Transcript 三：高斯光束

激光原理
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1
方形球面镜共焦腔的行波场
知道了腔镜面上的场分布之后，利用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分可以求
出共焦腔内或腔外任意一点的场分布，在镜面上的场能用厄米—高斯函
数描述的条件下：
共焦腔场的解析式：
坐标原点选在腔轴线的中心
 2   2
w0
Emn x, y, z   Amn E0
Hm 
x H n 
w( z )
 w( z )   w( z )
L
 x2  y 2 

 exp ix, y, z 
y  exp 
 w2 ( z ) 



：共焦腔的腔长
f  L / 2 ：镜的焦距
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2
方形球面镜共焦腔的行波场
w z  


w
L
z
z
2
1     0s 1     w 0 1   
2
2
f 
f 
2
2

r2
k
 )
)(
1

n

m
(

]

 x, y, z   [kf (1   ) 
2
1   2 2f
2z z
z



(L / 2) L f
 0  L / 2
r 2  x 2  y2
  arctan
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1
1 
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方形镜共焦腔的行波场
TEMmn模在腔内或腔外任意点(x,y,z) 处的电场强度：
 2   2
w0
Emn x, y, z   Amn E0
Hm 
x H n 
w( z )
w
(
z
)

  w( z )
w
w( z ) ：振幅衰减因子
 x2  y 2 

 exp ix, y, z 
y  exp 
2
 w ( z) 



0
1
2
 2
H 
 w( z )
m

x H

n
 2

 w( z )


r 

y  exp 

w
(
z
)



2
2
：行波场横向振幅分布因子
3 exp  ix, y, z  ：位相因子，决定了共焦腔的位相分布
位相弯曲因子
传播因子
x, y, z   [kf (1   ) 
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k
r


]

(
m

n

1
)(
 )
2
1 2 f
2
2
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附加相移因子
4
振幅分布和光斑尺寸
共焦场的振幅分布为：
 x2  y 2 


y  exp 
 w2 ( z ) 



2
2
 2   2
w0
Emn x, y, z   Amn E0
Hm 
x H n 
w( z )
 w( z )   w( z )
对基模：
E00 x, y, z   A00 E0
 x y
w0
exp   2
wz 
 w z 



基模光斑尺寸(场振幅衰减到中心最大值的1/e处对应的横向距离) ：
wz  
2
z
z


1     w0 1   
2
f
f
w0 s
2
在共焦镜面上： wz   w f   w 
0s
基模高斯光束的束腰半径 ： w0  w0 
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L
在z=0处有最小值

f

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振幅分布和光斑尺寸
、
共焦腔中，基模光斑随着坐标按双
曲线规律变化：
w 2 z  z 2
 2 1
2
w0
f
w0s  2w0
共焦腔基模高斯光束腰斑半径
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模体积
模体积是指模式在腔内空间扩展的范围。模体积越大，对该模有贡献的激发态
粒子数就越多，因而，也就可能获得大的功率输出。
由于实际上光频电磁场是存在于无限大的范围之内，但是又由于它的能量的绝
大部分分布于中心附近，所以一般定义模体积是指光斑半径以内的那部分体积。
对于基模，由于其光斑尺寸随z变化，比较严格的计算应该进行积分运算，但
是通常用下式估算：
基模模体积通常用下式估算：
V00 
1
1
Lw02s  L2
2
2
高阶模模体积通常用下式估算：
1
L
V  Lw w  (2m  1)(2n  1)
2
2
2
mn
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2
2
ms
ns
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模体积
一般稳定球面腔的基模模体积可定义为：
ws1  ws 2 2
1
V00  L (
)
2
2
代入 ws1、ws2 ：
V00 
1
Lw02s (2 
2
0
 V00
(2 
g1

g2
g1

g2
g2
1
)
g1 4 1  g1g 2
g2
1
)
g1 4 1  g1g 2
对于一般稳定球面腔，TEMmn模体积可：
Vmn  V00 (2m  1)(2n  1)
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等相位面的分布
与腔的轴线交于z0点的等相位面方程可以写成：
x, y, z   0,0, z 0 
忽略附加相移因子， 在近轴情况下，z0点的等相位面方程为：
0

