Transcript 第六章勒让德函数

第六章
勒让德函数
正交性
完备性
有界级数解
勒让德方程
系数递推公式
积分表达式
微分表达式
第六章
勒让德函数
第一节 勒让德方程与勒让德多项式
一、线性常微分方程的级数解法
主要内容：利用复变函数论求二阶线性齐次常微分方
程的级数解。
1.级数解法的基本思想：
把方程的解表示为以 z0 为中心、带有待定系数的幂级
数，将这个幂级数带入方程及定解条件，求出所有待定系数
即可得该方程的解。
2
说明：
（1）级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无特殊的要求。
（2）对于级数，存在是否收敛和收敛范围的问题。用级数
解法要选定某个点 z0 作展开中心，得到的解是以 z0 为
中心的幂级数。另外还必须确定幂级数的收敛圆，级
数解只在收敛圆内部才有意义。
2.方程的常点和奇点
二阶线性齐次常微分方程的标准形式：
w( z )  p( z )w( z )  q( z ) w( z)  0
（1）
其中： w( z ) ——未知的复变函数， p( z ) 、 q( z ) ——已知的
复变函数（方程的系数）
3
要求解的问题：在一定条件下（如初始条件
w( z0 )  C0 , w( z0 )  C1 ) 满 足 w( z )  p( z )w( z )  q( z ) w( z )  0
（1）的 w( z ) 。
方程（1）的解的性质（解的存在性、唯一性、稳定性、
单值性等）由方程的系数 p( z ) 和 q( z ) 的解析性确定。
设 p( z ) 和 q( z ) 在一定的区域中，除若干个孤立奇点外，
是 z 的单值解析函数。区域中的点可分为两类：
（i）方程的常点：如果 p( z ) 和 q( z ) 都在点 z0 的邻域解析，
则 z0 称为方程的常点。
4
（ii）方程的奇点：只要两系数 p( z ) 和 q( z ) 之一在点 z0 不解
析， z0 就称为方程的奇点。
如果 z0 最多是 p( z ) 的一阶极点、 q( z ) 的二阶极点，则 z0 称为
方程的正则奇点。否则，则 z0 称为方程的非正则奇点。
3.常点邻域的级数解
可 以 证 明 ： 在 常 点 z 0 的 邻 域 z  z0  R 内 ， 方 程
w( z )  p( z )w( z )  q( z )w( z)  0 （1）有唯一满足初始条件
w( z0 )  C0 , w( z0 )  C1 ) （ C0 , C1：任意常数）的幂级数解。解

的具体形式： w( z )   Ck ( z  z0 ) k
k 0
5
例：求厄米特方程 w  2 zw   w  0 在 z0  0 邻域内的解。
解：1.级数解的形式
由于 p( z )  2 z, q( z )   ，在 z0  0 解析 z0 是方程的常点。
级数解具有以下形式：

w( z )   Ck z k
k 0
2.将级数解代入方程，求待定系数。



k 2
k 1
k
C
k
(
k

1)
z

2
z
C
kz


C
z
 k
 k
 k 0
k 0
k 0
（1）
k 0
6

 Ck k (k  1) z
k 0
k 2

 2 z  Ck kz
k 1
k 0

   Ck z k  0
k 0
为比较同次幂的系数，对上式作变换：

 Ck k (k  1) z
k 0
令 k  k   2 k   0,1,
k 2

  Ck k (k  1) z k 2
k 2



k 2
k 0
k
k 2


z
C
1)

k
2)(

k
(

z
C
1)

k
(
k


k  2
k

  (k  2)(k  1)Ck  2 z k
k 0

  [(k  2)(k  1)Ck  2  2kCk  Ck ]z k  0
k 0
7



k 0
k 0
k 0
k 2
k 1
k
C
k
(
k

1)
z

2
z
C
kz


C
z
 k
 k
 k 0
由于上式在 z0 的邻域内成立，即是 z 的一个恒等式，故 z 的
同次幂的系数为 0，则
(k  2)(k  1)Ck  2  (2k   )Ck  0
2k  
 Ck  2 
Ck ——待定系数的递推关系
(k  2)(k  1)
由上式可见，偶次幂与奇次幂项互不相干，可分别用 C0 , C1
表示。
2(2k  2)  
4k  4   2(2k  2  2)  
C2 k 
C2 k  2 
C2 k  2  2
2k (2k  1)
2k (2k  1) (2k  2)(2k  2  1)
(4k  4   )(4k  8   )

