Transcript 初中几何第三章第九节角的平分线

§3．9 角的平分线
一、学习目标
1．理解并掌握角平分线的性质定理和它的
逆定理．
2．综合应用角平分线的性质定理和它的逆
定理进行有关证明和计算．
3．理解并掌握角平分线的轴对称性及添加
辅助线的方法．
二、重点难点
本节的重点是：角平分线的性质定理和
角平分线的判定定理．
本节的难点是：综合运用角平分线的性
质定理和角平分线的判
定定理．
三. 新课
定理
逆定理
角平分线上的点到角的两边的距离相等
到角的两边距离相等的点在这个角的
角平分线上
三. 新课
角平分线定理是用组成这条射线上的点应满
足的条件来描述的，它包含了两方面的意义：
(1)定理“角平分线上的点到角的两边的距离
相等”说明，凡在角的平分线上的点，都有“到
角的两边距离相等”这个性质，无一例外，这就
是说点的集合(角平分线)不允许有任何不满足条件
的点混在其中．
(2)定理“到角的两边距离相等的点在这个角
的角平分线上”说明，凡具备“到角的两边距离
相等”这一性质的所有的点，都在这个角的角平
分线上，角平分线包含了满足条件的点的全体，
这就是说，点的集合(角平分线)不应有任何遗漏．
三. 新课
定理“到角的两边距离相等的点在这个
角
的角平分线上”还可以看作角平分线的判定
定
由于到角的两边距离相等的点一定在这
理.
个角的平分线上，那么连结角的顶点和这个
点的射线一定是这个角的平分线．
三. 新课
A
例1 已知：如图，△ABC中，AD平分
∠BAC，DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F，BD＝CD.
求证：∠B＝∠C.
E
B
【分析】 欲证∠B＝∠C，可证
△BDE≌△CDF只需证明DE＝DF，
这由角平分线的性质可得.
D
F
C
三. 新课
例1 已知：如图，△ABC中，AD平分
∠BAC，DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F，BD＝CD.
求证：∠B＝∠C.
【证明】∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F(已知)，
∴ DE＝DF(角平分线上的点到这个角的
两边距离相等).
在Rt△BDE与Rt△CDF中
 BD  CD（已知），
E

B
DE  DF（已证），
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴ ∠B＝∠C(全等三角形对应角相等).
A
D
F
C
三. 新课
A
例2 已知：如图，PB⊥AB，PC⊥AC，
且PB＝PC，D是AP上一点.
B
求证：∠BDP＝∠CDP.
D
C
【证明】(1)先证∠APB＝∠APC
∵ PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC(已知)，
P
∴ ∠PAB＝∠PAC
(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上).
∵ ∠APB＋∠PAB＝90°，∠APC＋∠PAC＝90°
(直角三角形两锐角互余).
∴ ∠APB＝∠APC(等角的余角相等).
三. 新课
例2 已知：如图，PB⊥AB，PC⊥AC，
且PB＝PC，D是AP上一点.
B
求证：∠BDP＝∠CDP.
接上页
A
D
(2)再证∠BDP＝∠CDP
P
在△DPB和△PDC中，
,
 PB  PC（已知）

