Transcript 存活分析 - 生物統計研究中心

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
時間變數

存活時間

設限

Kaplan-Meier估計、Greenwood公式、信賴
帶、 Log-Rank檢定、Gehan-Wilcoxon檢定、
Peto-Wilcoxon檢定

Cox比率風險模型、 風險比、風險因子、保護因
子、交互作用
2
下面是台灣和信醫院於2014年針對肺癌臨床治療成果的一
部分報告：
“…1990-2009年間首次在和信醫院確定診斷為肺癌者共
2,681人，其中男性1,541人(57.5％)，女性1,140人
(42.5％)，年齡中位數63歲(全距17-92歲)。期別分佈以
三及四期為多數，占77%。各期別五年及十年存活率如表
12-1、圖12-1；第一及第二期五年存活機會分別為70%
及44%。晚期病人存活機會一般少於10%，因此早期診斷
與更有效的治療是將來研究的重點。….”。比較美國流行
病監督之公佈2001-2007年男性、女性肺癌五年存活率
為13.5%、18.0%，和信醫院同時期五年存活率分別為
13.7%、18.1%。
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


以上報告的關鍵字是”存活率”。 醫生除了經常預測
病人1年或5年等的存活率外，也經常預測病人存活
的中位數。
以圖12-1的存活曲線來看，第四期肺癌病人的存
活中位數約為1年，第二期肺癌病人的存活中位數
約為4.5年。
存活率也會隨著性別、年齡、治療方法、基因、吸
煙狀況、或個人健康等因素的差異而有不同。
本章的重點除了研究如何估計存活率外，也研究如
何分析是甚麼因素會影響存活率的大小？
5

醫學研究或臨床實驗上分析病人“存活率”的方法
有多種方式，例如，肺癌病人5年的存活率是研究
目標的話，則我們可以觀察病人是否在5年內過
世，並應用前節介紹的 logistics regression 方法
分析就可以了。

但是，logistics regression的研究在病人“失去
追蹤觀察(loss to follow-up)”的情形發生時無法
處理。

你僅知道5年的存活率，不知道2或3年的存活率?
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

假如你想研究肺癌病人死亡的發生率/人-年
（incidence rate per person- year），則我們可
以設計一個5年的研究，觀察病人在每年內死亡的
個數，然後應用前節介紹的 Poisson regression
方法分析。
Poisson regression 的分析方法，基本上使用時的
假設條件較多；例如，方法使用的前提要求在每一
個研究的時間區間內死亡率是固定，＂死亡人數＂
滿足Poisson 機率分配!
本章的存活資料分析中不須要做任何機率分配的假
設。
7

存活分析顧名思義是研究有關於存活時間的方法，
這裡 “時間” 的定義有特殊性。
例如，大腸癌病人由診斷到因病死亡的時間，因大腸癌死
亡的時間，由經放射性治療後到因大腸癌死亡的時間…
等，均有不相同的時間計算定義。計算 “診斷為大腸癌”
的時間到 “因病死亡” 的時間，這之間的時間距離稱為存
活時間。

計算存活時間首先必須明確的定義時間的單位，研
究起始時間及研究終結時間；而每一個研究病人的
起始及終結時間可能很不相同也不必相同。
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

研究起始和終結時間之間的時間距離就是觀察時間
(time to event) 。“觀察時間” 這個變數在R-web中
稱為時間變數。
我們的觀察時間是否就是我們要研究的存活時間?
答案是不必然。因為研究時間的限制，經常在無法
觀測到所有研究病人的存活時間前，研究就必須結
束，或者研究期間病人失聯無法持續追蹤觀察，
等。
觀察到的時間有時會小於真正的存活時間。這種特
殊的存活資料的性質（不完整性），使得我們無法
應用前面章節的統計方法分析資料。
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
我們在本章要介紹的存活分析方法除了使用時間變
數的資料外也必須使用存活事件變數的資料。

事件變數是用來表示觀察時間是否為存活時間的指
標（又稱為設限指標）變數。
◦ 若 “是” 的話，事件變數值定義為 “1”，表示觀察時間
資料是完整的存活資料
◦ 若 “不是” 的話，則定義為 “0 ” ，表示觀察到的時間
資料是不完整的設限資料
◦ 通常事件變數值為 “1” 時，又稱為一個事件， “0” 時
稱為設限（censored）
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