(2k )!
(4   )( )
C0
8
(4k  2   )(4k  6   ) (6   )(2   )
同理： C2 k 1 
C1
(2k  1)!
线性无关的解：



k 0
k 0
k 0
w( z )   Ck z k   C2 k z 2 k   C2 k 1 z 2 k 1 （ C0 , C1：任意常数）

w0 ( z )   C2 k z
k 0

2k
w1 ( z )   C2 k 1 z 2 k 1
k 0
w0 ( z ), w1 ( z ) 都是方程的解，但线性无关。方程的通解是
w0 ( z ) 与 w1 ( z ) 的线性组合。
9
4.正则奇点邻域的级数解
定理 1.如果 z0 是方程 w  pw  qw  0 的奇点，则在 p( z ) 和 q( z )
都解析的环状区域 0  z  z0  R 内，方程的两个线性无关解是
w1 ( z )  ( z  z0 ) 1
w2 ( z )  ( z  z0 ) 2

k
C
(
z

z
)
 k
0
（1）
k 


k 
或 w2 ( z )  gw1 ( z ) ln( z  z0 )  ( z  z0 ) 2
d k ( z  z0 ) k
（2）

k
d
(
z

z
)
 k
0
（3）
k 
其中： 1 ,  2 , g , ck , d k (k  0, 1, 2 ) 是常数
10
以上只是一般性的论断，并未提供具体求出级数解得方
法，即如何确定常数 1 ,  2 , g , ck , d k 。事实上，这些常数的确
定在一般情况下很困难。
但在一定条件下，会出现（1），
（2）或（3）式中级数没
有负幂项的情形，这样的解称为正则解。
关于正则解，有如下定理：
11
定 理 2. 方 程 w  pw  qw  0 在 它 的 奇 点 z0 的 邻 域
0  z  z0  R 内有两个正则解的充要条件是：
( z  z0 ) p( z ) 和 ( z  z0 )2 q( z ) 在 z  z0  R 中解析。（4）
即 z0 最多是 p( z ) 的一阶极点，同时最多是 q( z ) 的二阶极点，即是
正则奇点。
求正则解的步骤：为方便起见，设正则奇点 z0  0（对于一般的
z0 点，只需把 z  z  z0 ）
以 z 2 乘方程
得：
w  pw  qw  0
z 2 w  zp1 ( z )w  q1 ( z )w  0
（5）
（6）
12
其中：
p1 ( z )  zp( z ) q1 ( z )  z 2q( z )
由条件（4）可知： p1 ( z ), q1 ( z ) 在 z  0 点及其邻域内是解析
的，作泰勒展开：

p1 ( z )   as z s
s 0

q1 ( z )   bs z s
（7）
s 0
设方程（6） z 2 w  zp1 ( z )w  q1 ( z )w  0 的正则解为：


w( z )  z   Ck z k   Ck z   k
k 0
k 0
（ C0  0 ）
（8）
将（7），（8）代入（6）式中，得：
13

 k
C
(


k
)(


k

1)
z
 k
k 0




s 0
k 0
s 0
k 0
  as z s  Ck (   k ) z   k   bs z s  Ck z   k  0
消去因子 z  ，得

k
C
(


k
)(


k

1)
z
 k
k 0




s 0
k 0
s 0
k 0
（9）
  as z s  Ck (   k ) z k   bs z s  Ck z k  0
要使上式在 z  R 的区域内成立，左边 z 的各次幂的系数必
须等于零。
14


(9)式：
 Ck (   k )(   k  1) z   as z
k
k 0

s
s 0

 Ck (   k ) z   bs z
k
k 0

s
s 0
k
C
z
 k 0
k 0
由 z 的最低次幂的系数为零得：
C0   (   1)  a0   b0   0
（ a0 , b0 已知）
C0  0   (   1)  a0   b0  0
（10）
又由（9）式中的 z n 的系数为零得：


s 0
s 0
Cn (   n)(   n  1)   as (   n  s )Cn  s   bsCn  s  0
（ n  1, 2
）
（11）
利 用 递 推 关 系 ， 可 以 逐 一 把 （ 8 ） 式
w( z )  z



 k
C
z

C
z
 k  k 中的 Ck (k  0) 用 C0 和 C1 以及已
k
k 0
k 0
知的 as 和 bs 表示出来。
15
二、勒让德方程与勒让德多项式
关联勒让德方程：
2
m
(1  x 2 ) y  2 xy  [l (l  1) 
]y  0
2
1 x
（1）
m  0时为勒让德方程：
(1  x 2 ) y  2 xy  l (l  1) y  0
（2）
方程（1）的来源：在球坐标系中用分离变量法解方程
2u  0而得到。
16
1. 勒让德方程的级数解
勒让德方程： (1  x 2 ) y  2 xy  l (l  1) y  0
（2）
在 x  0的邻域内求解勒让德方程。
2x
l (l  1)
、 q( x) 
在 x  0点解析
p ( x)  
2
2
1 x
1 x
x  0是方程的常点，则方程的解具有以下形式：


y   Ck x k
（3）
k 0
代入（2）式：



k 0
k 0
k 0
(1  x 2 ) k (k  1)Ck x k 2  2 x  kCk x k 1  l (l  1) Ck x k  0 （4）
17

