Transcript 第七章贝塞尔函数

在圆柱形波导中的电磁波传播问题；
圆柱体中的热传导问题；
圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；
信号处理中的调频合成（FM synthesis）或凯泽窗定义问题 ；
贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中
叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振
动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼
尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数
学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。
1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出
的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地
提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他
的名字来命名了这种函数。
第七章
贝塞尔函数
第一节 贝塞尔方程与贝塞尔函数
一 贝赛尔方程的求解
方程的来源：
在柱坐标系中用分离变量法解方程∇2u = 0 而得到。
2
2


x y  xy  ( x  ) y  0
0 xb
2
注意在贝塞尔方程中，因为
1

p ( x)  , q ( x)  1  2
x
x
2
故 x  0 为 p( x), q( x) 的奇点(正则奇点)
x 2 y  xy  ( x 2  2 ) y  0
0 xb
贝塞尔方程的求解需应用奇点邻域的幂级数解法．
设方程的一个特解具有下列幂级数形式：


k 0
k 0
y  x   Ck x k   Ck x k  
将上式代入方程得：

 (k   )(k    1)Ck x
k 0

  Ck x
k 0
k   2

k

  (k   )Ck x k  
k 0

2
k
C
x
 k 0
k 0
化简后写成：


k 0
k 0
2
2
k 
k   2


(
k


)


C
x

C
x
0

 k
 k

 (k   )   Ck x
2
2
k 
k 0

  Ck x k    2  0
k 0
要使上式恒成立，必须使得各个x次幂的系数为零，由x

的最低次幂x 的系数为零得
C0 (  2  2 )  0
     1   , 2  
为确定起见，先讨论  0 ，并将   1   带入方程得


k 0
k 0
2
2
k 
k   2


(
k


)


C
x

C
x
0

 k
 k


k 0
k 2
  (k   ) 2  2  Ck x k    Ck 2 x k   0

 (1  2 )C1 x1    k (k  2 )Ck  Ck 2  x k   0
k 2

k 
1x
k


(1

2

)
C

k
(
k

2

)
C

C
x
(1  2 )C1 x1  
 k(k  2 )Ck k Ck 2k 2x  0 0
1

k 2
k 2
x 的同次幂系数之和为零
由由
x 的同次幂系数之和为零
(1(1

22)C)C1 
0 0 (( 
0)0)
，，
1
k
 Ck 2 
0
k (kk(
22)C)kCk C
0
k 2
1

1
由此得
C1C1 
0 0 CkCk  k (2  kC) kC2k 2
由此得
k (2  k )
(1)
1)
(1)
1)
(

(

C2Cn 2n  2n(2  2nC) 2Cn 22n 2  222 n(  nC) 2(Cn2(1)n 1)
2n(2  2n)
2 n(  n)
(1)
1)
(1)
1)
(

(

  222 n(  n) 222 (n  1)(  n  1)
C2(Cn2(2)n 2)
2 n(  n) 2 (n  1)(  n  1)
2
2
(

1)
(1)

 2222 2 n(n  1) (  n)(  n  1)
C2(Cn2(2)n 2) 
2 n(n  1) (  n)(  n  1)
(1)22
C2 n  2 2
C2( n  2) 
(1)
C2 n  22 2 n(n  1) (  n)(  n  1)C2( n  2) 
2 n(n  1) (  n)(n  n  1)
(1)n
 2n
C2( n  n )
(1)
 22 n n(n  1) 1 (  n)(  n  1) (  1)C2( n  n )
2 n(n n 1) 1 (  n)( n n  1) (  1)
(1)n  !
( 1)n (  1)
 2(n 1)  !
C0  (2 
C0
n 1)  (  1)
 22 n n !(  n)!C0  22 n n !(  n  1)C0
2 n !(  n)!
2 n !(  n  1)
C2 n 1  0
C2 n 1  0
代入解的级数形式中，得贝塞尔方程的一个特解
代入解的级数形式中，得贝塞尔方程的一个特解
n



(

1)
(  1)
k


2
n


2 n 
n



y1 ( x)   Ck xk    C2 n x2 n   (2 
C
x
0 2 n 
n 1) (  1)
2
n
!