2
2
z  z0  



2
2
L
L
1 
1  0
旋转抛物面方程
2
2
1


z
f
/
0
0
抛物面焦距： f 
L

4 0
2 2z 0
可以证明，在近轴情况下，共焦场的在z处的等相位面近似为
2
球面，其曲率半径为： / 1   2
f
0
R (z)  2f 
L  z0 
2 0
z0
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等相位面的分布
当 z  0 时， R (z 0 )  
当 z   时，R (z 0 )  
当 z 0   f 时，R( z )  L
腔中点或距腔中点无限
远处，等相面为平面
共焦腔的反射镜面是
两个等相位面，与场
的两个等相位面重合
，且曲率半径最小。
0
z  0 时， R( z)  0
当 z  0 时， R( z)  0
x y
zz 
2 R( z )
当
2
2
z 0
R( z0 )  0
zz 0
z 0
R( z0 )  0
zz 0
0
0
0
0
0
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一般情况下，共焦腔
的等相面凹面向着腔
的中心的球面
10
等相位面的分布
共焦腔等相位面的一个重要的性质：
若在等相位面处放置一个具有相应曲率的反射镜片，
不影响共焦腔的场分布。
共焦场等相面的分布
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远场发散角
基模远场发散角：双曲线两根渐近线之间的夹角：
z
2w 1  ( )
f
2
2 wz 
2
  lim
 lim

2
z
z
w
例：某共焦腔氦氖激光器，L=30cm,   0.638m
0
z 
z 
0

f

 2
 2.3  10 rad
f
某共焦腔二氧化碳激光器， L=1m,   10.6m
3
  5.2 103 rad
一般激光器的远场发散角都很小，约为10－3弧度，也就是
表明激光具有很好的方向性。
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远场发散角
不同的腰半径的激光光束的远场发散角对比图
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远场发散角
高阶横模的光束发散角  m
光斑和发散角求出来：
和
n
可以通过基模的
 m  2m  1 0
 n  2n  1 0
 0为基模光束的发散角
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圆形球面镜共焦腔自再现模积分方程
在近轴范围内，当 N  时，圆形镜共焦腔积分方程的本征
函数的近似解：
E pl (r ,  )  C pl (
(r ,  )
 2 cos l
2 l l 2 2


r) L p (
r ) exp(
r )
L
L
L sin l
：为镜面上的极坐标，
Llp (x) ：缔合拉盖尔多项式
Ll0 ( x )  1
L1l ( )  1  l  x
Ll2 ( ) 
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1 2
1
x  (2) x  (1  l )( 2  l )
2
2
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圆形镜对称共焦腔镜面光场分布
镜面上对基模及高阶模的场振幅分布：
E 00 (r,  )  c 00 e
E10 (r,  )  c10

2
w 0s
r2
w0s 
L

w 02 s

re
E 01 (r,  )  c 01 (1  2
r2
w 02 s
2
cos 
r
)e
w 0s

r2
w 02 s
2
2 2
r
E11 (r,  )  c11
r (1 
)e
2
w 0s
w 0s

r2
w 02 s
cos 
．．．．．．．．．．．．．．．．．



exp[
ikL

i
(
p

2
l

1
)
]
本征值的近似解：
pl
2
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圆形镜对称共焦腔镜面模的振幅和相位分布
E 00 (r,  )  c 00 e

r2
w 02 s
基模在镜面上的振幅分布是高斯型的，
整个镜面上没有节线在镜面中心处（r=0）
处，振幅最大。
基模在镜面上的光斑半径(当基模振
幅下降到中心值的1/e处与镜面中心
的距离)：
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w0 s 
L

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圆形镜对称共焦腔镜面模的振幅和相位分布
对于高阶模 TEM pl ，在沿辐角方向有节线，数目为p；沿半
径方向有节圆，节圆数为l；p、l增加，模的光斑半径增大，
并且光斑半径随着l的增大比随着 p增大来的更快；
高阶模的光斑半径：振幅降低至最外面的极大值的1/e处
的点与镜面中心的距离；
1
2
 pl  p  2l  0 s
E pl (r, 为实函数)
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圆形共焦镜面本身也是等相位面。
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圆形镜共焦腔横截面场强度分布
TEM00
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圆形镜共焦腔横截面场强度分布
TEM02
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20
圆形镜共焦腔横截面场强度分布
TEM01
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单程相移和谐振频率
自再现模在腔内一次渡越的总相移为 :
2 pl  arg
1
 pl
 2[( p  2l  1)