例如，於大腸癌症病人的研究中，某病人於2001
年2月初進入大腸癌症研究。於2006年7月初研究
結束時此病人仍然存活，則此人的時間變數值即為
65個月，事件變數值為0（censored）。
若此人不幸於2003年7月初死亡，則此人的時間變
數值為29個月，事件變數值為1。
以上所稱“事件”的研究不必然是有關死亡存活事
件的研究，例：癌症第一期惡化到第二期的發生也
可以稱事件。
此研究方法也可應用於很多領域，例如，應用於公
司破產的研究，將破產定義為研究的事件。
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以下資料是第一章中所談的有關肺癌研究的資料。其
中所列的＂存活狀態＂變數就是事件變數。
位置
性別
存活狀態
首次 惡化
年齡 化療 放療 (vital
惡化 時間
status)
DFCI Female
55
No
No
Alive
No NA
DFCI Female
41
No
No
Alive
Yes
DFCI
Male
47
Yes
No
Alive
No NA
DFCI
Male
73
NA
NA
Alive
NA NA
DFCI Female
63
NA
NA
Dead
Yes 17
DFCI
72
NA
NA
Dead
Yes
DFCI Female
57
NA
NA
Alive
DFCI Female
55
NA
NA
DFCI
64
NA
NA
Male
Male
病理分期
吸煙情形
Smoked in the
past
Smoked in the
past
Smoked in the
past
存活時間
N_stage T_stage （月）
N0
T2 or T3
110
N0
T2 or T3
98
N0
T2 or T3
110
Never smoked
N0
T2 or T3
66
Currently
smoking
N1
T2 or T3
29
Never smoked
N0
T2 or T3
7
NA NA
Currently
smoking
N0
T1
53
Alive
NA NA
NA
N0
T1
63
Alive
NA NA
Smoked in the
past
N0
T2 or T3
23
2
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


存活分析的研究中最重要的分析方法之一就是
Kaplan-Meier 估計法，又稱為”product-limit”估
計法，是用來估計存活曲線的方法。
假設肺癌病人的存活時間以T表示，則我們經常以
S(t) =Pr(T > t)表示病人t年的存活(機)率；例如，
S(5)是5年的存活率，代表病人能存活至少5年的機
率。
若將＂不完整＂的設限資料丟棄僅用完整的觀察到
的存活資料分析。這種作法可以嗎？答案是不適當
的；這樣的分析處理經常會造成存活率低估的現
象，以至於產生分析結論的偏差。
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


我們的臨床實驗研究在結束前有n個滿足研究條件
的個體＂陸續＂進入，參加存活研究的實驗。其中
最重要的有二種資料，一是時間變數的資料，二是
事件變數的資料。
觀察時間的資料可能是設限資料，或是存活資料；
資料可能以天為單位或以月為單位。
假設資料中有m（<n）個不相同的存活（非設限）
資料由小排到大，記錄為 t0  0  t1  t2  ...  tm  tm1  
，Kaplan-Meier 估計存活曲線 S(t) 的方法如下:
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給定任何 t ∈ [t 0 , t1 )， 估計量定義為S𝐾𝑀 𝑡 = 1；
給定任何 t ∈ [t1 , t 2 )， 估計量定義為
S𝐾𝑀 𝑡 = 1 ×
𝑛1 −𝑑1
；
𝑛1
(存活至少t1 的機率)
𝑛1 −𝑑1
𝑛1
𝑛2 −𝑑2
；
𝑛2
給定任何 t ∈ [t 2 , t 3 )， 估計量定義為
S𝐾𝑀 𝑡 = 1 ×
×
…….
給定任何t ∈ [t 𝑖 , t 𝑖+1 )， 估計量定義為
S𝐾𝑀 𝑡 =


𝑛𝑙 −𝑑𝑙
𝑖
𝑙=1
𝑛𝑙
；
𝑛1 是t1 時點前仍然存留在實驗研究的個體總數目，若是t1
前有c0 個體資料是設限，表示已離開研究，因此，𝑛1 =
𝑛 − 𝑐0 。
𝑑1 則是t1 時點上死亡的個體總數目(不含設限資料)。
15

以此類推，n𝑖 是t 𝑖 時點前仍然被認定存留在實驗研
究（cohort）觀察（排除t 𝑖 時點前死掉或離開的個
體）的個體總數目，𝑑𝑖 則是t 𝑖 時點上死亡的個體總
數目。若是[t 𝑖−1 , t 𝑖 )間有c𝑖−1 個體資料是設限的，則
n𝑖 = n𝑖−1 − d𝑖−1 − c𝑖−1 。

