Transcript 十一章反常积分

第十一章反常积分
11.1 反常积分概念
11.2 无穷积分的收敛性质与判别
11.3 瑕积分的性质与收敛判别
11.1 反常积分概念
一、 引例
二、两类反常积分的定义
一. 引入
例：
1
求曲线 y  2 , x轴及直线 x  1，右边所围成的“开口
x
y
曲边梯形”的面积。
解：由于这个图形不是封闭的
曲边梯形,而在x轴的正方
向是开口的，即这时的积
0
分区间为[1，+∞），
1
1 b
1
b 1
故b  1, 则A的面积为  1 2 dx  [ ]1  1 
x
x
b
显然当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变，
1
b 1
故b   时，即 lim  1 2 dx  lim (1  )  1
b  
b  
x
b
则所求曲边梯形的面积为1
y
b
1
x2
x
二、两类反常积分的定义.
定义1: 设函数 f (x)在区间[a, +)上连续, 取b > a,
如果极限 lim

b
b   a
f ( x)dx 存在,
则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +)上
的无穷限反常积分, 记作 

a

a
b
f ( x) dx, 即
f ( x)dx

b a
f ( x)dx  lim
(1)
这时也称无穷积分

a
f ( x)dx 收敛; 若上述极

发散, 这时记
f
(
x
)
dx
a

号  f ( x)dx不再表示数值了。
a

b
1
1
dx

lim
dx
2
例如： 0 1  x 2

b 0 1  x
b
y
 lim arctan x0
1
限不存在, 就称无穷积分
b
 lim arctan b
1
y
o
b
1 x2
b  


2
x
类似地, 设函数 f (x)在区间(, b]上连续, 取a < b,
如果极限
b
f ( x)dx

a  a
lim
存在, 则称此极限为函数
f (x)在无穷区间(, b]上无穷积分, 记作 
b

f ( x ) dx,
即
b
b
f ( x)dx
 f ( x)dx  alim

 a
b
(2)
这时也称无穷积分  f ( x ) dx 收敛; 若上述
b
极限不存在, 就称无穷积分 f ( x ) dx 发散.
设函数 f (x)在区间(, +)上连续, 如果无穷积分

0
 f ( x)dx 和 0
f ( x)dx
都收敛, 则称上述两无穷积分之和为函数
f (x)在

区间(, +)上无穷积分.记作  f ( x ) dx ,即


0
 f ( x)dx   f (0x)dx  0 f ( x)dxb
 lim  f ( x)dx  lim  f ( x)dx
a  a
b 0

(3)
这时, 也称无穷积分  f ( x ) dx 收敛; 否则就称
无穷积分


f ( x ) dx 发散.

dx
例1：计算无穷积分  
2.
1 x
  dx
0
  dx
dx


解： 
2
2
 1  x
0 1 x2
1 x
0 1
b
1
 lim 
dx  lim 
dx
2
2
a  a 1  x
b 0 1  x
y
 lim arctan x  lim arctan x
0
a
a 
b
b
0
  lim arctan a  lim arctan b
a  


y
a
b  
o
b
 (  )   
2 2
注: 为方便起见, 把 lim F ( x)a 记作F ( x)a .
b
b
1
1 x2

x

例2 : 计算无穷积分0 te
解:

0
te
 pt
 pt
dt ( p是常数, 且p  0).
dt  lim

b
b  0
te  pt dt
 t  pt  b 1 b  pt 
 lim   e
  e dt 
 0 p 0
b  
p




 
t  pt 
1  pt

  e
 2 e
 p
 0
p

0
1
1
1
 pt
  lim te  0  2 (0  1)  2
p t 
p
p

例3 : 证明无穷积分a
dx
(a  0).
p
x
当p  1时收敛, 当p  1时发散.
证: 当 p = 1时

a
  dx
dx


 ln xa  
p
a
x
x
当 p  1时

a
1 p

x 
1
dx

1  p 
xp
a
 ,
 1 p
 a
 p  1 ,
p 1
p 1

所以无穷积分 a
dx
xp
a1 p
当p  1时收敛, 其值为
.
p 1
当p  1时发散.
练习1.确定下列无穷积分是否收敛，若收敛算出它的值.
(1) 
(2) 
  x
1
e dx

1
1
dx
4
x
(3) 
解： (1)  b e  x dx  e  x b  1  e b
1
1
1
lim (1  e )  1  lim b  1
b  
b  e
b
故 1 e  x dx收敛，且 1 e  x dx  1
1
1 b 1 1 3
(2)   4 dx   3 1   b
x
3x
3 3
1
1
1 1
1 1
lim (  3 )   lim 3 
b   3
3b
3 3 b b
3
b
1
故

1
1
1
 1
dx收敛，且  1 4 dx 
4
x
x
3

1
1
dx
x
(3)   1
又 1b
1
1
dx  lim  1b
dx
b


x
x
1
dx  2 x 1b  2 b  2
x
lim (2 b  2)  
b 
故 1 
1
dx发散
x
练习2：计算无穷积分
(1)
解(1):


0


0
xe
xe
 x2
x 2
dx
（2）


1
e
ln x
dx
x
1 x 2 
1
1
dx  [ e ]0   (0  1) 
2
2
2
练习4：求下列无穷积分：
(1)   xe
x2

2
dx
(2)  0 e x dx
定义2: 设函数 f (x)在区间(a, b]上连续, 而在点 a 的
右邻域内无界, 取 > 0.如果极限
lim 
b
 0 a 
f ( x)dx
存在,
则称此极限为无界函数 f (x)在(a, b]上的反常积分.
b
仍然记作  f ( x)dx, 即
a
b
b
f ( x)dx
a f ( x)dx  lim

