Transcript 导数运算与导数公式

第二节 导数运算与导数公式
Rules for Finding Derivatives and the
Derivative Formulas
一、函数的和、差、积、商的求导法则
Rule for Finding Derivatives of the Sum, Difference,
Product and Quotient of Two Functions
二、反函数的求导法则
Rule for Derivative of Inverse Functions
三、导数基本公式
the Derivative Formulas
返回
一、函数的和、差、积、商的求导法则
Rules for Finding Derivatives and the
Derivative Formulas
定理 如果函数u( x ), v ( x )在点 x处可导,则它
们的和、差、积、商(分母不为零)在点x处也
可导, 并且
(1) [u( x )  v ( x )]  u( x )  v ( x );
( 2) [u( x )  v ( x )]  u( x )v ( x )  u( x )v ( x );
u( x )
u( x )v ( x )  u( x )v ( x )
( 3) [
] 
(v ( x )  0).
2
v( x )
v ( x)
Theorem 1: If the function f=f(x) ang g=g(x) are
differentiable at x,then the sum,difference,
product and quotient (v(x)≠0) of the two
functions are differentiable at x ,and
(1) ( f  g )( x)  f ( x)  g  ( x)
(2) ( f  g )( x)  f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)

 f ( x) 
f ( x) g ( x)  g ( x) f ( x) ( g ( x)  0 )
(3) 
2
 g ( x)  
g
( x)


证(2)
[u ( x  x)v( x  x)]  u ( x)v( x)
x 0
x
u ( x  x)  u ( x)
v( x  x)  v( x)
 lim [
v( x  x)  u ( x)
]
x 0
x
x
[u ( x)v( x)]  lim
u ( x  x)  u ( x)
 lim
lim v( x  x)
x 0
x 0
x
v( x  x)  v( x)
 u ( x) lim
]
x 0
x
 u ( x)v( x)  u ( x)v( x)
于是法则(2)获得证明. 法则(2)可简单地表示为
(uv )  uv  uv
证(3)
u ( x  x) u ( x)

u ( x)
v( x  x) v( x)
[
]  lim
x 0
v( x)
x
u ( x  x)v( x)  u ( x)v( x  x)
 lim [
]
x 0
v( x  x)v( x)x
[u ( x  x)  u ( x)]v( x)  u ( x)[v( x  x)  v( x)]
 lim
x 0
v( x  x)v( x)x
u ( x  x)  u ( x)
v( x  x)  v( x)
v( x)  u ( x)
x
x
 lim
]
x 0
v( x  x)v( x)
u( x)v( x)  u ( x)v( x)

v 2 ( x)
于是法则(3)获得证明. 法则(3)可简单地表示为

 u  uv  uv 
.
  
2
v
v
在法则(2)中,当
v( x )  c
(C 为常数)时,有
(Cu )  Cu
例1（1）求 y  sec x 的导数 .
解
y  (se cx )  (
1
)
cos x
(1) cos x  1(cos x )

cos2 x
si n (x )

 sec x tan x
2
cos x
即
(sec x )  sec x tan x. 同理可得 (csc x )   csc x cot x .
返回
（2） 求 y  tan x 的导数 .
解
sin x
y  (tan x )  (
)
cos x
(sinx ) cos x  sin x(cos x )

cos2 x
cos2 x  sin2 x
1
2


se
c
x

2
2
cos x
cos x
即
(tan x )  sec2 x. 同理可得 (cot x )   csc2 x .
（3） 求 y  3 x 3  2 x 2  2 sin x  9 的导数 .
解
y  9 x 2  4 x  2 cos(x )
3
（4）f ( x)  x  4 cos x  sin
解

2
f ( x )  3 x 2  4 sin x

3 2

f ( )  4
2
4

, 求 f ( x ) 及 f ( )
2
x
（5）y  e (sinx  cos x), 求 y
解
y  (e x )(sinx  cos x )  e x (sinx  cos x )
 (e x )(sinx  cos x )  e x (cos x  sin x )
 2e x cos x
二、反函数的求导法则
Rule for Derivative of Inverse Functions
定理 如果函数 x  f ( y )在某区间I y内单调、可导
且f ( y )  0 , 那末它的反函数 y  f 1 ( x )在区间
I x  { x x  f ( y ), y  I y }内也可导 , 且有
dy
1
或