(


n

1)
y1 ( x)  
C
x

C
x

C
k 0 k
n 0 2 n
n 0 2 n


0x
k 0
n 0
n 0 2 n !(  n  1)
同理令    2   可得贝塞尔方程的另一个特解
n
(

1)
(  1)
k 
2 n 
y2 ( x)   Ck x   C2 n x
  2n
C0 x 2 n
k 0
n 0
n 0 2 n !(   n  1)

1
(1)n (  1)
2 n 
在 y1 ( x)   2 n
得：
C0 x 中取C0  v
2 (v  1)
n 0 2 n !(  n  1)


y1 ( x)  
n 0
2
2 n


n

(1)n
(

1)
 x
x 2 nv  
 
n!(v  n  1)
n0 n!(v  n  1)  2 
2 nv
 J v ( x)
1
(1) n (  1)
2 n 
若在 y2 ( x)   2 n
C0 x 中取C0   v
2 (v  1)
n 0 2 n !(   n  1)

(1)
 x
则得： y2 ( x)  
 
n 0 n ! ( v  n  1)  2 

n
2 n v
 J  v ( x)
(1)
 x
J v ( x)  
 
n
!

(
v

n

1)
2
n 0

n
2 nv
(1)
 x
J  v ( x)  
 
n  0 n ! ( v  n  1)  2 

n
2 n v
两式称为第一类贝塞尔函数。
讨论：(1)当 不为整数时，例如 J ( x) 为分数阶贝塞尔函数：
J ( x), J  ( x),
1
2
 x
J ( x)   
2
1
2
v
 x
J  ( x)   
2
等, 当 x
 0 时，
(1)
 x

 
n
!

(


n

1)
2
n 0

v
n
2n

(1)
 x

 
n  0 n !(   n  1)  2 

n
1
x
( )  0
(  1) 2
2n
1
x 

( ) 
(  1) 2
故这两个特解 J ( x) 与 J  ( x) 是线性无关的，由齐次线
性常微分方程的通解构成法知道方程的通解为
y  C1J ( x)  C2 J  ( x) C1 , C2 为两个任意常数．
根据系数关系，且由达朗贝尔比值法
(1)
 x
J v ( x)  
 
n0 n!(v  n  1)  2 

n
2 nv
(1)
 x
J  v ( x)  
 
n
!

(

v

n

1)
2
n 0

n
2 n v
a2 m
lim
0
m  a
2 m2
故级数
J ( x)
和
J  ( x) 的收敛范围为 0  x  
(2)当
 n 为正整数或零时（注:以下推导凡用 n 即表整数），
(n  m  1)  (n  m)!
n 2 m

x
m
J n ( x)   (1) n 2m
2 m!(n  m)!
m 0
故有
(n  0,1, 2, )
称 J n ( x) 为整数阶贝塞尔函数．易得
x 2
1 x 4
1 x 6
J 0 ( x)  1  ( ) 
( ) 
( ) 
2
2
2
(2!) 2
(3!) 2
x 1 x 3
1 x 5
J1 ( x)   ( ) 
( ) 
2 2! 2
2!3! 2
需注意在取整数的情况下，J n ( x) 和 J  n ( x) 线性相关，这是因为:
x 2m
( )
x n 
2
J  n ( x)  ( )  ( 1) m
2 m0
m !(m  n  1)
n 2 m

x
J n ( x)   (1) n 2m
2 m!(n  m)!
m 0
m
x 2m
(
)
x n 
2
J  n ( x)  ( )  ( 1) m
2 m0
m !(m  n  1)
由于 n 是零或正整数，只要m  n ，则 m  n  1
是零或负整数，而对于零或负整数的  函数为无穷大，
所以上面的级数实际上只从 m  n 开始．若令 l  m  n ，则
l 从零开始，故
x n 
J  n ( x)  ( )  (1) n l
2 l 0
x 2l  2 n
x 2l  n
( )
( )

