Transcript 光腔的损耗

上海大学电子信息科学与技术
激 光 原 理
第二章 开放式光腔与高斯光束
上海大学物理系
电子信息科学与技术教研室
上海大学电子信息科学与技术
内容
光腔
构成；分类；损耗；ABCD矩阵及应用；稳定条件
模式
数学解法；模式特性（场分布、谐振频率、等相位
面、衍射损耗等）
高斯光束
高斯光束特性及在实际中的应用
自由空间、透镜（球面反射镜）、平面介电界面、球
面镜谐振腔
§2.1 光腔理论的一般问题
一、概述
谐振腔的作用
无源谐振腔
理论依据
开放式光腔
开腔的分类
光腔的损耗
上海大学电子信息科学与技术
上海大学电子信息科学与技术
谐振腔的作用
提供轴向光波模的正反馈
控制腔内振荡光束的特性
直接控制光束的横向分布特性、光斑大小、谐振频率
及光束发散角等
上海大学电子信息科学与技术
无源谐振腔
不考虑腔内激活介质的影响
无源腔的模式可以作为具有激活物质腔（有源腔）的激光模
式的良好近似
激活介质的作用主要是补充腔内电磁场在振荡过程中的能量
损耗，使之满足阈值条件；激活介质对场的空间分布和振荡频
率的影响是次要的，不会使模式发生本质的变化
上海大学电子信息科学与技术
采用的理论
衍射光学理论——衍射明显, 模式的精细描述
不同模式按 场分布,损耗,谐振频率 来区分
几何光学理论——忽略反射镜边缘衍射效应，推导
腔的稳定性条件
不同模式按传输方向和谐振频率来区分，粗略、简单
明了
光学谐振腔 (Optical Cavity)
上海大学电子信息科学与技术
光腔的构成与分类
闭腔
折叠腔
开腔
忽略侧面边界的影响
l3

l2
气体波导腔
波导管
波导管的孔径比较小，不能忽略侧面边
界的影响
l1
环形腔
上海大学电子信息科学与技术
光腔的分类
按腔的几何逸出损耗的高低分类:稳定腔,非稳定腔,临界腔
稳定腔：旁轴（傍轴）光线在腔内多次往返而不逸出腔外，
具有较低的几何损耗
非稳腔：傍轴光线在腔内经过少数几次往返就逸出腔外，具
有较高的几何损耗
临界腔：性质介于稳定腔和非稳腔之间，只有少数特定光线
能在腔内往返传播
上海大学电子信息科学与技术
谐振腔可以按不同的方法分类：
 稳定腔、非稳定腔、临界腔
 球面腔与非球面腔
 高损腔与低损腔
 驻波腔与行波腔
 两镜腔与多镜腔
 简单腔与复合腔
 端面反馈腔与分布反馈腔
本章讨论：由两个球面镜构成的开放式光学谐振腔
上海大学电子信息科学与技术
二、光腔理论与模式 （概述）
1. 光腔理论 (激光模式理论)
－研究模式基本特征及其与腔结构关系
有限范围的电磁场
分立的本征态
腔内存在的场分布
激光模式
• 模式主要特征：
* 场分布，谐振频率，往返损耗，发散角
场分布
沿光轴方向（纵向）场分布E(z) － 纵模
垂直于光轴方向(横向)场分布E(x,y)－横模
谐振条件（干涉仪理论）
纵模
上海大学电子信息科学与技术
以F-P(法布里-珀罗干涉仪)腔中的轴线方向传播电磁场的模式
 
2
0 q
2 L'  q  2
(2-1-1)
q为整数
F-P腔中沿轴向传播的平面波的谐振条件
L q
'
L’为腔的光学长度， L为腔的几
何长度。在整个腔内充满折射率
为的均匀物质。
则：
L  L,   0 / 
'
光往返一周发生相长干涉的相移
0q
2
, q 
qc
2L'
0q为腔的谐振波长，q为腔的谐振频率。
谐振频率是分立的。
q
qc
L  q , q 
2
2L
q为物质中的谐振波长
式(2-1-1)又称为光腔的驻波条件
上海大学电子信息科学与技术
• 驻波场分布
E  2E0 sinkzsint
波节
L
满足q的平面驻波场是F-P平行腔的本征模式
L

特点：腔的横截面内的场分布是均匀的；沿腔的轴线方向（纵
向）形成驻波。驻波的波节数由q决定。

q所表征的腔内纵向场分布为腔的纵模。纵模q单值地决定腔的
谐振频率。
• 纵模间隔
c
c
 q   q1  q  ' 
2L 2L
q与q无关。 L减小，纵模间距增大
上海大学电子信息科学与技术
腔的纵模在频率尺度上等距离排列，每一个纵模均以具有一
定宽度c谱线表示。
上海大学电子信息科学与技术
三、光腔的损耗（losses in optical Cavity）
光腔的损耗是评价谐振腔的一个重要标志。
1. 几何偏折损耗：光线在腔内往返传播时，从腔的侧面偏折逸
出的损耗。其大小取决于腔的类型和几何尺寸。（与腔和腔
内的模式有关）
2.
衍射损耗：腔的反射镜片通常有有限大小的小孔，所以光在
镜面发生衍射时，有一部分能量损失。
3. 腔镜反射不完全引起的损耗：包括镜中的吸收、散射以及镜
的透射损耗。通常镜至少有一个反射镜是部分透射的，另一
个通常称“全反射”镜，其反射率不可能做到100%。
4. 固有损耗：激光材料的吸收、散射等引起的损耗。
1和2为选择损耗：不同模式的几何损耗和衍射损耗各不相同。3和
4为非选择损耗：对各个模式大体一样。
上海大学电子信息科学与技术
损耗的参数
(loss per pass, photon lifetimes, and quality factor Q)
1. 平均单程损耗因子
初始光强I0，在腔内往返一次后，光强衰减为I1，则
I  I 0e
2
  ln
1
2
I0
I
－指数损耗因子
如果I代表每一个引起损耗缘由的损耗因子，则总损耗
   i
i
为总损耗因子，为腔中各个损耗因子的总和。
上海大学电子信息科学与技术
例：由腔镜反射不完全引起的损耗
I0
腔内往返一周后，强度为
I1  I 0e
透射损耗
r2
r1
2 r
r1  1，r21
透过损耗 (T)
反射损耗
I1  I 0r1r2
1
 r   ln r1 r2
2
1
 r  1  r1   1  r2 
2
1
2
 T   ln r1 r2
上海大学电子信息科学与技术
损耗的另一种定义
用单程渡越时光强的平均衰减百分比定义单程损耗因子`
百分比损耗因子
1 I 0  I1
 