0 a 
(4)
b
这时也称反常积分  f ( x)dx 收敛. 如果上述
a
b
极限不存在, 就称反常积分 f ( x)dx 发散.
a
类似地, 设函数 f (x)在区间[a, b)上连续, 而在
点 b 的左邻域内无界, 取 > 0.
b 
 0 a
如果极限 lim
b
f ( x)dx 存在,则定义
b 
a f ( x)dx  lim
0 a
b
f ( x)dx
否则, 就称反常积分a f ( x)dx 发散.
(5)
设函数 f (x)在区间[a, b]上除点c (a < c < b)
外连续, 而在点 c 的邻域内无界, 如果两个广义
积分
c
b
 f ( x)dx与 f ( x)dx
a
c
都收敛, 则定义
b
c
b
a f ( x)dx  a f ( x)dx  c
c 
 0 a
 lim
f ( x)dx
b
f ( x)dx

 0 c  
f ( x)dx  lim
b
否则, 就称反常积分 a f ( x) dx 发散.
(6)
例4 : 计算反常积分 0
a
解 : 因为 lim
x a 0
dx
a2  x2
( a  0)
1
 
2
2
a x
y
所以, x=a为被积函数的无穷
间断点.
a
a 
dx
dx

lim
于是: 0
 a2  x2
a 2  x 2  0 0
a 
x

 lim
arcsin 
  0 
ac

y
1
a2  x2
1
a
o
a a x
图5-7-1
a 
a 
 lim arcsin
 0
 c
  0 
a


 arcsin 1 
2
dx
5
:
例 讨论反常积分 1 2 的收敛性 .
x
1
解 : 被积函数f ( x)  2 在积分区间[1,1]上除x  0外连续,
x
且 lim 12  
x 0 x
1
由于

1
1  lim  1 
dx
2
1 x 2 dx  lim

  0 
0 1 x
 x  1
0 
0
1
 lim (  1)  
 0

1 dx
dx
即广义积分  2 发散, 所以广义积分  2 发散.
1 x
1 x
0
dx
a ( x  a ) q
当q < 1时, 收敛; 当q  1时, 发散.
例6 : 证明反常积分
证:
b
当q = 1时
b
b dx
dx
dx

lim
a ( x  a) q  a x  a  0 a x  a
b
 lim ln( x  a)a 
b
 0
 lim [ln(b  a )  ln  ]
  0
 
当q  1时,
b
1 q b
dx
b
 ( x  a) 
dx
 lim 

a ( x  a)q  0 a ( x  a)q  lim
 0  1  q

 a 
1
 lim
(b  a )1 q   1 q
  0 1  q
 (b  a )1 q
, q 1

  1 q
  ,
q 1
b
dx
因此, 当q <1时,反常积分a
q 收敛,
( x  a)
1 q
其值为 (b  a)
b
1 q
dx
当q  1时, 广义积分 a ( x  a) q 发散.


例7
计算反常积分 
2
1
解
2
1
dx
.
x ln x
dx
2
dx
 lim 1
 0
x ln x
x ln x
2
 lim 1
 0
d (ln x )
ln x
 lim ln(ln x )
 0
2
1 
 lim ln(ln 2)  ln(ln(1   ))
 0
 .
故原反常积分发散.
例8.
解:
讨论瑕积分 
1
0
1
dx ( p  0)的收敛性 .
p
x
被积函数 f在(0,1] 上连续,x = 0 是瑕点.由于.
 1
1 p
1 1
1  p (1  u ), p  1,
(0  u  1),
0 x p dx  
 ln u,
p 1

故当0  p  1时， 瑕积分收敛 ， 且
1 1
1 1
1
dx 
;
p
0 x p dx  ulim
 u
0
x
1 p
当P  1时， 瑕积分发散于  .
例9
解
计算反常积分
dx
3
0
( x  1)
2
3
0
( x  1)
2
3
1
( x  1)
3
 0

3
1
)
 lim 0
( x  1)
( x  1)
dx
( x  1)
2
3
 lim 1
  0
.x  1瑕点
2
3
dx
2
3
3
dx
3
2
3
2
3
dx
( x  1)
  0
dx
3
0
1 
dx
1
0
 ( 
1

dx
3
( x  1)
 3(1 
3
2 ).
2
3
 3  3 2,
注意
反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分
采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区
间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。
反常积分中，N-L公式，换元积分公式、分部积分
公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限
值。

如 无穷限积分
a

f ( x )dx  F (  )  F ( a )
b


a
再如
瑕积分
f ( x )dx  F ( b )  F (  )

udv  ( uv )

a

a
vdu
b
a f ( x )dx  F (b)  F (a  0)
b
a f ( x )dx  F (b  0)  F (a )
b
c
b
a f ( x )dx  a f ( x )dx  c
 F ( b )  F ( c  0)  F ( c  0)  F ( a )
b
a udv  ( uv ) a  0 
b
b
a vdu
f ( x )dx
例10 证明

I 
0
1
2
 dx与无关并求其值
(1  x )(1  x )

I 
证
1


0  1
1
0
1
2
 dx
(1  x )(1  x )
1
2
 dx
(1  x )(1  x )
1
I1  
2
 dx
(1  x )(1  x )
0
 I1  I 2
1
(令x  )
t


1

t
2
 dt
(1  t )(1  t )
 I  I1  I 2


1
x
2
 dx 
(1  x )(1  x )


1

1

2 dx 
4
1 x

1
1
2
 dx
(1  x )(1  x )
四. 小结
(1) 无穷积分和瑕积分的定义;
(2) 无穷积分和瑕积分收敛与发散的定义;
(3) 无穷积分的计算：
(i).求出函数f(x)的原函数F(x).
(ii). 上限为  时，则求出 lim F ( x)
x  
上限为  时，则求出 lim F ( x)
x  