2
 (1) n  ( 1)l 2
(n  l )!l !
(n  l )!l !
l 0
J  n ( x)  (1)n J n ( x)
可见正、负 n 阶贝塞尔函数只相差一个常数因子(1)
n
这时贝塞尔方程的通解需要求出与之线性无关的另一个特解．
当 v=n（整数）时， J  n ( x)  (1)n J n ( x) 线性相关。不构成通

解。故另一特解应为 y2 ( x)  aJ n ( x) ln x  x  v  Dk xk
k 0
但是用上式计算 a 和 Dk 通常不易。
因此引入一个与 J n 线性无关的特解。即诺伊曼函数（Neumann）
y ( x)  N v ( x)  J v ( x) cot v  csc v J  v ( x)
J v ( x)cos v  J  v ( x)
定义 Nv ( x) 
v  0,1,
sin v
J v ( x)cos v  J  v ( x)
N n ( x)  lim Nv ( x)  lim
v n
v n
sin v
v  0,1,
J v
J  v ( x)
cos v  J v ( x) sin v 
v
当 v  n 整数时，  lim v
v n
 cos v
1  J v
n J  v 
 
 (1)
  v
v  v n
可证明， N v ( x) 是贝塞尔函数方程的解，
我们定义第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为
cos( π)J ( x)  J  ( x)
N ( x) 
sin( π)
是一个特解，它既满足贝塞尔方程，又与J n ( x) 线性无关．
由微分表达式：
2
x
1 n 1 (n  m  1)! x  n  2 m
N n ( x)  J n ( x)(ln   )  
( )
π
2
π m0
m!
2
m x n2m
(1) ( )
n  m 1
m 1
1 
1
1
2
 
(

)
π m 0 m!(n  m)! k 0 k  1 k 0 k  1
其中，  0.5772
为欧拉常数．
当 x  0 ，无论 n 是否为零， N n ( x) 都是无界的
2 x
当n  0
N 0 ( x)
ln ,
 2
n
(n  1)!  x 
N n ( x) 
当n  1
  ,
 2
无论 是否整数和零时， N v ( x) 和 J v 永远线性无关，故贝塞尔
函数方程的解均可为： y ( x)  C1 J v ( x)  C2 N v ( x )
（3）此外还有汉克尔（Hankel）函数
H v(1) ( x)  J v ( x)  iNv ( x)
H v(2) ( x)  J v ( x)  iNv ( x)
通解： y( x)  C1H v(1) ( x)  C2 H v(2) ( x)
1
J v ( x)   H v(1) ( x)  H v(2) ( x) 
2
（4）三类函数的关系：
1
N v ( x)   H v(1) ( x)  H v(2) ( x) 
2i
2
sin x
例1 试证半奇数阶贝塞尔函数 J ( x) 
x
1
2

证明： J ( x)   (1)
1
2
而
k 0
x
k
2
1 2k
2
1
2k
2
1
k !(  k  1)
2
1 1 1  3  5   (2k  1)
( ) 

k 1
2 2
2
3
1
1
(  k )  (k  )(k   1)
2
2
2
1
2k
2

x
J ( x)   (1)
1 3  5 
2k
k 0
2 k!
k
1
2
 (2k  1)
1
2

  (1)
k 0
x
k
2
k
1
2
2
k 1
1
2k
2
k !1  3  5 
 (2k  1) 


J ( x)   (1)
1
2
k 0
x
k
2
k
1
2
1
2k
2
k !1  3  5 
 (2k  1) 
1 2 k
2 
x

(1) k k

 x k 0
2 k !1  3  5   (2k  1)
2 

(1) k

 x k 0
2k  (2k  2) 
故
x1 2 k
 4  2 1  3  5 
 (2k  1)
2
2  (1) k 2 k 1

sin x
J ( x) 
x

x
 x k 0 (2k  1)!
1
2
同理可证
2
J  ( x) 
cos x
x
1
2
第二节 贝塞尔函数的母函数，递推关系等
1.母函数
f ( x, t )  e
母函数 e
x 1
(t  )
2 t
x 1
(t  )
2
t