2 I0
• 指数损耗因子与百分比损耗因子
腔损耗很小时
 
I1  I 0 e
2
I 0  I1
I 0  I 0e 2
2  

 1  e 2  1  (1  2 )  2
I0
I0
上海大学电子信息科学与技术
2. 与腔损耗有关的参数 －光子寿命 R
光子(平均)寿命R－腔内光强衰减到初始值的1/e 所需时间
根据定义，如何计算光子平均寿命
 
Im  I0 e
I m  I 0e
2 m
2m
m
 I 0e 2m
m t
2 L c 
R称为腔的时间常数
2L
c
I m  I 0e
谐振腔光学长度
t  0时的光强为I0
t

1
2ct
2 L
R
 R  Lc
I t   I 0 e
t   R时，I t   I 0 e

t
R
上海大学电子信息科学与技术
上式表明R的物理意义——经过R时间后，腔内光腔衰减为初始
值的1/e。而且， 越大， R越小，则说明腔的损耗越大，腔内
光腔衰减的越快。
由于腔内存在损耗，光场不再为简谐振动，而是振幅随时间指数
衰减的阻尼振荡，其强度按频率的分布有一宽度
线宽
 c 
1
2 R
证明：R等于光子在腔内的平均寿命
设t时刻腔内的光子数密度为N
I t   Nhv

N  N 0e

t
R
光在谐振腔中传播速度
N 0为t  0时光子数密度
t   R时，N  N 0 e
由于损耗，腔内光子数密度随时间依指数衰减。
上海大学电子信息科学与技术
t-t+dt 时间内减少的光子数密度
dN N


dt  R
N  N 0e

t
R
 dN 

1
t
N0
1
  dN t  N 0
 R  Lc
N0
e
R

N0个光子的平均寿命


0


0
 N 0   R
e dt   R
t 
 R 
t
t
R
dt
x n e axdx 
n!
a n 1
－光子平均寿命取决于谐振腔的损耗
• 谐振腔损耗越小，腔内光子寿命越长
• 腔内有增益介质，使谐振腔净损耗减小，光子寿命变长
上海大学电子信息科学与技术
3、无源谐振腔的Q值
Q  2
定义
x  NhV
dN
P  hV
dt
N  N 0e
储存在腔内的总能量（x）
单位时间内损耗的能量（P）

t
R
L
Q  2
  R
c
腔内电磁场的振荡频率
Q R 
V表示腔内振荡光束的体积
• 谐振腔的损耗越小，Q值越高。表示光腔的储能
好，损耗小，腔内光子的寿命长。
1

腔镜倾斜时的几何损耗
上海大学电子信息科学与技术
设光在腔内往返m次后逸出腔外，则
腔
镜
倾
斜
时
的
损
耗
L  2  L  6    L  (2m  1)2  D
D为平面腔的横向尺寸（直径）。
求出m值，根据光在腔内往返一次所
需的时间可求出腔内光子的寿命及
相应的。
'
2L
t0 
c
2L'
   mt0 
c
m
D
2 L
D


2 L c
L'
 
c
2DL

平行平面镜腔的调整精度要求极高
 
L
2D
(2-1-27)
上海大学电子信息科学与技术
衍射损耗
（估计）
第一极小值出现位置：
L
  1.22

2a


2a
 0.61

a
假设：忽略第一暗环以外的光，
并且中央亮斑内光强均匀分布。
W1~到孔外能量，W0为孔内能量，则
射到孔径以外的光能与总光能比等于
该孔阑被中央亮斑所照亮的孔外面积
与总面积的比。
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-6
-4
-2
0

2

4
6
上海大学电子信息科学与技术
W1
S1
 a  L   a 2 2 L 1.22 1


 2  2  2
2
a
a
W1 W 0 S1  S0
a
 a  L 
L
L
2
（2-1-29）
衍射损耗不太大时，单程指数衍射损耗（ d ）与能量相对百
分数损耗（ d ，）近似相等，d=d，
 d   d'