(1  x ) k (k  1)Ck x
2
k 0

 k (k  1)Ck x
k 0
k 2
k 2

 2 x  kCk x
k 0

k 1

 l (l  1) Ck x k  0 （4）
k 0


  k (k  1)Ck x  2 kCk x  l (l  1) Ck x k  0
k
k 0
k
k 0
k 0
改变第一项的求和指标：


k 0
k 0
k 2
k
k
(
k

1)
C
x

(
k

2)(
k

1)
C
x


k
k 2
代入（4）式，有：

k
{(
k

2)(
k

1)
C

[
k
(
k

1)

l
(
l

1)]
C
}
x
0

k 2
k
k 0
上式为恒等式：在 x  0的邻域内成立，故有
(k  2)(k  1)Ck  2  [k (k  1)  l (l  1)]Ck  0
18
得系数递推公式：
Ck  2
k (k  1)  l (l  1)
(k  l )(k  l  1)

Ck 
Ck
(k  2)(k  1)
(k  2)(k  1)
(k  l  2)(k  l  1)
 Ck 
Ck  2
k (k  1)
（5）
（6）
 偶次幂的系数可用 C0 来表示，奇次幂的系数可用 C1 来表示，
(2n  l  2)(2n  l  1)
C2 n  2
即 C2 n 
2n(2n  1)

(2n  l  2)(2n  l  4)
(l )(2n  l  1)(2n  l  3)
(2n)!
(l  1)
19
C0
C2 n1 
(2n  l  1)(2n  l  3)
(1  l )(2n  l )(2n  l  1)
(2n  1)!
(l  2)
C1
因此方程的通解可写成：


n 0
n 0
y ( x)   C2 n x 2 n   C2 n1 x 2 n1  C0 y0 ( x)  C1 y1 ( x)
1 
2n
C
x
其中： y0 ( x) 

2n
C0 n0
1 
y1 ( x)   C2 n1 x 2 n1
C1 n0
（两个线性无关的特解）
Ck
(k  2)( k  1)
 lim
1
y0 ( x), y1 ( x) 的收敛半径： R  lim
k  C
k  ( k  l )( k  l  1)
k 2
即两级数在
x  1内收敛，在 x  1发散，在 x  1处发散。
20
勒让德方程的一般解为：y ( x)  C0 y0 ( x)  C1 y1 ( x)
其中级数 y0 ( x ) 和 y1 ( x) 在x <1收敛，而在x = ±1处发散。
但物理问题往往要求：当 x  1 时，y(x)为有限,因此需要进一
步确定满足此定解条件的解。
从系数递推公式：l 为偶数：l=2n（n 为正整数），则级数 y0 ( x )
将到 x2n 项为止。因为：k=l=2n 时，
Ck  2
(k  l )(k  l  1)
(2n  2n)(2n  2n  1)

Ck  C2 n  2 
C2 n  0
(k  2)(k  1)
(2n  2)(2n  1)
C2 n  4 , C2 n  6 ,
为 x 2n

均为零，即 y0 ( x ) 退化为多项式，其最高次幂
xl。此时若取 C1  0 ，则得：
l
2
y ( x)  C0 y0 ( x)   C2 n x 2 n  C0  C2 x 2 
n 0
 Cl xl
21
同理，l 为奇数：l=2n+1(n 为正整数)，则级数 y1 ( x) 将到 x2n1
项为止。因为：k=l=2n+1 时，
(k  l )(k  l  1)
(2n  1  2n  1)(2n  1  2n  1  1)
Ck  2 
Ck  C2n3 
C2n1  0
(k  2)(k  1)
(2n  1  2)(2n  1  1)
C2 n  5 , C2 n  7 ,
为
x2n 1  xl
均为零，即 y1 ( x) 退化为多项式，其最高次幂
。此时若取C0  0 ，则得：
l 1
2
y ( x)  C1 y1 ( x)   C2 n 1 x 2 n 1  C1 x  C3 x3 
n0
 Cl x l
这样，无论l 为偶数还是奇数，这样选取系数后，所得的多项
22
式为勒让德方程在满足定解条件下的解。
2. 勒让德多项式的简洁形式

1
2
为了与后面要引入的勒让德母函数 (1  2 xt  t 2 ) 所得结果一
(2l )!
C

致，通常取多项式最高次幂 的系数为： l
2l (l !) 2
由系数递推公式  低次幂项的系数 多项式，记作 pl ( x ) 。
由
k (k  1)  l (l  1)
(k  l )(k  l  1)
Ck  2 
Ck 
Ck
(k  2)(k  1)
(k  2)(k  1)
(k  2)(k  1)
(k  2)(k  1)
 Ck 
Ck  2 
Ck  2
k (k  1)  l (l  1)
(k  l )(k  l  1)
23
令k=l− 2,l− 4,…,l− 2s，得：
(k  2)(k  1)
Ck 
Ck  2
k (k  1)  l (l  1)
(l  2  2)(l  2  1)
l (l  1) (2l )!
Cl 
(l  2)(l  2  1)  l (l  1)
2(2l  1) 2l (l !) 2
l (l  1)2l (2l  1)(2l  2)!
(2l  2)!