,
APB  APC（已证）
 PD  PD（公共边）
,

∴ △DPB≌△DPC(SAS).
∴ ∠BDP＝∠CDP(全等三角形对应角相等).
C
1
12
12
2
三. 新课
例3 已知：如图，△ABC中，AB＞AC，
AD是角平分线.
求证：BD＞CD.
【证明】作AH⊥BC于H，
E
DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
B
∵ ∠DAB＝∠DAC(已知)，
∴ DE＝DF(角平分线上的点到这个
角的两边距离相等).
∵ AB＞AC(已知)，
∴ AB·DE＞AC·DF.
∵ AB·DE＝BD·AH，AC·DF＝DC·AH
(三角形面积公式)，
∴ BD·AH＞DC·AH.
∴ BD＞CD.
A
D H
F
C
三. 新课
例4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
∠BAC＝30°， AD、CE分别为
△ABC的角平分线， AD、CE交
于点F.
求证：EF＝DF.
【分析】问题：怎样证明线段EF＝FD？
5
有几种途径？
6
［答案］：
(1)寻求分别以 EF、FD为边的三角形；
(2)连结ED，证明∠DEF＝∠FDE；
(3)作出第三线段，证明EF和FD都和它相等．
三. 新课
例4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
∠BAC＝30°， AD、CE分别为
△ABC的角平分线， AD、CE交
于点F.
求证：EF＝DF.
【分析】问题：在上述几种途径中，
哪一种有实现的可能？
5
［答案］：第3种．
6
观察图形，直接证明EF和DF相等
困难，可考虑借助一条“中间线段”来沟通，
而两条角平分线则提供了实现这一目标的条件.
三. 新课
1
2
例4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
∠BAC＝30°， AD、CE分别为
△ABC的角平分线， AD、CE交
于点F.
求证：EF＝DF.
【证明】(1)先证∠2＋∠3＝120°
在AC上取点H，使AH＝AE，连结FH.
∵ AD平分∠BAC，CE平分∠ACB(已知)，
∴ ∠EAF＝∠CAF，∠ACF＝∠BCF.
∵ ∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴ ∠1＝(∠ACB＋∠BAC)
＝(30°＋90°)
＝60°
(三角形外角等于和它不相邻的两内角的和)．
∴ ∠2＋∠3＝120°(邻补角定义).
5
6
三. 新课
例4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
∠BAC＝30°， AD、CE分别为
△ABC的角平分线， AD、CE交
于点F.
求证：EF＝DF.
(2)再证∴ ∠3＝∠4＝60°.
在△AEF和△AHF中，
 AE  AH（已作），

EAF  CAF（已证），
 AF  AF（公共边），

∴ △AEF≌△AHF (SAS).
∴ EF＝HF(全等三角形对应边相等).
∴ ∠2＝∠1＝60°(全等三角形对应角相等).
而 ∠1＝∠4(对顶角相等)，
∴ ∠3＝∠4＝60°.
5
6
三. 新课
例4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
∠BAC＝30°， AD、CE分别为
△ABC的角平分线， AD、CE交
于点F.
求证：EF＝DF.
(3)最后证EF＝DF
在△CFH和△CFD中，
∠5 = ∠6 (角平分线定义)，

5
CF  CF (公共边)，
6
∠3 = ∠4 (已证)，

∴ △CFH≌△CFD(ASA).
∴ HF＝DF(全等三角形对应边相等).
∴ EF＝DF.
练
习
(一)填空题：
1．在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC
交AC于D，AC＝5，DC＝3，则D点到BC
2
的距离为
；
2．如图，∠C＝90°，AD平分
∠CAB，AD＝BD＝2CD，
BC＝15cm，则D到AB的距
离为 2．5cm ；
练
习
(一)填空题：
3．如图，已知BQ和CQ分别为△ABC
的内角∠ABC的平分线和∠ACB的
外角∠ACD的平分线，若Q到AC的
距离为4，则Q到AB的距离为 4 ．
练
习
(二)证明题：
1．如图所示，已知AD⊥CD于D，
AB⊥BC于B，且AD＝AB．E为
AC上一点，EF∥AD交CD于F，
B
G
EG∥AB交CB于G．
求证：EF＝EG．
【提示一】先证△ADC≌△ABC，
E
得∠DAC＝∠BAC，再证
A
△FEC≌△GEC，可得EF＝EG.
【提示二】利用角平分线的判定定理可知，CA
为∠BCD的平分线，
再证△FEC≌△GEC，可得EF＝EG.
C
F
D
练
习
(二)证明题：
2．如图，已知，AC＝DB，△PAC的面积与
△PBD的面积相等.
求证:OP平分∠AOB．
【提示】作PE⊥OC，PF⊥OB，
利用面积可知PE＝PF，从而得
OP平分∠AOB.
练
习
(二)证明题：
3．求证：三角形的三条角平分线交于一点.