1
a2
L
 1/ N
a2
N
L
N为腔Fresnel 系数，是衍射现象中的一个特征参数，表征衍射
损耗的大小。 N ， d  ，即损耗越小。
上海大学电子信息科学与技术
透过损耗 (T)
1
 T   ln r1r2
2
衍射损耗 (D)
1
D 
N
几何偏折 (n)
－光线从腔侧面偏折出去
a2
N
L
2a
L
工作物质质量 (I) － 气泡、杂质等引起吸收、散射
其它插入损耗(o) －腔内插入其它元件等
总的单程损耗
   T  I  D  n  o
上海大学电子信息科学与技术
总结
 增益(损耗)系数的定义及其与反转粒子数的关系
 光在增益&损耗并存介质中传输时的光强变化公式
 由光强引起的增益饱和的物理原因, 极值光强的概念
 谐振腔的损耗对激光器阈值振荡条件的影响
 谐振腔中的各类损耗、指数损耗及百分数损耗因子
 腔内光子寿命的定义及与损耗的关系
§2.2 共轴球面腔的稳定条件
上海大学电子信息科学与技术
一、射线（几何）光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）
1. 表示光线的参数

r － 光线离光轴的距离
r
 － 光线与光轴的夹角
傍轴光线 tg  sin  
>0
正,负号规定:
< 0
< 0
2. 自由空间区的光线矩阵
B
r0 ,0
r, 
A
L
A处：r0, 0
B处：r’,’
r   r0  L0
   0
上海大学电子信息科学与技术
自由空间
光线矩阵
 r0 
 r   A B  r0 
1 L
   
   TL    TL  

    C D  0 
0 1 
 0 
用  r  描述任一光线的坐标

 
TL描述光线在自由空间中行进距
离L时引起的坐标转换。
3. 空气与介质(折射率为n2)的界面
入射 r0 , 0
出射 r, 
n10  n2 
r  r0
n1
   0
n2
1 0 

TL  
 0 1 n2 
4.球面镜反射矩阵（薄透镜传输矩阵）
r  r
     
0
 1

TR    2
1
 R 
 r   A B  r 
   
 
   C D  
2
r
R
r, 
r, 
r , 
r , 
l
R
l 
f
R为球面镜的曲率半径
r  r
   r l 
    r l 
上海大学电子信息科学与技术
r  r
1
    r   
1 1
1

f
      r    r
f
 l  l  
 1 0

Tf    1
 f 1


R
f
2
焦距为f=2/R的薄透镜与球面反射镜等效
5.ABCD矩阵的应用－球面镜腔的往返矩阵
上海大学电子信息科学与技术
球面镜腔中往返一周的光线矩阵（简称往返矩阵）
 r0 
 r4 

 
  TR1 TLTR2 TL 
 

 4
 0
 r0   A B  r0 
 T
C D

 

 

 0 
 0 
 A B   1
T  
   2
 C D  
R1
0  1 0  1

 2

1  0 L  
R2


0  1 0 

1  0 L 

2L
A  1
R2

L
B  2 L1
R2




2
2 
2 L 
1

C   
R1 
 R1 R2 
 2L 
2 L 
2 L 
1

D  
 1
R1 
R2 
 R1 
往返n次的光线矩阵
上海大学电子信息科学与技术
r
 rn 
 An
 r1 
n 1 

 
 T 
 

 
  T      T 

 1
 1   Cn
 n
1  A sin n  sin n  1

T 
C sin n
sin  
n
其中
1
  arccos  A D 
2
Bn  r1 





Dn 1 

B sin n


D sin n  sin n  1 
rn  An r1  Bn1
 n  Cn r1  Dn1
• 光线在谐振腔中的传输可等效为在透镜波导中的传输。
• 往返矩阵与初始坐标、出发位置及往返顺序无关。
• 谐振腔往返矩阵的建立方法：
等效透镜波导；确定一个周期；写出各部分光线矩阵的乘
积。
上海大学电子信息科学与技术
球面镜腔可以等效为周期透镜波导
L
L
R1
R2
R1
复杂腔的等效周期透镜波导及往返矩阵
l3

l2
l1
l2
l3
l1
l2
l3
l1
0
0  1 l2  1
0  1 l3  1
 1 l1  1







 0 1   1 f1 1  0 1   1 f 2 1  0 1   1 f 3 1 
二、共轴球面镜腔的稳定条件
上海大学电子信息科学与技术
Q：在什么条件下，傍轴光线能在腔内往返任意多次而不横向逸
出腔外？——稳定腔
几何光学光线矩阵分析腔中几何偏折损耗，判断稳定与否
1  A sin n  sin n  1

T 
C sin n
sin  
n
B sin n


D sin n  sin n  1 
  arccos  A D 
1
2
An, Bn, Cn, Dn 矩阵元有界，说明光线经过n次不逸出腔外，关键因
子 应为实数，且不等于k
共轴球面镜腔的稳定判据
1
A D <1
2
上海大学电子信息科学与技术
 共轴球面镜腔
两反射镜为球面镜, 有共同光轴
凹面镜 R > 0; 凸面镜 R < 0; 平面镜 R＝∞
 稳定条件: 几何偏折损耗
稳定腔 任何傍轴光线可以在腔内往返无限多次不会
逸出腔外 几何偏折损耗小 (低损耗腔)
非稳定腔 傍轴光线有限次反射后便逸出腔外 
几何偏折损耗大(高损耗腔)
讨论：
(1)
上海大学电子信息科学与技术
1
A  D  < 1   实数， An, Bn, Cn, Dn 有界  稳定腔
2
且随n的增大发生周期性的变化
(2)
1
A  D  > 1   复数， nAn, Bn, Cn, Dn 非稳定腔
2
随n的增大按指数增大
(3)
1
A  D   1
2
K为奇数
K为偶数
k为奇数 (-1)
1
 A  D   1   k
2
1
 A  D  1
2
T   1
1
 A  D  1
2
T 1
n 1
n
n
Bn
 An  n  1