(

1)
2 2l (2l  1)l (l  1)!l (l  1)(l  2)!
2l (l  1)!(l  2)!
Cl  2 
(2l  4)!
2l 2!(l  2)!(l  4)!
(2l  2s)!
 (1) s l
2 s !(l  s )!(l  2s)!
Cl  2 2  Cl  4  (1)2
Cl  2 s
由于k, l 均为整数，所以 s  0,1, 2,
l
 l   2
 2   l 1
  
 2
l  2n
l 
l 
,   , 其中   定义为：
2
2
l  2n  1
24
于是得到 pl ( x ) 的具体表达式：
l 
2
 
pl ( x)   Cl  2 s x
l 
2
 
l 2 s
s 0
(2l  2s)!
  (1) l
xl  2 s
2 s !(l  s )!(l  2s)!
s 0
s
P0 ( x)  1
P1( x )  x
1
P2( x )  ( 3x 2  1)
2
1
P3( x )  ( 5x 3  3x )
2
25
由勒让德多项式还可以得到以下结果：
（1）奇偶性
l 
2
 
(2l  2 s )!
pl ( x)   (1) l
(  x )l  2 s
2 s !(l  s )!(l  2 s )!
s 0
s
l 
2
 
(2l  2 s )!
 (1)  (1) l
xl  2 s
2 s !(l  s )!(l  2 s )!
s 0
l
s
 (1)l pl ( x)
26
（2）pl (0) 的特殊值
l 
2
 
(2l  2 s)!
pl ( x)   (1) l
xl  2 s
2 s !(l  s )!(l  2s )!
s 0
s
(4n  2  2 s)!
p2 n 1 (0)   (1) 2 n 1
02 n 1 2 s  0
2 s !(2n  1  s)!(2n  1  2 s)!
s 0
n
s
(4n  2 s)!
p2 n (0)   (1) 2 n
02 n  2 s
2 s !(2n  s )!(2n  2 s)!
s 0
(2n)!
n (4n  2n)!
n
 (1) 2 n
 (1) 2 n
2 n !n !0!
2 (n !) 2
n
s
27
第二节 勒让德多项式的微分与积分表达式
1. 勒让德多项式的微分表达式——罗德里格斯公式
勒让德多项式的另一种表示——微分表示
1 dl
2
l
Pl ( x )  l
(
x

1)
——罗德里格斯公式
2 l ! dx l
证明：由二项式展开定理得：
l
l
l!
( x  1)   a ( x ) ( 1)   (1)
( x 2 )l  s
(l  s )! s !
s 0
s 0
2
l
s
l
2 l s
s
s
所以：
l
1 dl 2
d
l
(
x

1)
 l
l
l
2 l ! dx
dx
( 1) s
2 l s
(
x
)

l
s  0 2 (l  s )! s !
l
28
l 
2
 
l 
2
 
(2l  2 s )!
s 次求导后为0，故只剩下
l 2 s
注意到：凡是指数(2l-2s)<l
的项经l
pl ( x)   Cl  2 s x
  (1) l
xl  2 s
2 s !(l  s )!(l  2 s )!
2l−2s≥l的项，即2s
≤ l ，于是得：
s 0
s 0
d l 2l  2 s
l 2 s
x

(2
l

2
s
)(2
l

2
s

1)

[2
l

2
s

(
l

1)]
x
dx l
因此有
1 d
(l  2 s  1) l  2 s
2
l
s (2l  2 s )
(
x

1)

(

1)
x

l
l
l
2 l ! dx
2 s !(l  s )!
s 0
l
[ 2l ]
[ 2l ]
  (1) s
s 0
(2l  2 s ) (l  2 s  1)(l  2 s )! l  2 s
x  Pl ( x).
l
2 s !(l  s )!(l  2 s )!
l 
2
 