從以上的定義或圖12-1來看，Kaplan-Meier 的估
計是一條遞減的階梯形狀的折線，折點只發生在非
設限的存活資料點上。
16

因資料中有m（<n）個不相同的存活資料，t 𝑚 是非
設限資料中的最大值，t 𝑚 之後若也是沒有任何設限
資料的話，則S𝐾𝑀 𝑡 = 0，t ≥ t 𝑚 。即存活曲線在
t 𝑚 之後均為零。 t 𝑚 之後若有設限資料的話，存活
曲線在t 𝑚 之後不為零。（如圖12-1）
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

若是肺癌病人存活的研究結果顯示，資料中觀察到
的最大存活時間是4年8個月，則問5年存活率為多
少？是沒有意義的。解決的辦法就是將研究時間延
長，直到觀察到的最大存活時間超過5年。
R-web
以下是在肺癌病人存活研究的資料檔（lung_cancer_study）上
傳到www.r-web.com.tw後，以點選方式選用路徑: ＂分析方
法存活分析Kaplan-Meier 存活函數估計 步驟一 （資料
匯入）: 使用個人資料檔 步驟二（參數設定）：選擇變數：時
間變數：SURVIVAL_MONTHS；事件變數：vital status進階
選項: 選擇分組變數: gender；選擇繪製圖型:存活函數圖開始
分析＂後所繪出的存活曲線圖；單位是月，男性表示gender=1，
女性表示gender=0。
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圖12-2. 男性和女性肺癌病人的存活曲線
19

誤差：計算Kaplan-Meier的估計誤差可使用
Greenwood公式；給定任何 t ∈ [t 𝑖 , t 𝑖+1 )，S𝐾𝑀 𝑡
的誤差為V 𝑡 1/2 ，即S𝐾𝑀 𝑡 ± 1.96V 𝑡 1/2 是未知的
存活率S(t)的95%信賴區間，其中
V 𝑡 =
2
S𝐾𝑀
𝑡
𝑑𝑙
𝑖
𝑙=1 𝑛 𝑛 −𝑑
𝑙 𝑙
𝑙
。
V 𝑡 1/2 又稱為應用log 轉換後計算的誤差（細節不
述）。
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


通常在臨床實驗研究中，研究人員會在不同的條件
下計算Kaplan-Meier存活曲線的估計，然後問一
個重要的問題：這些存活曲線是否相同？
例如，在肺癌病人的研究中，我們會問接受化療的
肺癌病人和接受放療的肺癌病人他們的存活時間是
否不相同？或男性和女性肺癌病人的存活時間是否
不相同？
假如男女性的存活時間是相同的話，則我們可以說
性別不是影響肺癌病人存活時間的因子。
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


首先我們必須先說明圖12-2中的存活曲線都是＂
估計＂的曲線，不是真實的曲線；估計的曲線和真
實的曲線之間存有因樣本而產生的誤差。
以下我們討論圖12-2中存活曲線的差異在統計上
來說有沒有意義？差異是否在統計上顯著？
R-web
首先將肺癌病人存活研究的資料檔上傳到www.r-web.com.tw
後，以點選方式選用路徑：＂分析方法存活分析存活函數
比較步驟一（資料匯入）: 使用個人資料檔步驟二（參數設
定）：選擇變數：時間變數： SURVIVAL_ MONTHS；事件變
數：Vital Status；分組變數：GENDER進階選項：比較方
法:Log-Rank檢定，Wilcoxon檢定，Peto-Wilcoxon檢定；選
擇繪製圖型：存活函數圖開始分析＂，得下列分析結果:
22
表12-2. 存活函數比較
虛無假設：各存活函數間無顯著差異
檢定方法
method
檢定統計量
statistics
自由度
d.f.
p-值
p-value
Log-Rank檢
定
GehanWilcoxon檢定
PetoWilcoxon檢定
0.5256
1
0.4685
1.1902
1
0.2753
1.1902
1
0.2753
 若是比較k條存活曲線是否相同時，我們則改用自由度為k1的“卡方”計算P值。三種檢定分析的結果是一致的，結
論是：男性和女性肺癌病人存活時間的差異在統計上來說
是不顯著的。
 我們這裡使用的三種重要的統計檢定方法都是Wilcoxon檢
定方法在有設限資料情況下發展出來的新方法，因此可以
說都是無母數方法。
23


Log-Rank檢定法是存活分析中最常被引用的方
法；當二條log-存活函數的比值是常數時（又稱為
＂proportional hazards＂， 比率風險，風險的
比值和時間無關），Log-Rank的檢定力最高。
Gehan-Wilcoxon檢定法和Peto-Wilcoxon檢定法
的結果較相似，當二條存活函數的表現有差異，但
差異僅發生在早期時，則這二種檢定方法的檢定力
較高，因此使用時也比較容易取得＂有顯著差異＂
的結論。
24