Cn
Dn  n  1

n 1  An 


k为偶数 (+1)
n 1
Cn
Bn


Dn  n  1
• 临界腔的典型例子
上海大学电子信息科学与技术
1. 平行平面镜腔 ( R =  )
rn  r1  2 Ln1
 1 2 Ln 
n

T  
0 1 
 n  1
 1 0 

T  
 0  1
n
3. 共心腔

M2
R1+R2=L
rn 
非稳腔
rn  r1 稳定腔
非对称共焦腔？ R1+R2=2L
2. 对称共焦腔 R1=R2=L
M1
1  0
1  0
R1
往返两次自行闭合
稳定腔
R2
临界腔
M1
M2
1
 A  D  < 1 稳定腔；1  A  D  > 1 非稳腔； 1  A  D   1 临界腔
2
2
2
适用任何形式的腔,只需列出往返矩阵就能判断其稳定性
稳定判据另一表达式
2L
 A  1
R2
上海大学电子信息科学与技术
 2L 
2 L 
2 L 
1 

D  
 1 
R1 
R2 
 R1 
g1  1 L
2
1
2L 2L 2L
A  D  1   
2
R1 R2 R1R2
1 <
1
A  D < 1
2

L 
L
0 < 1  1   < 1
 R1  R2 
0 < g1 g2 < 1 或g1  0, g2  0
g1 g2 > 1, g1 g2 < 0
g1 g2  0，g1g2  1
g 2  1 L
R1
R2
0 < g1g2 < 1
稳定腔；
非稳腔； • 只适用于简单的共轴球
面镜腔(直腔)
临界腔
要求掌握：给定R1,R2， 根据稳定条件，确定使谐振腔
处于稳定的腔长允许值范围
上海大学电子信息科学与技术
平行平面腔
沿轴线方向行进的光线能往返无限次而不逸出腔外，且往返一次
即实现简并。但所有非轴线方向行进的光线在经有限次往返后，
必然逸出腔外。
对称共焦腔
任意傍轴光线均可在腔内往返无限多次而不致横向逸出，而且经
两次往返即可自行闭合。
共心腔
通过公共中心的光线能在腔内往返无限多次，而所有不通过公共
中心的光线在腔内往返有限次后必然横向逸出腔外。
上海大学电子信息科学与技术
大多数临界腔，其性质介于稳定腔和非稳腔之间。
平行平面腔和共心腔这一类腔称为介稳腔；对称共
焦腔（本属于临界腔g1=g2=0），其中任意傍轴光线
均可在腔内往返无限多次而不致横向逸出，而且经
两次往返即可自行闭合。在这种意义上，共焦腔属
于稳定腔。
整个稳定球面腔的模式理论可建立在共焦腔振荡模
理论的基础上。
§2.3 开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法
上海大学电子信息科学与技术
Q：在没有侧面边界的区域中，是否存在着电磁场的本征值，即不
随时间变化的稳定场分布，若存在，如何求场分布？
一、衍射理论的基本出发点与自再现概念
激光介质对光的放大和损耗；镜面对光的衍射作用（损耗）
考虑理想情况，损耗主要由衍射作用贡献，介质没有放大作用，则光在两镜之
间传输会因衍射作用而越来越弱。可以期预，经过有限次往返后，光场的分布
不再受衍射的影响。在腔内往返一次后能“再现”出发时的场分布。此稳态场
经一次往返后，唯一可能变化的是镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各
点的相位发生同样大小的滞后。
定义开腔镜面上经过一次往返能再现稳态场分布---自再现模或横模。自再现
模一次往返的能量损耗称为模的往返损耗；一次往返所经历的相移称为往返相
移，为k2——模的谐振条件。
二、孔阑传输线
上海大学电子信息科学与技术
模拟开腔中自再现模的形成过程
横模产生的物理原因
条件
一系列通轴孔径
开腔模式形成的定性解释
孔径开在平行无限大的吸收屏上
光从一个孔径传播到另一个孔径等效于
相邻孔径距离等于腔长L
光在开腔中从一个反射镜面到另一个镜
孔径大小等于镜的大小
所有孔径的大小和形状都相同
面。在通过每一个孔阑时光将发生衍射，
射到孔的范围以外的光将被屏吸收（对
应于损耗）
上海大学电子信息科学与技术
过程：一均匀平面波垂直入射到第一个孔阑时，波的强度均
匀分布在孔面上。通过孔阑时光将发生衍射，射到孔的范围
之外的光将被屏吸收（对应损耗）。由于衍射发生在镜的边
缘附近，当波到第二个孔时，边缘部分的强度比中心小，且
已不是等相位面。通过等二个孔时波束又将发生衍射，
每经一个孔，波的振幅和相位分布发生一次变化，但是波束
受到衍射的影响越来越小。当通过足够多的孔阑后，镜面上
场的振幅和相位分布不再发生变化。——自再现模
上海大学电子信息科学与技术
不是任何形态的电磁场都能在开腔中长期存在，只有不受
衍射影响的场分布才能最终稳定下来。
自在现模的形成与初始入射波的形状无关，任何初始入射
波也能形成自在现模。
自在现模的形成过程可理解光的相干性。如果在第一孔面
上的光是非相干的，由于衍射，第二个孔面上任一点的波应
该看作是第一个孔面上个所有各点发出的子波的叠加（惠更
斯-菲涅耳原理），即在第二个孔面上各点波的相位有关联
，经过足够多的衍射后，光束横截面上各点的相位关联越密
，空间相干性越强。在开腔中，从非相干的自发辐射发展成
空间相干性极好的激光，正是由于衍射的作用
上海大学电子信息科学与技术
三、惠更斯--菲涅尔衍射原理及基尔霍夫衍射积分
Fresnel-Kirchoft衍射积分：若知光波场在其所到任意空间曲面上
的振幅和相位分布，可求出该光场在其他任意处的振幅和相位
分布。
ｋ为波矢的模；ρ为源点
u(x’ ,y’ )与观察点u(x,y) 之
间连线的长度；θ 为Ｓ面上
点(x’ ,y’ )处法线ｎ 与上述
连线的夹角；ｄｓ′为Ｓ 面
上点(x’ ,y’ )处的面积元，积
分沿整个Ｓ 面进行。
ik
eik
1  cosds
u  x, y  
ux, y