(2l  2 s)!
pl ( x)   (1) l
xl  2 s
2 s !(l  s )!(l  2s )!
s 0
s
29
5. 勒让德多项式的母函数、勒让德多项式的积分表达式——施
列夫利公式
(1) 定义：若函数w(x,t)的泰勒级数为

w( x, t )   Pl ( x)t l
t：复变数
l 0
则称w(x,t)为 Pl ( x) 的母函数（或生成函数）。

1
2
(2)对于 t  1，
(1- 2tx  t 2 ) 是Pl ( x)的母函数，即
(1- 2tx  t )
2

1
2

  Pl ( x)t l
l 0
30

1
2
证明：（1）在 t  1内，将w( x, t )  (1- 2tx  t 2 ) 展开为泰勒级数
(1- 2tx  t )
2

1
2

  al ( x)t l
l 0
1
其中：al ( x) 
2 i
t  0的回路。
(1- 2tx  t 2 )
c
t l 1
1
2 2

1
2
dt为泰勒系数，c为 t  1内包围
（2）做变换(1- 2tx  t )  1  tu
u复变数
2(u  x)
t  2
u 1
31
则被积函数为：

1
2
（1  2tx  t 2 ) dt
dt

l 1
t
(1  tu )t l 1
 u 1 


2(
u

x
)


l 1
 u 1 


2(
u

x
)


l 1
2
2
 2(u  x) 
d 2
u  1 


l 1
 2(u  x)   2(u  x) 
1  u 2  1 u   u 2  1 
u2  1
2du (u 2  1)  2(u  x)2udu
2
2
u 2  1  2u 2  2ux
 u  1
2du
u2 1
带入a（
l x）得：
32
2(u  x)
t 2
u 1
1
al ( x) 
2 i
(u 2  1)l
 c 2l (u  x)l 1 du
C’：u 平面的曲线，是t 平面曲线C 的像
t  0  u  x  c包含u  （因
x c包含t  0）
(3)由柯西高阶导数公式f
1 l!
al ( x) 
l ! 2 i
(n)
n!
( z) 
2 i
f ( z )
 L ( z   z )n1 dz得
(u 2  1)l
 c 2l (u  x)l 1 du
1 d l ( x 2  1)l

l ! dxl
2l
1 dl 2
l
 l
(
x

1)
 Pl ( x)
l
2 l ! dx
33
 (1- 2tx  t 2 )

1
2

  Pl ( x)t l
l 0
1

2
2
即(1- 2tx  t ) 是Pl ( x)的母函数。
勒让德多项式的积分表达式——(1)施列夫利公式
1
(u  1)
Pl ( x)  al ( x) 
du
l
l

1

2 i c 2 (u  x)
其中：回路c包含u  x点。
2
l
34
1
Pl ( x)  al ( x) 
2 i
(u 2  1)l
 c 2l (u  x)l 1 du
其中：回路c包含u  x点。
勒让德多项式的积分表达式——(2)拉普拉斯积分
1
Pl ( x) 
2

2
0
( x  i 1  x 2 sin  )l d
证明：在施列夫利公式中，取 u 平面的回路 C  以 x 为圆
心， 1  x 2 为半径的圆周，则
u  x  1  x 2 ei ， du  i 1  x 2 ei d
u 2  1  ( x  1)  1  x 2 ei  ( x  1)  1  x 2 ei 



  x 2  1  2 x 1  x 2 ei  (1  x 2 )ei 2
 2 1  x 2 ei ( x  i 1  x 2 sin  )
35
1
Pl ( x)  al ( x) 
2 i
(u  x)l 1 

1  x2

l 1
(u  1)
 c 2l (u  x)l 1 du
2
l
ei (l 1)
将以上各式代入施列夫利公式，即得拉普拉斯积分
1 2
pl ( x) 
2 i 0
1

2

2
0
2
l

1 x
2

l
eik ( x  i 1  x 2 sin  )l i 1  x 2 ei
2l

 x  i 1  x sin   d
2
1  x2

l 1
ei ( k 1)
l
36
d
6. 勒让德多项式的递推公式
递推关系：相邻的勒让德多项式以及它们的导数之间存在
着一定的关系。具体如下：
(l  1) Pl 1 ( x)  (2l  1) xPl ( x)  lPl 1 ( x)  0
lPl ( x)  xPl ( x)  Pl 1 ( x)
(1)
(l  1) Pl ( x)  Pl 1 ( x)  xPl ( x)
(2l  1) Pl ( x)  Pl 1 ( x)  Pl 1 ( x)
(3)
(4)
(1- x 2 ) Pl ( x)  lPl 1 ( x)  lxPl ( x)
(5)
证明：(1) 由母函数关系式
(2)