  (1)l  x  x  2l  n
n
  
t

J
(
x
)
t


n
 
n  
n 
 l 0 (n  l )!l !  2  

（ P68，例 3.4.2）
2.贝塞尔函数的积分表达式
1
f ( x, t )
由洛朗系数公式 ak 
dt
k 1

L
2 i
t
1
得积分表达式 J n ( x) 
2 i

e
L
x 1
(t  )
2
t
t
n 1
dt
1
J n ( x) 
2 i

e
L
x 1
(t  )
2
t
t n1
dt ，选择 t  1的积分围线，令 t  ei ，
1  eix sin  i
1  i ( x sin  n )
J n ( x) 
d
 i ( n 1) e id 
 e


2 i
e
2
1 

  cos( x sin   n )  i sin( x sin   n )  d

2
1 

 cos( x sin   n ) d

2
1 
定积分表达式： J n ( x) 
 cos( x sin   n )d

2
3、递推关系
d v
 x J v ( x)   x v J v1 ( x)
dx
d v
 x J v  x     x  v J v1 ( x )   J 0 ( x )    J1 ( x)
dx
x
J v ( x)   J v1 ( x)  J v 1 ( x) 
2v
1
J v ( x)   J v 1 ( x)  J v 1 ( x) 
2
d v
 x N v ( x)   x v N v1 ( x)
dx
d v
 x N v ( x)    x  v N v1 ( x)
dx
例 3 求
 xJ
 xJ1 ( x)  xJ 0 ( x)
2
 J 0 ( x)   J1 ( x)
( x)dx
【解】 根据公式 J v ( x) 
1
 J v1 ( x)  J v1 ( x) 有
2
J 2 ( x)  J 0 ( x)  2 J1( x)
 xJ
2
( x)dx   xJ 0 ( x)dx  2  xJ1( x)dx
 xJ1 ( x)  2[ xJ1 ( x)   J1 ( x)dx]
 xJ1 ( x)  2[ xJ1 ( x)   J 0 ( x)dx]
  xJ1 ( x)  2 J 0 ( x)  c
5 贝塞尔函数的渐进公式
（1） 对于大的 x 值，贝塞尔函数的渐进公式是
2
 
J ( x) ~
cos( x 
 )
x
2 4
说明：贝塞尔方程为 x 2 y  xy  ( x 2  2 ) y  0
g ( x)
做变换 y ( x) 
代入贝塞尔方程再除 x3 2
x
1  4 2
g ( x)  (1 
) g ( x)  0
2
4x
当x
1时，上式可近似写成 g( x)  g ( x)  0
由此解得 g ( x) ~ g ( x)  A cos( x   )
1时，上式可近似写成 g( x)  g ( x)  0
解得 g ( x) ~ g ( x)  A cos( x   )
这表明，对于大的 x 值，贝塞尔函数的渐进公式是
g ( x)
A
2
 
J ( x)  y ( x) 
~
cos( x   ) 
cos( x 
 )
x
2 4
x
x
2
J ( x) 
sin x
x
1
2
2
J  ( x) 
cos x
x
1
2
6 贝塞尔函数的零点分布
贝 塞 尔 函 数 J n ( x) 是 一 个 衰 减 震 荡 函 数 ， 图 中 画 出 了
J 0 ( x), J1 ( x), J 2 ( x) 在 x  0的函数曲线，从图中可以看出
它们都有无穷多个实数零点,其零点彼此相间分布。
贝塞尔函数的零点分布有如下特征：
（1） 贝塞尔函数的零点是关于原点对称的，亦其零点必正
负成对，且绝对值相等。 J ( x)  (1) J ( x) 。
（2） 贝塞尔函数有无限多个零点。对于大的 x 值，贝塞尔函
2
 
数的渐进公式， J ( x) ~
cos( x 
 )。
x
2 4
（3） 在 J ( x ) 两个相邻的零点之间有且只有一个 J 1 ( x) 得零
点，反之亦然。
为了便于工程技术上的应用,贝塞尔函数正零点的
数值已被详细计算出来,并制成表格以供查阅.
J n( m )