1
1
dx dx
[ f ( x )] 
,
f ( y )
dy
即
反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
Theorem 2: If the function x=f(y) is monotonic defferentiable
on the interval Ⅰ and f′( y)≠0,then its inverse
function x f 1( y ) is differentiable on the interval I
and dx  1 .
dy
dy
dx
证
任取x  I x , 给x以增量x (x  0, x  x  I x )
由y  f 1 ( x)的单调性可知y  0,
y
1

,  y  f 1 ( x )连续,
于是有
x x
y
 lim y  0,
x  0
1
1
y
[ f ( x )]  lim
 lim

.
x  0  x
y  0  x
f ( y )
y
1
例2(1) 求函数 y  arcsinx 的导数.
解
 x  sin y在 I y  ( 
 
, )内 单 调 、 可 导,
2 2
且 (siny )  cos y  0,  在 I x  (1,1)内有
1
1
1
1
(arcsin x )



.
2
2
(sin y ) cos y
1 x
1  sin y
同理可得
(arccos x )  
1
1 x
2
.
(2) (arctanx) 
1
1
1
1



.
2
2
2
(tan y) sec y 1  tan y 1  x
1
(arctan x ) 
;
2
1 x
( arccot x )  
1
.
2
1 x
(3)
求函数 y  loga x 的导数.
解
 x  a y在I y  (,)内单调、可导,
且 (a y )  a y lna  0, 在I x  (0,)内有,
(loga x ) 
1
1
1
 y

.
y
(a ) a lna x lna
特别地 (ln x ) 
1
.
x
返回
三、求导法则与导数基本公式
Rules for Finding Derivatives and
the Derivative Formulas
1.常数和基本初等函数的导数公式
the Derivative Formulas of the
Constant Function and the
Basic Elementary Functions
(C )  0
(sin x )  cos x
( x  )  x  1
(cos x )   sin x
(tan x )  sec x
(sec x )  sec x tan x
(cot x )   csc2 x
(csc x )   csc x cot x
2
(a x )  a x ln a
1
(loga x ) 
x ln a
1

(arcsin x ) 
1  x2
1

(arctan x ) 
1  x2
(e x )  e x
1
(ln x ) 
x
(arccos x )  
1
1  x2
1
( arccot x )  
1  x2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 u  u( x ), v  v ( x )都可导，则
（ 1 ） ( u  v )  u  v , （ 2 ） ( cu)  cu ( C是常数)
  
（ 3 ） ( uv )  uv  uv  , （ 4 ） ( u )  u v uv (v  0).
v
v2
3.反函数的求导法则
设函数 x  f ( y )在某区间 I y内单调、可导
且 f ( y )  0 , 那末它的反函数 y  f 1 ( x )在区间
I x  { x x  f ( y ), y  I y }内也可导 , 且有
[f
1
dy
1
1

( x )] 
, 或
dx dx
f ( y )
dy
例3 设
y  x sin x ex cos x
, 计算
y' ( x) .
y ( x)  ( x sin x e x cos x)
 x  sin x  x(sin x)  (e x ) cos x e x (cos x)
 sin x  x cos x e x cos x e x sin x.
2
y

(
a

x
)
例4 设
,计算 y ' ( x ) .
解：
2
2 

y  a  2ax  x = 2a  2 x  2(a  x) .


若 y  (a  x) 20 , 怎么办？
例5 f ( x)  5 sin x  3 tan x ，求f `(x)
x
解：
(5 sin x  3 t an x)  x  (5 sin x  3 t an x)  x
f ( x) 
x2
(5 cos x  3 sec2 x)  x  (5 sin x  3 t an x)

x2
例6
e x sin x
y
 x 2 ln x ，求f `(x).
1  tan x
(e x sin x)(1  tan x)  (e x sin x)(1  tan x)
1
2
2

y 

(
x
)
ln
x

x
(
)
2
(1  tan x)
ln x
(e x sin x  e x cos x)(1  tan x)  (e x sin x)(sec2 x)
2 1

 2 x ln x  x 
2
(1  tan x)
x
2e x sin x  e x cos x  e x sin x tan x  e x sin x sec2 x

 2 x ln x  x
2
(1  tan x)
e x (sin 2 x  1  sin x sec x)

 2 x ln x  x
1  sin 2 x