4 s

S曲面上光场分布函数
各子波源发
出的球面波
倾斜因子
上海大学电子信息科学与技术
四、 自再现模概念

P’
M2
M1
U1(x1, y1)
P(x,y)

u j x, y
u j 1 x, y
U2(x2, y2)
往返次数足够多时,除表示
振幅衰减和相移的常数因
子外, Uj+1能再现Uj
Uj(xj, yj)
• 自再现条件
U3(x3,y3)
Uj+1(xj+1, yj+1)
场分布不变－再现
U j1  x, y   U j  x, y 
1

上海大学电子信息科学与技术
•衍射积分公式
光腔中的衍射场
自洽积分方程
•自再现概念
L
光腔中的衍射场自洽积分方程
ik
u2 x, y  
4
u j 1
e  ik
 u x, y  1 cos ds
ik
e 
x, y   
1  cos ds
u x, y

4

……..
1
s
 ik
j 1
s
……..
• 自再现模
ik
eik
1  cosds
积分方程 V x, y     V x, y
4

开腔中不受衍射影响的稳态场分布函数
上海大学电子信息科学与技术
•自再现模积分方程
(自洽积分方程）
1 cos  e ik ds
ik




V  x, y   
V
x
,
y
4 

 L >> x, y
  L, cos  1  1  cos   2 L
i
ik  x , y , x, y  




V  x, y   
V
x
,
y
e
ds

L
V  x, y     K  x, y , x, y V  x, y ds
i
其中 K  x, y , x , y  
e ik  x , y ,x, y 
L
－积分方程的核
• 适用任何对称光腔（平行平面，共焦，一般球面镜腔）
• 求出V(x,y)
开腔振荡模的场分布
求解积分方程
五、自再现模积分方程的解法
上海大学电子信息科学与技术
1. 解析解： －对称共焦腔才能得到解析解
精确解
近似
方形镜共焦腔
长椭球函数
厄米～高斯函数
圆形镜共焦腔
超椭球函数
拉盖尔～高斯函数
其它稳定球面镜腔可通过“等价”对称共焦腔求得
2. 数值解 (数值迭代法)
振幅
...
2a
2a
2a
2a
相位
…...
上海大学电子信息科学与技术
例：平行平面腔模的迭代解法
平行平面腔的优点：光束方向性好（发散角小
）、模体积大、比较容易获得单横模
缺点：调整精度要求极高，与稳定腔比较，损
耗也比较大
平行平面腔振荡模所满足的自再现积分方程至
今尚得不到精确的解析解
上海大学电子信息科学与技术
利用迭代公式，直接进行数值计算。u j 1   Ku j ds '
S
首先，假定在某镜面上存在一个初始场分布u1，将其代入上式
，计算u2，u3, u4等。反复运算足够多次后，判断能否满足下式
u j 1 
u j2 
1

1

uj,
u j 1...
如果直接数值计算得到了这种稳定的场分布，则可认为找到了
腔的一个自在现模或横模。
上海大学电子信息科学与技术
以对称条形腔为例，看看平行平面腔自再现模的形成过程。
2a
2a
2a
2a
振幅
相位
求解问题：初始入射波函数u1如何选择？
u11，即认为整个镜面为等相位面，镜面上各点
波的振幅均为1。
将u1代入迭代得到u2，然后使u2=1，将其在代
入方程求得u3….
上海大学电子信息科学与技术
根据初始分布，经第一次及第300次渡越后得到的振幅和相位分布。
300次渡越后形成自再
现模。此稳态场的分布
特点：镜面中心处振幅
最大，从中心到边缘振
幅慢慢降低，整个镜面
上的场分布具有偶对称
性。
——此特征的横模为腔
的最低阶偶对称模或基
模。（TEM00）
上海大学电子信息科学与技术
六、自再现模积分方程的解的物理意义
i
ik  x , y ,x , y 


V x , y   
V x , y e
ds

L
本征函数
本征值
1. 本征函数形式
Vmn x , y   Amn x , y eimn  x ,y 
Vmn x , y  －镜面上场分布函数 (本征函数
横模)
Amn x , y  －镜面上振幅分布
 mn x , y  －镜面上场的相位分布
一般球面镜腔得不到解析解，唯有对称共焦腔有精确解
上海大学电子信息科学与技术
2. 本征值  － 复常数
 mn   mn ei
mn
u j 1 
 i
设  e
2
d 
umnj  umnj 1
umnj
2
－传输因子
1