存活分析的方法中，最重要的是研究存活時間的影
響因子；性別會影響肺癌病人存活時間的長短？治
療方法（化療或放療）會影響肺癌病人存活時間的
長短？假如答案都是＂會＂的話，下一步要問的題
目是如何影響?
這節中，我們介紹Cox迴歸方法來解決這些問題。
Cox迴歸模型又稱為Cox 比率風險模型，或
Proportional Hazards 模型。
Cox迴歸的分析中使用了一個重要的觀念叫做＂風
險比（hazard ratio，簡寫為HR）＂。
25

假設S0 𝑡 是女性肺癌病人存活時間的曲線，S1 𝑡 是
男性肺癌病人存活時間的曲線，Cox迴歸的模型假
設S1 𝑡 = S0𝜆 𝑡 ，而𝜆就是肺癌病人中男性相對於女
性的風險比。

風險比𝜆值大於1 的話，表示男性在任何時間點上
的存活率都比女性低；反之，𝜆值小於1 的話，表
示男性在任何時間點上的存活率都比女性高。𝜆值
等於1 的話，表示男性在任何時間點上的存活率都
和女性一樣。
26

＂風險比＂的意義和Logistic 迴歸中的＂勝算比＂
意義相似但不相同。我們都用𝛽來表示log𝜆，即𝜆 =
𝑒 𝛽 ，或用log𝐻𝑅 𝑥 = 𝛽 × 𝑥， 𝑥=gender來表示不同
gender相對於女性的log-風險比。

gender=1時， log𝐻𝑅 𝑥 = 1 = 𝛽，表示男性相對
於女性的log-風險比為𝛽或風險比為𝑒 𝛽 。

gender=0時，log𝐻𝑅 𝑥 = 0 = 0，即是說女性相對
於女性的log-風險比為0或是說風險比為𝑒 0 = 1。

以上的風險比是以女性存活為比較基線
（baseline，定義為𝑥=0）而定義的，我們稱𝑥=0為
基線條件。
27

和迴歸模型的定義一樣，假若我們有二個因子𝑥1 和
𝑥2 要分析，我們可以使用Cox迴歸模型
log𝐻𝑅 𝑥1 , 𝑥2 = 𝛽1 𝑥1 + 𝛽2 𝑥2 。


𝑥1 = 𝑥2 = 0是基線條件；迴歸模型告訴我們：相對
於滿足基線條件的病人而言，滿足𝑥1 , 𝑥2 條件病人的
風險比為e𝛽1𝑥1 +𝛽2𝑥2 。
若𝑆 𝑡|𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0 = S0 𝑡 ，則Cox迴歸模型告
訴我們以下的關係：𝑆 𝑡|𝑥1 , 𝑥2 = S0 𝑡
e𝛽1 𝑥1 +𝛽2 𝑥2
；
亦即＂滿足𝑥1 , 𝑥2 條件病人的存活函數是基線條件病
人存活函數的＂e𝛽1𝑥1+𝛽2𝑥2 ＂次方。
28

以此類推，假若𝑥1 是類別因子，𝑥1 = 0表是類別A，𝑥1 = 1
表是類別B，則迴歸模型告訴我們
𝑆 𝑡|1, 𝑥2 = S 𝑡|0, 𝑥2
e𝛽1
。
可解釋成: 在任何的𝑥2 （例如年齡）條件下，類別A（例如接
受化療）病人相對於類別B（不接受化療）病人的風險比為 e𝛽1 ；
我們可稱e𝛽1 為因子𝑥1 的風險比。

若𝑥2 是連續型因子，如＂年齡 減 平均年齡＂，基線條件
𝑥2 = 0表示是平均年齡的條件時，則迴歸模型告訴我們
𝑡|𝑥1 , 𝑥2 + 1 = S 𝑡|𝑥1 , 𝑥2
e𝛽2 ；可解釋成:
在任何的𝑥1 條件下，
增加一個單位（例如月，若𝑥2 是年齡話）的𝑥2 的相對風險比
為e𝛽2 ；我們稱e𝛽2 為因子𝑥2 的風險比。
29

Cox 迴歸方法可以估計迴歸係數𝛽1 （或𝛽2 ），風險
比e𝛽1 （e𝛽2 ）以及𝑥1 , 𝑥2 條件下的存活函數
𝑆 𝑡|𝑥1 , 𝑥2 ，也可檢定𝛽1 （或𝛽2 ）是否為零？若是
的話，表示 𝑥1 （或𝑥2 ）不影響風險比，也不是影響
存活大小的因子。另外，𝛽1 （或𝛽2 ）大於零的話我
們稱𝑥1 （或𝑥2 ）是影響存活大小的風險因子，小於
零的話則稱為是保護因子。
30