(1  2 xt  t 2 ) 1 2   Pl ( x)t l
l 0
37
两边对t 求导，有：

1
 (1  2 xt  t 2 )3 2 (2t  2 x)   lPl ( x)t l 1
2
l 0
2 3 2
改写为： ( x  t )(1  2 xt  t )

  lPl ( x)t l 1
l 0
两边乘以(1− 2xt + t2 ) ，再将母函数关系式代入，有


( x  t ) Pl ( x)t  (1  2 xt  t ) lPl ( x)t l 1
l
l 0
2
l 0
l
比较两边 t 的系数，有：
xPl ( x)  Pl 1 ( x)  (l  1) Pl 1 ( x)  2 xlPl ( x)  (l  1) Pl 1 ( x)
整理上式：
(l  1) Pl 1 ( x)  (2l  1) xPl ( x)  lPl 1 ( x)  0
(l  1)
38
(l  1) Pl 1 ( x)  (2l  1) xPl ( x)  lPl 1 ( x)  0
当 l  0时，由于：P0 ( x)  1; P1 ( x)  x, ，所以 xP0 ( x)  P1 ( x)
(2)由母函数关系式两边对x 求导：
1
 (2t )
2

3
2 2
(1  2 xt  t )
又
( x  t )(1  2 xt  t )
2

3
2
  Pl ( x)t l
l 0

  lPl ( x)t l 1
l 0

 t  lPl ( x)t
l 0
l 1

 ( x  t ) Pl ( x)t l
l 0
t l 的系数，得递推关系式 (2)。
lPl ( x)  xPl ( x)  Pl 1 ( x)
整理上式后比较等式两边
39
1
Pl ( x) 
2

2
0
( x  i 1  x 2 sin  )l d
1
例 试证明积分  Pl ( x)dx  2 l 0
1
证明：
（1）当 l  1，由递推公式 (2l  1) Pl ( x)  Pl1 ( x)  Pl1 ( x) 可
1
得 Pl ( x) 
 Pl1 ( x)  Pl1 ( x) 
(2l  1)
代入积分并利用 Pl (1)  1及 Pl (1)  (1)l ，可得
1
1
I
 Pl1 ( x)  Pl1 ( x) dx


1
(2l  1)
1

 Pl 1 (1)  Pl 1 (1)  Pl 1 (1)  Pl 1 (1)
(2l  1)
1
1  (1)l 1  1  (1)l 1   0

(2l  1)
40
（2）当 l  0 并利用 P0 ( x)  1则有
1
1
1
1
I   P0 ( x)dx   dx  2
1
综上所述，  Pl ( x)dx  2 l 0
1
41
7. 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式
(1) 勒让德多项式的正交性：

1
1
Pl ( x ) Pk ( x ) dx  0
另一种形式：
x  cos 



0
(k  l )
Pl (cos  ) Pk (cos  )sin  d  0
(k  l )
勒让德方程可改写为下述形式：
d
2 dy
[(1  x ) )]  l (l  1) y  0
dx
dx
(1  x ) y  2 xy  l (l  1) y  0
2
由于 Pl ( x ) 和 Pk ( x)分别是l阶及k阶方程的特解，因此
42
d
[(1  x 2 ) Pl ( x)]  l (l  1) Pl ( x )  0
dx
d
[(1  x 2 ) Pk( x)]  k (k  1) Pk ( x)  0
dx
用Pk ( x )乘以第一式，Pl ( x )乘以第二式后相减，然后再积分，得
1
d
d
2
2

{
P
(
x
)
[(1

x
)
P
(
x
)]

P
(
x
)
[(1

x
) Pk( x)]}dx
l
l
1 k dx
dx
 [l (l  1)  k ( k  1)] Pl ( x) Pk ( x) dx  0
1
1
 (1  x ) Pk ( x) Pl ( x)
1
1
(1  x ) Pk( x) Pl ( x)
  (1  x 2 ) Pk( x) Pl ( x)dx
2
2
1
1
  (1  x 2 ) Pl ( x) Pk( x)dx
1
1
1
1
1
[l (l  1)  k (k  1)] Pl ( x) Pk ( x)dx  0
1
43
1
  Pl ( x) Pk ( x)dx  0
1

(2) Pl ( x ) 的模 N l 
1
1
[ Pl ( x )]2 dx
利用母函数的关系式，有：
2




 
1





   Pl ( x)t l  Pk ( x)t k   Pl ( x)Pk ( x)t l  k



 1  2 xt  t 2 1 2 
 l 0
  k 0
 l 0 k 0


两边对x积分，并利用勒让德多项式的正交性
1
dx
 1  2 xt  t 
1
2


  t
l 0 k 0
l k

1
1

Pk ( x) Pl ( x)dx   t
l 0
2l

1
1
 Pl ( x) dx
2
44
上式左边的积分
1
dx
1
2

ln
1

2
xt

t

1 1  2 xt  t 2  2t 
1
1
1 1 t
 ln
t 1 t
1 t
在 t  1 的区域将 ln
展开成泰勒级数P64例3.3.6
1 t

2 2l 1
f (t )  
t
l  0 2l  1
dx
1  2 2l 1  2 2l

 
t

t
1 1  2 x  t 2
t l  0 2l  1
l  0 2l  1
1


2 2l
  t   Pl ( x)  dx  
t
1
l 0
l  0 2l  1
2l
1
2
45
上式在 t  1 的区域内对任意的t 成立，故有
2
1 Pl ( x) dx  2l  1
1
2
2
 Nl 
2l  1
1
Nl
归一化因子
(3) 勒让德多项式的正交归一关系式
 2l  1 
2
1 Pl ( x) Pk ( x)dx  2l  1  lk   2 