2
 与 d有关
u j 1  e  u j e i
uj
单程模振幅的衰减
 1 e
 2
 1
相移
1
 mn
2
d －光场在腔中渡越一次的相对功率损耗－单程损耗
mn－量度自再现模的单程损耗, 不同横模有不同的d。
mn    模的单程损耗
上海大学电子信息科学与技术
3. 单程相移  mn－自再现模在腔内渡越一次的总相移
 i
  e
 mn  arg u j 1  arg u j
 mn     arg
1
u j 1 
1

uj
几何相移

 mn     kL    
2L
附加相移
 

自再现模在往返过程中形成稳定振荡场的条件：光在腔内一次
往返的总相移=2的整数倍，即
根据谐振条件  mn  q 当mn得知, 可求得模的谐振频率
  arg
1

 q
开腔自再现模的谐振条件
上海大学电子信息科学与技术
复常数 的模——量度自在现模的单程损耗，


它的辐角——量度自在现模的单程相移，
从而可以决定模的谐振频率。
对于非对称开腔，应按照场在腔内往返一次写出模式再现条
件及相应的积分方程。其中的复常数的模量度自在现模在
腔内往返一次的功率损耗， 的辐角量度自在现模的往返相
移，从而决定模的谐振频率。
§2.5 方形镜对称共焦腔的自再现模
Y
Y
x
+a
L >> a >> 
R1
2a
-a
上海大学电子信息科学与技术
+a X
0
R2
a2
 L
<<  
L
a
2
-a
f
L
i
ik  x ,y ,x ,y 






V
x
,
y


V
x
,
y
e
ds
• 分离变量法

L
a
V  x    x  K x  x, xV  xdx
a
V  x, y   V  x V  y 
a
V  y    y  K y  y, yV  ydy
a
i ik  x ,y ,x,y
K x , y , x, y  e
？ K x , y , x, y  K x , xK  y , y
L
 x, y, x, y ？
 x x, x y  y, y
上海大学电子信息科学与技术
(a)以矩形平面腔镜为例
镜的变长2a  2b，腔长L，L>>a, b>> 
上海大学电子信息科学与技术
考虑、a和L间数量关系，将上节方程式的K展开，并舍去高阶项，从而可进
一步简化方程。
2

x  x`2   y  y`2  L2
2
 x  x`   y  y ` 
 L 1 
 

 L   L 
当满足条件:
近似有
2
a2
L
N
<<  
L
a
2
1  x  x` 
1  y  y` 
  L1  
  
 
2 L 
2 L 
幂级数展开
4
4
1  x  x`  1  y  y ` 

  
 
8 L  8 L 
2
2
1  x  x`   y  y ` 

 
  
4 L   L 
2
b2
L
N
<<  
L
b
 1  x  x'2 1 ( y  y ') 2 
ik  L


2
L
2
L 

ik
e
e
2
  x  x'2 ( y  y ') 2 
ik 


2
L
2 L 

ikL
e e
上海大学电子信息科学与技术
a
 i  ikL
v( x, y )   
e

L


a
b
 
可分离变量，令
v( x' ,
  x  x ' 2 ( y  y ') 2 
ik 


2 L 
 2 L
y ' )e
dx' dy'
b
v( x, y)  v( x)v( y)
将求解一个二元函数积分方程转
a
可以得到 v( x)   x

K x ( x, x' )v( x' )dx'
a
b
v( y )   y

（2-3-20） K x ( x, x ' ) 
K y ( y, y ' ) 
化成求解两个单元函数的积分方
程。且两个方程的形状完全一样。
K y ( y, y ' )v( y ' )dy'
b
 x y  
（2-3-18）
i
L
i
L
( x  x ') 2
ik
ikL
2L
e
e
( y  y ') 2
ik
ikL
2L
e
e
理解：v(x)代表在x方向宽度为2a
而沿y方向无限延伸的条状腔的自
再现模。 v(y)代表在y方向宽度
为2b而沿x方向无限延伸的条状腔
的自再现模。
上海大学电子信息科学与技术
满足v(x)和v(y)函数可能不止一个。我们可以vm(x)和vn(y)分别
表示它的第m个和第n个解, m，n表示相应的复常数，则：
a
vm ( x)   m

K x ( x, x' )vm ( x' )dx'

K y ( y, y ' )vn ( y ' )dy'
a
b
vn ( y )   n
b
整个镜面上的自再现模场分布函数为：
vmn ( x , y )  vm ( x )vn ( y )
相应的复常数为：
 mn   m n
（2-3-21）
上海大学电子信息科学与技术
上面的式子在数学上称为积分本征值问题。m，n是方程的本征
值。vm(x),vn(y)是与本征值相对应的本征函数。它们决定着开
腔自再现模的全部特性。包括场分布（振幅和相位）和传输特性
（如模的衰减、相移、谐振频率等）。
（b）一般球面镜腔中模式的分离变量方法:
 ( x, y, x' , y' )  P1P2  P1 ' P2 ' P1 ' P1  P2 ' P2
P’2
P2(x’,y’)
P’1
1
2
2
(
x

x
'
)
(
y

y
'
)
a P 'P '  L

1 2
2L
2L
x2  y2
P1 ' P1  1 
2 R1
P1(x,y)
L
反射镜曲率半径，R1和R2，腔长L
2
x' 2  y ' 2
P2 P2 '   2 
2 R2
上海大学电子信息科学与技术
( x  x ' ) 2 ( y  y ' ) 2 x 2  y 2 x '2  y '2
 ( x, y , x ' , y ' )  L 