我們也可以處理較複雜的迴歸模型
log𝐻𝑅 𝑥1 , 𝑥2 = 𝛽1 𝑥1 + 𝛽2 𝑥2 + 𝛽12 𝑥1 𝑥2 ，
𝛽12 是𝑥1 , 𝑥2 交互作用的係數；
𝑥1 = 0時，迴歸模型變成log𝐻𝑅 0, 𝑥2 = 𝛽2 𝑥2 ，
𝑥1 = 1時，迴歸模型為
log𝐻𝑅 1, 𝑥2 = 𝛽1 + 𝛽2 + 𝛽12 𝑥2 。
因為𝛽12 的存在，使得𝑥2 的風險比會隨著𝑥1 值的變化而
變化，這就是交互作用的本質。
31

仍然使用肺癌病人存活研究資料，以點選方式選用路徑:
“ 分析方法 存活分析 Cox比率風險模型 步驟一（資
料匯入）: 使用個人資料檔 步驟二（參數設定）：選擇
變數：時間變數：SURVIVAL_MONTHS；事件變數：
Vital Status；共變數：GENDER，AGE， CHEMO，
RT，SMOKING， 進階選項: 選擇信賴區間計算方法：
log-log轉換， 繪製存活函數圖（共變數值=平均數）
依給定變數分組繪圖（須為類別變數）：RT 開始分
析”，得下列Cox迴歸分析結果。
32

R-web之分析結果
變數名稱
variable
係數估計值
coef. esti.
AGE
0.0229
GENDER
(Male)
CHEMO
(Yes)
RT
(Yes)
SMOKING
(Never
smoked)
SMOKING
(Smoked in
the past)
z檢定
標準差
統計量
std. err.
z statistic
估計值的指數
p值
（風險比例）
p-value
Exp（coef.）
（Hazard Ratio）
1.0231
1.0119 1.0345
0.0758
1.2332
0.9785 1.5541
-0.0139
0.1589 -0.0874 0.9303
0.9862
0.7223 1.3465
0.3903
0.1725 2.2625
0.0237
1.4774
1.0536 2.0718
-0.5702
0.2522 -2.2611 0.0238
0.5654
0.3449 0.9269
-0.5766
0.2028 -2.8427 0.0045
0.5618
0.3775 0.8361
0.2096
0.0056 4.0589 < 1e-04
Exp（coef.）的
95% 信賴區間
下界
上界
lower
upper
0.118
1.7758
分析中的共變因子取GENDER、AGE、CHEMO、RT、SMOKING，其中
CHEMO表示化療，RT表示放療。表12-3的Cox迴歸分析中的基線條件是
GENDER=Female，AGE=平均年齡，CHEMO=無，RT=無，SMOKING=
有， 結果顯示：除了CHEMO及GENDER因子統計上不顯著外，其餘因子都顯
著。
33




係數估計值顯示 RT（yes）及AGE 是風險因素外，其
餘顯著的因子都是保護的因子。
圖12-4的結果則顯示:在共變因子調整（covariateadjusted）後非接受放療病人的存活率是比接受放療病
人的存活率高。
共變因子調整後接受（或非接受）放療病人的存活曲線
是指在Cox比率風險模型下計算的存活曲線，表示是在
調整RT以外的共變因子於平均值（或中位數或其他有
代表性的數值）的水準情況下，所計算出來的存活曲
線。
給定任何要調整的共變因水準，R-web都可以提供存活
曲線的計算，使用者可選擇使用。
34
35
使用lung-cancer-study 資料檔，
1. 計算肺癌病人中接受化療（CHEMO=1）的存活曲線的
Kaplan-Meier估計及圖。
2. 接第1題，使用Log-log轉換及log轉換分別計算存活曲線估
計中每點的95%信賴區間，並比較差異?
1
3
3. 接第1題，計算存活曲線的中位數及 及 分位數?
4
4
4. 接續問題1~3，計算肺癌病人中接受放療（RT=1）的存活
表現，並檢定＂僅＂接受放療和僅接受化療病人間存活的差
異。
5. 將復發(relapse)到死亡時間當成”存活時間”，使用COX模型
(I).做單一變數的分析，探討年齡(“年齡減年齡中位數”當做
年齡變數)，性別、抽煙、化療、T-stage是否為風險因子？
風險比各為多少？95%信賴區間?(II).使用上述因子作多變量
分析，並做出結論。 (III).以性別做分層分析並給出結論。
36
The End
35