) 的正交多项式称为切比雪夫多项式
 ( x) 
 切比雪夫多项式的表达式
1
1  x2
Tn ( x)  cosn arccosx 
x [-1, 1]，n = 0, 1, 2, …
 令 x = cos ，则 Tn (x) = cos(n) ，展开后即得
Tn ( x )  cos n   Cn2 cos n 2  sin 2   Cn4 cos n4  sin 4  
 x n  Cn2 x n 2 (1  x 2 )  Cn4 x n4 (1  x 2 ) 2 
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Chebyshev 多项式
 切比雪夫多项式的性质
x = cos
mn
 0,
1 T ( x )T ( x )

n
m
dx   π / 2, m  n  0
(1) 正交性：(Tn , Tm )  
2
1
1 x
 π,
mn0

(2) 奇偶性：T2n(x) 只含偶次幂，T2n+1(x) 只含奇次幂，故
Tn (  x)  ( 1)nTn ( x)
(3) 递推公式： Tn1 ( x )  2 xTn ( x )  Tn1 ( x )
其中 T0(x) = 1, T1(x) = x，n = 1, 2, …
cos(n+1) + cos(n-1) = 2cos cosn
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Chebyshev 多项式
 切比雪夫多项式的性质（续）
(4) Tn(x) 在 (-1,1) 内有 n 个不同的零点:
 2k  1 
xk  cos 
π
 2n

(k = 1, 2, … , n)
(5) Tn(x) 在 [-1, 1] 上有 n+1 个极值点:
kπ
xk  cos
n
(k = 0, 1, … , n)
(6) Tn(x) 的首项系数为 2n-1，且 |Tn(x)|  1
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Chebyshev 多项式
 切比雪夫多项式的性质（续）
Tn ( x )
(7) 令 Tn ( x )  n1
2
即 Tn ( x ) 为首项系数为 1 的 Chebyshev 多项式
定理：记 H n 为所有次数不超过 n 的首项系数为 1
的多项式集合，则对  p( x)  Hn 有
max Tn ( x )  max p( x )
1 x 1
Tn ( x ) 
且 max
1 x 1
1 x 1
1
2 n 1
证明略
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Chebyshev 多项式
Tn ( x )

 p( x )

 p( x)  Hn
Tn ( x) 是集合 H n 中无穷范数最小的多项式
 注：这里的无穷范数是指 C[-1, 1] 上的无穷范数
性质：设 f(x)Hn，且首项系数为 an0，则 f(x) 在
[-1,1] 上的 n-1 次最佳一致逼近多项式为
f ( x)  anTn ( x)
证明：留作练习
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Chebyshev 多项式
例：求 f(x)=2x3+x2+2x-1 在 [-1,1]上的二次最佳一致逼
近多项式。
解：设 p(x) 是 f(x)在 [-1,1]上的二次最佳一致逼近多项式，则
由前面的性质可知
p( x)  f ( x)  a3T3 ( x)
 3 3 
 2x  x  2x  1  2  x  x 
4 

7
 x2  x  1
2
3
2
思考：如何计算 f(x) 在区间 [a, b] 上的最佳逼近多项式？
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Chebyshev多项式
 切比雪夫多项式的表达式 ex32.m
T0 ( x)  1
T1 ( x )  x
T2 ( x )  2 x 2  1
T3 ( x)  4 x 3  3 x
T4 ( x)  8 x4  8 x 2  1
T5 ( x)  16x5  20x 3  5 x

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Chebyshev零点插值
用 Chebyshev 多项式的零点插值
 2k  1 
xk  cos 
π
 2( n  1) 
以 Chebyshev 多项式的零点作为插值节点进行插值
好处：所有插值多项式中, 总体插值误差最小
定理：设 f(x)Cn+1[-1, 1]，插值节点 x0 , x1 , … , xn 为
Tn+1 (x) 的 n+1 个零点，则
f ( x )  Ln ( x )

1
 n
f ( n1) ( x )
2 ( n  1)!

注：此处原 ppt 有误！
21
Chebyshev零点插值
若 f(x)Cn+1[a, b]，怎么办？
作变量替换
ba
ba
x
t
2
2
插值节点
ba
2k  1
ba
xk 
cos
π
2
2( n  1)
2 (k = 0, 1, … , n)
插值误差
f ( x )  Ln ( x )

1
( b  a) n1 ( n1)
 n

f
( x)
n1
2 ( n  1)!
2

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举例
例：(教材64页，例 4) 求 f ( x )  e x 在 [0, 1]，上的四
次 Chebyshev 插值多项式 L4(x)，并估计误差。
解：板书
1
例：(教材65页，例 5，上机) 函数 f ( x ) 
2 ，插
1 x
值区间 [-5, 5]，试分别用等距节点和 Chebyshev 节点作10
次多项式插值，画图比较两种插值的数值效果。 ex33.m
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其他正交多项式
 其他正交多项式
 第二类 Chebyshev 多项式
 Laguerre 多项式
 Hermite 多项式
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第二类 Chebyshev
 第二类 Chebyshev 多项式
Un ( x ) 
sin  ( n  1) arccos x 
1  x2
x [-1, 1]，n = 0, 1, 2, …
 在 [-1, 1] 上带权  ( x )  1  x 2 正交，即
mn
 0,
(Un , Um )    ( x )Tn ( x )Tm ( x ) dx  
1
 π / 2, m  n
1
 递推公式：
Un1 ( x )  2 xUn ( x)  Un1 ( x)
其中 U0(x) = 1, U1(x) = 2x，n = 1, 2, …
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Laguerre 多项式
 拉盖尔（Laguerre） 多项式
n
d
Ln ( x )  e x n ( x ne  x )
x [0, ]，n = 0, 1, 2, …
dx
x

(
x
)

e
 在 [0, ] 上带权
正交，即
( Ln , Lm )  

0
mn
 0,
 ( x ) Ln ( x ) Lm ( x ) dx  
2
(
n
!)
, mn

 递推公式： Ln1 ( x)  (2n  1  x) Ln ( x)  n2 Ln1 ( x)
其中 L0(x) = 1, L1(x) = 1- x，n = 1, 2, …
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Hermite 多项式
 埃尔米特（Hermite）多项式
n
d
n x
 x2
H n ( x )  ( 1) e
e
n
x (-,+)，n = 0, 1, 2, …
dx
2
 在 (-,+) 上带权  ( x)  e
( Hn , Hm )  
 递推公式：


 x2
正交，即
mn
 0,
 ( x ) H n ( x ) H m ( x ) dx   n
 2 n ! n , m  n
Hn1 ( x)  2 xHn ( x)  2nHn1 ( x)
其中 H0(x) = 1, H1(x) = 2x，n = 1, 2, …
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作业
 教材第 94 页：7，8，9，10，11
提示：
 第 8 题可利用正交多项式的递推公式
(P. 58, 定理4, 注: 该定理只对首项系数为 1 时成立)
 第 10 题需加条件 n  1
 证明下面的结论
性质：设 f(x)Hn，且首项系数为 an0，则 f(x) 在
[-1,1] 上的 n-1 次最佳一致逼近多项式为
f ( x)  anTn ( x)
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