2L
2L
2 R1
2 R2
1
 L  [ g1 ( x 2  y 2 )  g 2 ( x'2  y '2 )  2( xx ' yy ' )]
2L
L
L
g1  1  ,
g2  1 
R1
R2
对称方形共焦腔，满足 R1=R2=R=L g1=g2=0
1


 x , y , x , y   L  xx  yy 
L
幂级数展开
V  x, y   
i
ik  x , y , x, y  




V x,y e
ds

L s
上海大学电子信息科学与技术
 i

vmn ( x, y)   mn  e ikL  
 L
a
a
分离变量V mn=Fm(X)Gn(Y)
a

vmn ( x`, y`)e
ik
xx'  yy '
L
dx' dy '
本征值
a
X
c
x,
a
Y
c
y
a
c  2N
 mn 
1
 m n
 c
ie  ikL  c
iXX 
iYY 







 m n Fm  X Gn Y  
F
X
e
d
X
G
Y
e
dY 
m
n



c

c
2
Y方向和X方向无限长的窄带镜共焦腔的自洽积分方程
ieikL  c
iXX 



 m Fm  X  
F
X
e
dX 
m


c
2
 nGn Y  
ie ikL
2

 c
 c
Gn Y eiYY  dY 
(2.5.6)
上海大学电子信息科学与技术
ieikL  c
iXX 



 m Fm  X  
F
X
e
dX 
m


c
2
 nGn Y  
 ikL
ie
2

 c
 c
Gn Y eiYY  dY 
• 精确解： 采用类比法
长椭球函数系
2i R0 m c,1S0 m c, T  
m
1
径向长椭球函数
(2.5.6)
1

1
1
eicTT ' S0 m c, T 'dT '
（2.5.11)
角向长椭球函数
m，n=0,1,2,3,…
 X 
 Y 
Vmn x , y   Fm  X Gn Y   S0m  c ,
 S0n  c ,

c
c


 X 
 x
Fm  X   S0m  c,   S0m  c, 
c
 a

 Y 
 y
Gn Y   S0n  c,   S0n  c, 
c
 a

上海大学电子信息科学与技术
• 本征函数－角向长椭球函数 镜面上场的振幅、相位分布
 X 
 Y 
Vmn x , y   Fm  X Gn Y   S0m  c ,
 S0n  c ,

c
c


 X 
 x
Fm  X   S0m  c,
  S0m  c, 
c
 a

 Y 
 y
Gn Y   S0n  c,
  S0n  c, 
c
 a

• 本征值－径向长椭球函数 决定模的相移和损耗
 ie
 2
 m Fm  X   
ikL
12






c
c
2i R0 m c,1S0 m c, t  
m
1
径向长椭球函数
1
Fm  X eiXX dX 
1 ictt 
1 e
角向长椭球函数
S0 m c, t dt 
(2-5-11)
上海大学电子信息科学与技术
• 本征值－径向长椭球函数 决定模的相移和损耗
 m n  m nieikL
m 
n 
 mn 
2c

2c

1
 m n
i m R01m c ,1
i R0 n c ,1
n
1
 m n  4 Ne
 m  2i
 n  2i
m
n
 ie
c R0 m c ,1
 2
1
 ie
c R0 n c ,1
 2


i  kL m  n 1 
2

R0(1m) ( c,1), R0(1n) ( c,1) 均为实函数
ikL
1
ikL
12



12



R0(1m) (c,1) R0(1n) (c,1)
上海大学电子信息科学与技术
二、厄米～高斯函数 － 近似解
近似解 － 长椭球函数的特殊情况
近似条件：
模场分布集中在镜面中心附近
x , y << a 菲涅尔数较大
 c
C=2 N >> 1
c 
 ie
 m Fm  X   
 2
ikL
12



Fm  X e
c
 c

d 2 Fm  X 
2



X
Fm  X   0
2
dX


iXX 
dX 

 ......
线性谐振子的薛定锷方程
参见激光物理学邹英华 孙陶亨编写
X ，Fm(X)  0时，此方程解为厄米－高斯函数
上海大学电子信息科学与技术
近似解：角向长椭球函数
厄米多项式和高斯函数乘积
X 

Fm  X   S0 m  c,
  Cm H m  X e
c

Y 

Gn Y   S0 n  c,
  Cn H n Y e
c


X2
2
Y2

2
X ,Y  x, y（镜面上直角坐标）
本征函数
 c 
 c   2 ca 2 x 2  y 2 



Vmn  x , y   Cmn H m 
 a x  H n  a y e





 Cmn H m 


Cmn －常系数

2 
x
Hn 


L 

2 
y
e

L 

x2  y2
 L  
用近似解来讨论共焦腔镜面上的场分布特性
上海大学电子信息科学与技术
Cm Cn 为常系数，Hm为m阶厄密多项式
H m  X    1 e X
m
2
dm
dX m
e X
m  0,1,2,
2
m
2
 

 1k m!
2 X m2k

k!m  2k !
k 0
H 0 X   1
H1  X   2 X
如果c=2N>>1不满足，在镜
面中心附近，厄米特-高斯函
数仍然能正确描述共焦腔模
的振幅和相位分布。
H 2 X   4 X 2  2
H 3  X   8 X 3  12X
H 4  X   16X 4  48X 2  12

上海大学电子信息科学与技术
1. 镜面上场的振幅分布
• 基模: TEM00
Vmn
E
2W0s
m=0, n=0
 c 
 c   2 ca 2 x 2  y 2 
 Cmn H m 
x  H n 
y e
 a 
 a

