Transcript 等腰三角形的性质

人教版义务教育课程八年级数学（上）
图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?
斜拉桥梁
埃及金字塔
体育观看台架
北京五塔寺
西安半坡博物馆
活动1：实践观察,认识三角形
(课本P49页)如图.把一张长方形纸片按图中的虚线对折,
并剪去阴影部分,再把它展 开,得△ABC,
B
A
D
C
探索:
AC和AB有什么关系?这个三角形有
什么特点?
相关概念：
定义：两条边相等的三
角形叫做等腰三角形。
边：等腰三角形中,相等
的两条边叫做腰，
另一条边叫做底边.
腰
腰
底
相关概念：
角：等腰三角形中,两腰
的夹角叫做顶角，腰和底
边的夹角叫做底角.
顶角
腰
腰
底角
底
认识等腰三角形
有两条边相等的三角形叫
做等腰三角形.
A
顶
角
腰
腰
底角
底角
B
底边
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另
一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰
和底边的夹角叫做底角.
C

讨论：除了剪纸的方法,还可以怎样作
(画)出一个等腰三角形?

在你作(画)出的等腰三角形中,指明它
的腰,底边,顶角的底角。
重合的线段
重合的角
AB＝AC
∠B ＝ ∠C.
BD＝CD
∠BAD ＝ ∠CAD
AD＝AD
A
∠ADB ＝ ∠ADC
B
大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外,
你还能发现它的其他性质吗?
D
C
你能发现等腰三角形有什么性质吗?
性质２：等腰三角形的顶
角的平分线，底边上的中
线，底边上的高互相重合。
（简称“三线合一” ）
性质1：等腰三角形的
两底角相等。（简写成
“等边对等角” ）
Ａ
B
C
等腰三角形的两底角相等
Ａ
用符号语言表示为：
在△ABC中，
∵ AC=AB（ 已知 ）
∴ ∠B=∠C （ 等边对等角）
B
C
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 。
A
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B=C
证明:
B
如何构造两个全等的三角形?
C
A
证明: 作顶角的平分线AD，
则有∠1＝∠2
12
在△ABD和△ACD中
AB＝AC
C
B
D
∠1＝∠2
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SAS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD＝CD
在△ABD和△ACD中
AB＝AC
C
B
D
BD＝CD
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SSS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
A
证明: 作△ABC 的高线AD
则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90º
在Rt△ABD和Rt△ACD中
AB＝AC
B
（公共边）
AD＝AD
D
C
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD （HL）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
性质2:等腰三角形的顶角的平分线，底边上的
中线，底边上的高互相重合（三线合一）
A
用符号语言表示为：
在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上
1、∵AD ⊥ BC
BD DC
B
∴∠ 1= ∠ 2，____=
。
2、∵AD是中线，
1
2。
∴ AD⊥ BC
，∠ =∠
3、∵AD是角平分线，
∴ AD
⊥ BC， BD
= DC
。
1
1 22
C
1D
性质3：等腰三角形是轴对称图形.对称轴是
底边上的中线(顶角平分线,底边上的高)所
在直线
证明性质２：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的
中线，底边上的高互相重合。（简称“三线合一” ）
已知：△ABC中，AB=AC,AD是△ABC 的中线
A
求证：AD是△ABC的高和角平分线
证明: ∵,AD是△ABC的中线
∴BD=CD
在△ BAD和△ CAD中
B
∵ AB=AC
D
∴ △ BAD ≌△ CAD( SSS )
BD=CD
∠BAD= CAD; ∠BDA= CDA
AD= AD
∴AD是△ABC是角平分线
又∵ ∠BDA+ CDA=180°
∴ AD是△ABC的高.
∴ ∠BDA=CDA=90°
C
例1.在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且
BD=BC=AD,求△ ABC各角的度数
A
解:AB=AC,BD=BC=AD,
∠ ABC= ∠ C= ∠ BDC
B
∠ A= ∠ ADD(等边对等角)
设A=x°,则
∠ BDC= ∠ A+ ∠ ABD=（2x）°
从而∠ ABC= ∠ C= ∠ BDC=（2x）°
于是在△ ABC中,有
∠ A+ ∠ ABC+ ∠ C=180°
x+2x+2x=180.
解得x=360
∴ ∠ A=360 ∠,ABC= ∠ C=720
D
C
反馈练习
练习1:
如图（1）在等腰△ABC中，
72°
72°
AB =AC, ∠A = 36°,则∠B =——∠C=—
A
B
图1
A
Ａ
C
B
图2
C
B
图3
1、如图（2）在等△ABC腰中，∠A = 50°, 则
65°
65°
∠B =——，∠C=——
2、如图（3）在等△ABC腰中，∠A = 120°则
30°
30°
∠B =——，∠C=——
C
反馈练习
练习2:
1、等腰三角形的一个角是40度，它的另外两个
角的度数是多少呢？
2、等腰三角形的一个角是100度，它的另外两
个角的度数是多少呢？
3、等腰三角形的底边长为7cm，一腰长
的中线把周长分为两部分，其差为3cm，
则等腰三角形的腰长为多少？
练习3:
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长
是
10 cm
；
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,
则它的周长是
10 cm 或 11 cm
；
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,
则它的周长是
19 cm
。
4、 △ ABC是等腰直角三角形（AB=AC，
∠ BAC=90°），AD是底边BC上的高，
写出∠ B， ∠ C， ∠ BAD， ∠ DAC的度数，
图中有哪些相等的线段？
A
B
D
C
5、在△ ABC中，AB=AD=DC，
∠BAD=26°，求∠ B和∠ C的度数
A
B
D
C
6、如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是
高，它们相交于点H，且AE=BE。
求证：AH=2BD
证明：∵AB=AC,AD是高,∴BC=2BD
又∵BE是高，∴∠ADC=∠BEC=∠AEH=90°
A
⌒
=∠2+∠C=90°
E
H
D
︸
1
B
在△AEH和△BEC中
∴∠1+∠C
∴ ∠1=∠2
C
∠AEH=∠BEC
AE=BE
∠1=∠2
∴△AEH≌△BEC(ASA)
∴AH=BC
∴AH=2BD
如图，已知△ABC中，AB=AC,F在AC上，在
BA的延长线上截取AE=AF,求证：ED⊥BC
E
A
F
B
D
C
这节课我们学习了什么?
等
腰
三
角
形
的
性
质
1、求有关等腰三角形的问题，作
等边对等角 顶角平分线、底边中线，底边的
高是常用的辅助线；
2、熟练掌握求解等腰三角形的顶
等腰三角形 角、底角的度数；
三线合一
3、掌握等腰三角形三线合一的
应用。