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數位邏輯(含實習)奪分寶典
第四章
布林代數與笛摩根
定理
布林代數的基本運算
運算符號
讀法
運算狀況
P4-3 表4-1-1
AND（及）
運算
OR（或）
運算
NOT（反）運算
‧（或
+（或ˇ）
─（或'）
OR
Bar（橫槓）
）
AND
0．0
0．1
1．0
1．1
優先順序 ①括號
=
=
=
=
0
0
0
1
0
0
1
1
② NOT
+
+
+
+
0
1
0
1
=
=
=
=
0
1
1
1
③ AND ④ OR
P4-4 表4-1-2
布林代數的封閉性（Closure）
定
義
舉
運算元(X 、Y) X + Y = Z
與運算結果
(Z) 同包含在 X．Y = Z
一個集合內
例
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
0．0 = 0
1．1 = 1
說
明
若X、Y ∈ 集合
B :{0,1}，則
Z ∈ B
P4-4 表4-1-3
布林代數的結合律（Associative Laws）
定
義
舉
例
運算元（X、Y、 (X + Y ) + Z = X + (Y + Z )
Z）的運算優先 (X．Y )．Z = X．(Y．Z )
順序不影響運
算結果
說
明
X、Y、Z三數運
算，先算X與Y，
再算Z，和先算
Y與Z，再算X，
其結果相同。
P4-4 表4-1-4
布林代數的交換律（Commutative Laws）
定
義
運算元（X、Y）的
前後順序不影響運
算結果
舉
例
X + Y = Y + X
X ． Y = Y ．X
說
明
將X、Y 順序交換，
其結果相同。
P4-4 表4-1-5
布林代數的一致律（Identity Laws）
或單位元素或等元素
定
義
數字系統中存在一
元素，使任何數字
與該元素運算後的
結果，等於原數
字。
舉
例
X．1 = X
X + 0 = X
說
明
1.任何數和1作AND，其
結果若等於原數，則稱
「1」為AND運算的一致元
素（或單位元素）。
2.任何數和0作OR運算，其
結果若等於原數，則稱
「0」為OR運算的一致元
素（或單位元素）。
P4-4 表4-1-6
布林代數的反元素（Inverse Element）
定
義
若兩數的運算結果恆
為一致元素(0或1)，
則此兩數即為反元素
(在數位系統中稱為互
補元素（complement
element））
舉
例
說
X 與
明
運算的結果為
0或1（一致元素），故
X 與
互為反元素。
P4-5 表4-1-7
布林代數的分配律（Distributive Laws）
定
義
舉
例
說
明
「．」對「+」
X．(Y + Z ) = X．Y + X．Z
布林代數的
具有分配性， X + (Y．Z ) = (X + Y )．(X + Z ) 「．」與
同時「+」對
「+」，皆適
「．」亦具有
用於分配律，
分配性。
這是不同於數
學代數之處。
布林代數的定理整理
P4-5 表4-1-8
P4-6 表4-1-9
對偶（duality）函數式
定
義
若將一布林代數式中的
①AND和OR運算符號互換
②1和0互換
③所有變數不變
所得之結果即為其對偶函數式
舉
例
P4-6 表4-1-10
對偶（duality）函數式
定
義
若將一布林代數式中的
①AND和OR運算符號互換
②1和0互換
③ 並將所有變數取補數
所得之結果即為其補函數式
舉
例
笛摩根定理（DeMorgan's Theorems） P4-10
表4-2-1
以笛摩根定理化簡函數式的方法
P4-11 表4-2-2
舉例函數式（一）
分解步驟1
分解步驟2
分解步驟3
分解步驟4
分解步驟5
完成化簡
或寫成右式
以笛摩根定理化簡函數式的方法
P4-11 表4-2-3
舉例函數式（二）
分解步驟1
分解步驟2
分解步驟3
分解步驟4
分解步驟5
分解步驟6
完成化簡
或寫成右式
邏輯閘的互換
邏輯閘
使用NAND萬用閘
P4-16 表4-3-1
使用NOR萬用閘
NOT
圖(a)
圖(c)
圖(d)
圖(b)
AND
圖(f)
圖(e)
簡
化
圖
圖(g)
邏輯閘的互換
邏輯閘
使用NAND萬用閘
P4-16 表4-3-1
使用NOR萬用閘
OR
圖(h)
簡化圖
圖(j)
圖(i)
NOR
圖(k)
簡化圖
圖(m)
圖(l)
邏輯閘的互換
邏輯閘
使用NAND萬用閘
P4-17 表4-3-1
使用NOR萬用閘
NAND
圖(o)
圖(n)
簡
化
圖
圖(p)
邏輯閘的互換
P4-17 表4-3-1
邏輯閘--XOR
使用NAND萬用閘
使用NOR萬用閘
圖(r)
圖(q)
邏輯閘--XOR
使用NAND萬用閘
圖(s)
使用NOR萬用閘
圖(t)
P4-17 表4-3-2
腳位接法
XOR閘單腳接地（Buffer 閘）
XOR閘單腳接VCC（NOT 閘）
電路接法
圖(a)
圖(c)
等效閘
圖(b)
說明
輸入和0作XOR（互斥或）
時，輸出等於輸入。
圖(d)
輸入和1作XOR（互斥或）
時，輸出等於輸入的反
相。
複層電路分析
轉換原則
原始電路
1 標出層級
(由輸出級
開始)
2 轉換奇數層
並消去反
相器
3 簡化函數式
多層 NAND 閘電路分析
P4-19 表4-3-3
多層NOR閘電路分析