1


0
2

1
1
Pl ( x) Pk ( x)dx   lk
2
Pl (cos  ) Pk (cos  )sin  d 
 lk
2l  1
46
8.广义傅里叶级数的完备性
若函数f(x)在[-1，1]上有连续的一阶导数和分段连续的二阶
导数，则f(x)在[-1，1]上可以展开成绝对且一致收敛的级数。

f ( x)   Cl Pl ( x) ——广义傅里叶级数
l 0
Pl ( x) 可以作为广义傅里叶级数展开的基，且 Pl ( x)是完备的。
展开系数
cl 的求法：


2
2
Cl  Pk ( x) Pl ( x)dx   Cl
 lk  Ck
1 f ( x) Pk ( x)dx  
1
2l  1
2k  1
l 0
l 0
2l  1 1
 Cl 
f ( x) Pl ( x)dx

2 1
1
1
47
P0 ( x)  1
例1:将
x2
P1 ( x)  x
1
P2 ( x)  (3x 2  1)
2
P3 ( x) 
1
(5 x 3  3x)
2
在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
48
10. 关联勒让德方程与关联勒让德函数
(1) 关联勒让德方程
2


m
2
(1  x ) y  2 xy  l (l  1) 
y0
(m  0, 1, 2 )
2
1 x 

I. m ≥ 0
设 Pl ( x) 是勒让德方程的解，即：
2
d
Pl ( x)
dPl ( x)
2
(1  x )
 2x
 l (l  1) Pl ( x)  0
2
dx
dx
将上式对x 求m 阶导数：
dm
dx m
2
m


d
P
(
x
)
d
2
l
(1

x
)

2 m
2
dx 
dx

dm
 dPl ( x) 
 x dx   l (l  1) dx m Pl ( x)  0


m
由 (uv )( m )   cmk u ( k ) v ( m  k ) 计算上式左边第(1)、(2)项
k 0
49
2
m 2
m



d
P
(
x
)
dP
(
x
)
d m 2
d
d
m


l
)   l2l (l 

2
x
(1  mx )(1
yx22 xy
1)

y
 0   l (l (1)
m  0,
P1,( x)2 0)

m 2 
m l
dx 
dx 
dx
dx
1  x  dx 
2
d
d ( m)
2
( m)
(1  x ) 2 Pl ( x)  2(m  1) x Pl ( x)  l (l  1)  m(m  1) Pl ( m) ( x)  0
dx
dx
m
d
上式实际上是关于 Pl ( m) ( x)  m Pl ( x) 所满足的方程。
dx
m
y ( x)  (1  x 2 ) 2 w( x)代入关联勒让德方程，得：
设：
2
d
d
2
(1  x ) 2 w( x)  2(m  1) x w( x)  l (l  1)  m(m  1) w( x)  0
dx
dx
50
 w( x) 与 Pl (m) ( x) 满足相同的方程
m
2 2
 关联勒让德方程的一个特解：y( x)  (1  x ) Pl ( m) ( x)
m
2 2
记作： Pl m ( x)  (1  x ) Pl ( m) ( x)
(m  0,1, 2 )
II．m<0
将 m   m 代入关联勒让德方程，得：
2


m
2
(1  x ) y  2 xy  l (l  1) 
y0
2
1  x 

m
m
d
上式的特解： Pl m ( x)  (1  x 2 ) 2
P ( x)
(m  -1,-2,)
m l
dx
III. 关联勒让德方程的特解
m
m
d
m
Pl ( x)  (1  x2 ) 2
P ( x)
(m  0, 1, 2,)
m l
51
dx
1
P1 ( x)  x P2 ( x)  (3x 2  1)
P0 ( x)  1
2
(2)关联勒让德函数的微分
P3 ( x) 
1
(5 x 3  3x)
2
1 dl
2
l
将罗德里格斯公式代入方程的特解，得：
Pl ( x )  l
(
x