H0 x   H0  y   1
1/e
x
V00  C00 e
x2  y2

L 
基模在镜面上分布为高斯型
 C00 e
 r 2 w02 s
光斑尺寸定义(1)：振幅中心处的 1/e
(半径)W0s
或光强中心处的 1/e2
光斑尺寸定义(2)W’0s ：半功率点处
上海大学电子信息科学与技术
镜面光斑大小 w0 s 
L

w0' s 
ln 2
L

 0.5889w0 s
2

• 场振幅为高斯分布，在腔轴上光强最强； 离腔轴距离
r
增大，光强将减弱
• 镜面上基模光斑尺寸只与腔长有关，与反射镜大小无
关
•
w0 s < w0s
 2  
Vmn  x, y   Cmn H m 
x  H n 
 L  
2
L

y e

 2   2 
 Cmn H m 
x  H n 
y e
 w0 s   w0 s 

x2  y2

 L  
x2  y2
w02 s
上海大学电子信息科学与技术
• 高阶横模的场振幅分布
（m,n 不同时为 0）
 2 
 2 
H n 
e
Vmn  x, y   Cmn H m 
x
y
w

w

0
s
0
s




 H 0  X   1,
H1  X   2 X ,
V10 x, y   C10' xe

x2  y2

w02 s
x2  y2

w02 s
H 2 X   4 X 2  2
'
V01 x, y   C01
ye

'
V20 x, y   C20
4 x 2  w02s e
x2  y2

w02 s
x2  y2

w02 s
x2  y2

w02 s
V11 x, y   C11' xye
...
…...
厄米多项式的零点决定场的节线
上海大学电子信息科学与技术
上海大学电子信息科学与技术
强度花样
TEM21
TEM22
x, y 轴对称 TEMmn
m——x向暗区数
n——y向暗区数
上海大学电子信息科学与技术
• 高阶模的场分布较基模复杂，有节线，光斑尺寸扩展
• 高阶横模的光斑尺寸
根据国际标准化组织(ISO) 光斑半径的平方定义为光场
分布均方差值的四倍
4   Fm  X  x  x  Fm  X dX

2
wms

2
wns

2
2




F
X
dX
 m

2
4   Gn Y  y  y  Gn Y dY

2




G
Y
dY
 n
2
wms
 2m  1w02s
wns2  2n  1w02s

wms
 2m  1,
w0 s
(2.5.26)
wns
 2n  1
w0 s
(2.5.28)
上海大学电子信息科学与技术
2. 镜面上光场的相位分布
 X   Y 
Vmn x , y   Fm  X Gn Y   S0m  c,
S0n  c,

c 
c

Vmn ( x, y ) 辐角
决定镜面上场的相位分布
长椭球函数为实函数，表明镜面上各点场的相位值相等
 等相位面与共焦腔镜面重合
？
3.单程损耗(mn)－ 由腔的菲涅尔数(N)确定
• 本征值  mn－决定模的相移和损耗
ikL





ie
m n
m n
2
1
2
2
 mn  1 
 1   m n  1   m  n
 mn
m  2c  i m R01m c,1
径向长椭球函数
n  2c  i n R01n c,1
mn 与腔的几何尺寸无关，只由菲涅耳数决定
(图2.5.5)
* 思考 讨论衍射损耗mn 必须回到精确解. 为什么？
上海大学电子信息科学与技术
• 不同腔
共焦腔衍射损耗
< 平行平面镜腔衍射损耗
• 同种腔
N  D 
00 =10.9×10－4.94N
m, n  D 
01 > 00 选横模的物理基础
上海大学电子信息科学与技术
原因：在共焦腔中，除了衍射引起光束发散外，还有腔镜（凹面镜）对光束
的汇聚作用。两种因素一起决定腔的损耗。
（1）共焦腔和稳定球面腔，傍轴光线的几何偏折损耗为零。
（2）只要N不太小，共焦腔的模集中在镜面中心附近，衍射损耗极低。
（3）平行平面腔所有与轴线成非零夹角传播的光会出现几何偏折损耗
（4）平面腔模展开在整个镜面上。所以在N相同的情况下，同一模式在镜边
缘处的振幅远比共焦腔模的振幅大。
两种情况决定了平面腔的损耗比共焦腔高很多。
共焦腔中各个模式的损耗与腔的具体几何尺寸无关，单值地由菲涅耳数确定。
所有损耗都将随N的增加而迅速下降。
在同一N，不同横模的衍射损耗各不相同，损耗随模的阶数的增高而迅速增
加。表明：在共焦腔中可利用衍射损耗的差别来进行横模选择。
4. 模谐振频率  mnq
 m n  4 Ne
上海大学电子信息科学与技术


i  kL m  n 1 
2

实函数
R0(1m) (c,1) R0(1n) (c,1)
单程相移
 mn  kL  m  n  1
谐振条件
2 mn  q  2
 谐振频率
 mnq

2
 kL   mn
c 
1


q  m  n  1

2 L 
2

  00 q
 q 
c
c

2 L 2L
 同一横模的相邻纵模的频率间隔
 同一纵模的相邻横模的频率间隔
可以得到什么结论？
c

q
2 L
1
c
1
 n 
  q ,  m   q
4L 2
2
上海大学电子信息科学与技术
 mnq 2
 mnq 1
 mnq
 mnq 1
 mnq 2
 mnq 3
 m1nq2  m1nq1  m1nq  m1nq1  m1n q2
 mn1q2  mn1q1  mn1q  mn1q1  mn1q2
图 2.5.6 共焦腔的振荡频谱
(m+1)nq ＝ m(n+1)q ; (m+1)nq+1 ＝m(n+1)q+1…...

模简并－ 有相同频率的不同模式，

模简并是共焦腔的一个特点

频率简并的模，其单程损耗并不相同
2q  m  n
课堂练习：
上海大学电子信息科学与技术
画出图1所示谐振腔的等效透镜光
F
R
R
路，并写出往返矩阵
试问：这种腔是否能用
L/2
L/2
4L/5
2L/5
L
L
L
0 < (1 )(1 ) <1 判断腔的稳定性。
R1
R2
画出图2所示谐振腔一个周期的等
效光路,并写出往返矩阵