2
 kL]
圆形镜共焦腔模的谐振频率为 :
 plq 
C 
1



q

p

2
l

1

2L 
2
 q   plq1   plq 
C
2L
1
2
 p   p 1lq   plq   q 
 l   pl 1q   plq   q 
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C
4L
C
2L
22
圆形球面镜共焦腔的行波场
知道了腔镜面上的场分布之后，利用菲涅耳—基尔
霍夫衍射积分可以求出共焦腔内或腔外任意一点的
场分布。
圆形镜共焦腔的行波场分布与方形镜完全类似，
对圆形镜共焦腔的行波场特性的分析可以按照方
形镜同样的方法进行。两者的基模光束的振幅分
布、光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散
角都完全相同。
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一般稳定球面镜腔
一般球面镜腔：
由两个曲率半径不同的球面镜按照任意间距组成的腔
一般稳定球面镜腔：
当它们满足条件 0  g1  g 2  1 时。
一般稳定球面镜腔的模式理论：
可以从光腔的衍射积分方程出发严格建立，以共焦腔
的模式理论为基础，等价共焦腔的方法
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一般稳定球面腔与共焦腔的等价性
根据共焦腔模式理论：任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价；而任
何一个稳定球面镜腔唯一地等价于一个共焦腔。
一般稳定球面腔与共焦腔的等价性:指它们具有相同的行波场
共焦腔与稳定球面腔的等价性
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任一共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价
根据曲率半径R的符号规定：曲面凸向z轴正向为正，放置在c1、c2处的反
射镜，由共焦腔中与腔的轴线相交于任意一点z的等相位面的曲率半径，
则有：
2

f
,
R1   R ( z1 )   z1 

z1 


f2
R2  R ( z2 )  z2 
,
z2
L  z 2  z1
对腔进行稳定性判断：
L
f zz
g  1 
R
z f
2
1
1
2
1
2
2
1
L
f zz
g  1

R
z f
1
2
2
2
0  g g 1
1
2
2
2
2
2
即放置在c1、c2处的反射镜构成稳定腔
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任一稳定的球面腔唯一地等价于某一共焦腔
假设实际稳定腔的参数为 R1 , R2 , L ，其对应的共焦腔已知。
需要确定共焦腔的焦距及共焦腔的中心位置。
以共焦腔的中心o点为坐标原点，则同样有 ：

f2
,
R1   z1 
z1 

f2
R2  z 2 
,
z2
L  z 2  z1
稳定球面腔和它的等价共焦腔
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任一稳定的球面腔唯一地等价于某一共焦腔
z1 
L R2  L 
2 L  R1  R2
由上述方程联立可以求解：z 2  
f
2

LR1  L 
2 L  R1  R2
LR1  L R2  L R1  R2  L 
2 L  R1  R2 2
可以证明，当 R1 , R2 , L 满足稳定腔条件时，有
f 2  0;
z1  0
z2  0
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任一稳定的球面腔唯一地
等价于某一共焦腔
有了上述的等价性，对于任意的稳定球面腔，我们可以通
过研究与其对应的共焦腔的特征模来研究它的模的性质。
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一般稳定球面腔镜面上基模的光斑尺寸
共焦腔中基模的光斑尺寸：
wz  
2
z
z
1     w0 1   
2
f
f
w0 s
2
将求得的焦距f代入上式可以得到一般稳定球腔（ R1 , R2 , L ）
行波场的基模光斑尺寸的分布，从而得到镜面1和镜面2上的
光斑半径以及束腰光斑半径和全角发散角，也可以用腔的g参
数表示： ：
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镜面上基模的光斑尺寸

R ( R2  L )
L 
w1 


  L( R1  L)( R1  R2  L) 
2
1
w2 
w0 

R22 ( R1  L)
L 


  L( R2  L)( R1  R2  L) 
14
14
  L( R1  L)( R2  L)( R1  R2  L) 



( R1  R2  2 L) 2

21 / e 2  2
w1 

g1
L 
w2 
  g 2 (1  g1 g 2 ) 
14

( R1  R2  2 L)



  L( R1  L)( R2  L)( R1  R2  L) 
2
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
g2
L 
  g1 (1  g1 g 2 ) 
14
w0 
14
L  g1 g 2 (1  g1 g 2 ) 


