Transcript 布林代數及第摩根定理

第
4
章
布林代數及第摩根定理
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4-1 布林代數之特質
4-2 布林代數之基本運算
4-3 布林代數之基本定理
4-4 第摩根定理
4-5 邏輯閘之互換
4-1
布林代數之特質
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基本的布林代數式可簡單的表示成：F＝f
（A，B，C⋯⋯），下圖為其示意圖。F的輸出
是輸入變數 A、B、C……等的函數，亦即 F 的
值是由輸入變數的值所決定。
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4-2
布林代數之基本運算
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布林代數雖然只有 0 與 1 兩種數值，但其
基本運算有三種，分別為 OR 運算，又稱邏輯
的加法運算；AND 運算，又稱邏輯的乘法運
算；NOT 運算，又稱邏輯的補數運算，現針
對這三種基本運算之特性說明如下：
1. OR 運算
(1) 若 A 和 B 為兩個輸入變數，則當 A 和 B 以
OR 加法組合時，其輸出 F表示為 F＝A＋B。
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(2) F＝A＋B 之運算結果為「只要 A 或 B 是1，
其結果 F 就是 1」。
(3) 除了 A＝B＝1 情形外，OR 運算與二進制加
法運算相同。
2. AND 運算
(1) 若 A 和 B 為兩個輸入變數，則當 A 和 B 以
AND 乘法組合時，其輸出 F表示為 F＝A·B。
(2) F＝A·B 之運算結果為「只有 A是1且B也是
1，其結果 F才是 1」。
(3) AND運算與二進制乘法運算相同。
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3. NOT 運算
(1) 若 A 為一個輸入變數，則當A做NOT補數運
算時，其輸出 F = A。
(2) F = A 之運算結果為「將變數A反轉，即為其
結果F，如A=1，則F=0，又如A=0，則
F=1」。
(3) NOT運算與二進制取1的補數運算相同。
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4-3
布林代數之基本定理
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一、布林代數之假設
1. 封閉性
(1) X + Y  B
(2) X  Y  B
2. 單位元素
(1) X + 0 = X
(2) X 1 = X
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3. 交換律
(1) X + Y = Y + X
(2) X  Y = Y  X
4. 分配律
(1) X   Y + Z   X  Y   X  Z
(2) X +  Y  Z   X + Y   X + Z
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5. 補數元素
(1) X + X = 1
(2) X  X = 0
6. 結合律
(1) X +  Y  Z   X + Y  Z
(2) X   Y  Z   X  Y  Z
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7. 對偶性
任何布林代數式，必有其相對的對偶
式，對偶性之互換原則為
(1)將「+」運算改為「·」，「·」運算改為
「+」。
(2)將常數項「0」改為「1」，「1」改為
「0」。
(3)變數符號不加以改變。
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二、布林代數之基本定理
有了布林代數的假設，我們可以以此假設
為基礎，發展出下列之基本定理：
1. 全等性
(1) X+X=X
3. 自補性
X=X
(2) X·X=X
2. 同一性
4. 消去性
(1) X+1=1
(1) X+XY=X
(2) X·0=0
(2) X·(X+Y)=X
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4-4
第摩根定理
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一、第摩根第一定理
「各變數 OR 運算後之反相，等於各變數
先反相後再做 AND 之運算，
即 A + B+C
N = A  B C
N 」。
接著，我們將第摩根第一定理應用在兩輸
入的邏輯閘上，可以發現，一個反或閘，可視
為輸入端先經過反相閘，再輸入及閘，無論輸
入端有多少之邏輯閘，此定理均成立，
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如下圖所示，故第摩根第一定理可將「OR」運
算轉換成「AND」運算。若將下圖之左右兩邊
邏輯閘之輸出端各加一反相閘，則可形成如下
圖之等效或閘。
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二、第摩根第二定理
第摩根第二定理也就是在表示這個功能性，
定理敘述如下：
「各變數 AND 運算後之反相，等於各變
數先反相後再做 OR 之運算，
即 A  B C
N = A + B+C+
+ N 」。
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接著，我們將第摩根第二定理應用在兩輸入的邏輯
閘上，可以發現，一個反及閘，可視為輸入端先經過反
相閘，再輸入或閘，無論輸入端有多少之邏輯閘，此定
理均成立，如下圖所示，故第摩根第二定理可將「AND」
運算轉換成「OR」運算。若將下圖之左右兩邊邏輯閘之
輸出端各加一反相閘，則可形成如下圖之等效及閘。
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4-5
邏輯閘之互換
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在許多布林代數化簡中，第摩根定理常被應
用到，而且常是第一定理與第二定理相互搭配使
用，是化簡布林代數不可或缺的工具，在練習例
題之前，我們再將第摩根第一定理與第二定理陳
述一遍。
第摩根第一定理
N = A  B C
N
N = A  BC
N
A + B+C
第摩根第二定理
A  B C
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應用上述之第摩根定理，很容易將布林代數
轉換成完全由通用閘（NAND Gate 或 NOR Gate）
所組成的邏輯電路，具有容易設計、製造成本低
（因使用的 IC 數較少）之優點。下列為針對全部
由 NANDGate 或 NOR Gate 的邏輯電路化簡方法。
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1.
多層 NAND Gate 邏輯電路分析
邏輯電路若是由多層的 NAND Gate 所組成，
則將標示為奇數層的 NAND Gate，全部轉換成具
反相輸入的 OR Gate；而標示為偶數層的 NAND
Gate，則保持不變。
2. 多層 NOR Gate 邏輯電路分析
簡化的方法與多層的 NAND Gate 邏輯電路分
析類似，所不同的，只是將標為奇數層的NOR
Gate，全部換成具反相輸入的 AND Gate。
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布林代數的基本定理
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邏輯閘的互換
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邏輯閘的互換
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