1)
2 l ! dx l
m
m
d
m
Pl ( x)  (1  x2 ) 2
P ( x)
(m  0, 1, 2,)
m l
dx
m
l m
2 2
(1

x
) d
m
2
l
Pl ( x) 
(
x

1)
2l l ! dxl  m
 P11 ( x)  1  x
1
2 2

1
2 2
(l  0,1,
; m  0, 1, 2,; m  l )
 sin  ;
3
3
2
2
P ( x)  3x 1  x   sin 2 ; P2 ( x)  3 1  x   (1  cos 2 )
2
2
1
3
3
1
2 2
2
P3 ( x)  1  x  (5 x  1)  (sin   5sin 3 )
52
2
8
1
2
53
(3)关联勒让德函数的正交性与正交归一关系式
I.关联勒让德函数在区间[-1,1]具有正交性：

1
1
Pl ( x) Pk ( x)dx  0(l  k , 对于同一个m)
m
m
II.关联勒让德函数的模
1
2
 Pl ( x)  dx  Nl m
1 

m
2
d
d ( m)
2
( m)
(1  x ) 2 Pl ( x)  2(m  1) x Pl ( x)  l (l  1)  m(m  1) Pl ( m) ( x)  0
dx
dx
将上式中的 m用 m  1代替，得
(1  x 2 ) Pl ( m1) ( x)  2mxPl ( m) ( x)  l (l  1)  m(m  1)  Pl ( m1) ( x)  0
用 (1  x 2 ) m1乘以上式得
54
m
Pl ( x)  (1  x2 ) 2
m
d
m
m
dx
m
Pl ( x)  (1  x 2 ) 2 Pl ( m) ( x)
(m  0)
(1  x 2 ) Pl ( m1) ( x)  2mxPl ( m) ( x)  l (l  1)  m(m  1)  Pl ( m1) ( x)  0
(1  x 2 ) m Pl ( m1) ( x)  2mx(1  x 2 ) m1 Pl ( m ) ( x)
(l  m)(l  m  1)(1  x 2 ) m1 Pl ( m1) ( x)  0
d
 (1  x 2 )m Pl ( m ) ( x)   (l  m)(l  m  1)(1  x 2 ) m1 Pl ( m1) ( x)
dx
关联勒让德函数的模方（ m  0）
1
1
 N     Pl ( x)  dx   (1  x 2 ) m Pl ( m ) ( x) Pl ( m ) ( x)dx
1
1
1
d ( m1)
2 m (m)
  (1  x ) Pl ( x) Pl
( x)dx
1
dx
m
l
2
m
2
1
 (1  x ) Pl
2 m
(m)
1
d ( m1)
d
( x) Pl
( x)   Pl ( m 1) ( x) (1  x 2 ) m Pl ( m ) ( x)  dx
1
dx
dx
1
55
1
1
d ( m1)
d
2 m (m)
 (1  x ) Pl ( x) Pl
( x)   Pl ( m1) ( x) (1  x 2 ) m Pl ( m ) ( x)  dx
1
dx
dx
1
第一项为零，将下式代入上式得
d
 (1  x 2 )m Pl ( m ) ( x)   (l  m)(l  m  1)(1  x 2 ) m1 Pl m1 ( x)
dx
1
m 2
 N l    Pl ( m1) ( x)(l  m)(l  m  1)(1  x 2 ) m1 Pl ( m1) ( x )dx
1
1
 (l  m)(l  m  1)   Pl m1 ( x)  dx  (l  m)(l  m  1)  N lm1 
1
2
2
 N   (l  m)(l  m  1)(l  m  1)(l  m  2)  N
m
l
m2
l

2
2
 (l  m)(l  m  1)(l  m  1)(l  m  2)(l  m  2)(l  m  3)  N
 (l  m)(l  m  1)

(l  1)(l  m  1)(l  m  2)
(l  m)! l !
2
(l  m)! 2

l ! (l  m)! 2l  1 (l  m)! 2l  1
m 3 2
l

(l  m  m)  N l0 
2
56
(l  m )! 2
考虑 m  0的情况  N  
(l  m )! 2l  1
m
l
2
由关联勒让德函数的正交性及模此得正交归一关系式
(l  m )! 2
1 Pl ( x) Pk ( x)  (l  m )! 2l  1  kl
1
m
m
57
IV.广义傅里叶级数 关联勒让德函数的完备性
若函数在区间[-1，1]上有连续的一阶导数及分段连续的二
阶导数，则f(x)在[-1，1]上可展开成绝对且一致收敛的级数

m
f ( x)   cl m Pl ( x) ——广义傅里叶级数
l 0
m
Pl ( x) 可作为广义傅里叶级数展开的基，表明是完备的。
利用关联勒让德函数的正交归一关系式可以求得展开系数：
cl m
2l  1 (l  m )! 1
m

f ( x) Pl ( x)dx


1
2 (l  m )!
58