  ( g1  g 2  2 g1 g 2 ) 2 
14
21 / e 2  2
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14
  ( g1  g 2  2 g1 g 2 ) 


L  g1 g 2 (1  g1 g 2 ) 
2
14
30
谐振频率
方形镜共焦镜的相位函数：
2

f z
 mn z   [k ( z 
 kf  (m  n  1)(  arctan
)]
2R
2
f z
将f 、z1、z2代入上式，并由谐振条件：
2 mn x, y, z   2[ mn 0,0, z 2    mn 0,0, z1 ]  2q
对于方形一般稳定球面腔，可以得到TEMmnq谐振频率：
 mnq
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C 
1




q

m

n

1
arccos
g

g
1
2 
2L 


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31
谐振频率
对于圆形孔径一般稳定球面腔，可以得到TEMplq谐振频率：
 plq
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C 
1


q   p  2l  1 arccos g1  g 2 

2L 


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32
衍射损耗
共焦腔的模式理论证明：每种横模的单程衍射损耗单值
地由腔的菲涅耳数决定：a 2
N
L
L
w0 s 

a2
N
w02s
对于稳定球面腔，定义等效菲涅耳数：
2
N ef
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ai

w02si
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稳定球面腔
的镜面线度
镜面基模光斑半径
33
衍射损耗
稳定球面腔的两个镜面的等效菲涅耳数分别为：
L( R1  L)( R1  R2  L) a1

2
L
R1 ( R2  L)
2
N ef 1
2
a
 1
L
2
N ef 2
a2

L
g1
(1  g1 g 2 )
g2
L( R2  L)( R1  R2  L) a2

2
L
R2 ( R1  L)
2
g2
(1  g1 g 2 )
g1
由等效菲涅耳数，按共焦腔衍射损耗曲线查出镜面上的
1
2
、 mn
损耗因子  mn
，则平均单程损耗为：
1 1
2
 mn  ( mn   mn
)
2
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34
衍射损耗
图2-7-2给出了圆形反射镜稳定腔的 TEM 00
TEM 10单程衍射损耗
1 模式的损耗随菲涅耳数N值的增大而急剧减小；
2 方形镜共焦腔损耗＜圆形镜共焦腔损耗＜平面腔损
耗＜平面波损耗；
3 基模的损耗<高阶模的损耗，模阶次越高，损耗越大；
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35
一激光器采用球面腔，两个反射镜的曲率半径
分别为 R  1.5m , R  1m ,谐振腔长 L  80cm 。
1
2
求：
（1）证明谐振腔为稳定腔，并确定它的等价共焦 腔；
（2）该谐振腔产生的基模高斯光束的束腰半径与 腰位置；
（3）该谐振腔产生的基模高斯光束在球面腔两镜面上的光斑
半径；
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（1）证明谐振腔为稳定腔，并确定它的等价共焦腔；
L
谐振腔的几何参数： g  1 
R
1
1
L
, g  1
R
2
2
已知： R  1.5m , R  1m
1
g 
1
即：
7
15
,g 
2
L  80cm
2
9
5
g g 
1
2
21
25
0  g  g 1
1
2
满足谐振腔稳定的条件，因此，该谐振腔为稳定腔。
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37
该稳定谐振腔唯一地等价于某一共焦腔：以共焦腔的光轴
中心为坐标原点，则球面腔的两面反射镜位于
z ,z
1
2
，
2
f
R  ( z 
)
z
1
1
1
2
f
R  ( z 
)
z
2
2
2
z  1.31m
1
z   0 .5 m
2
f  0 .5 m
L  2 f  1m
Lz z
2
1
球面腔腔长
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等价共焦腔腔长
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稳定球面腔与其等价共焦腔
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2）该谐振腔产生的基模高斯光束束腰半径与腰位置
f
 3.78 ´ 10 m
w 

4
束腰半径：
0
束腰位置Z=0处。
3）基模高斯光束在球面腔两镜面上的光斑半径；
z
 1.31
w( z )  w 1  ( )  3.78 10  1  (
)  10.6  10 m
f
0.5
1
1
2
4
2
4
0
z
 0.5
w( z )  w 1  ( )  3.78 10  1  (
)  5.35 10 m
f
0.5
2
2
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2
4
2
4
0
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作业
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