一.基本点对称操作

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§1.4晶体结构的对称性
平移操作______周期平移T,
分数周期平移T/n
晶体操作
点操作(至少一点不动)
_____旋转、反演、镜象等
一.基本点对称操作
1.旋转操作:将晶体绕某轴旋转一定角
度 后,晶体能自身重合的操作。
若转动的角度θ=2π/n ,则称该轴为n度旋
转轴。
由于晶体周期性的制约,晶体只有1,2,
3,4,6五种转轴,常用C1,C2,C3,C4,
C6表示。请看动画《对称操作》
说明:传统的讲法认为,晶体不存在五
重轴。
2
2
2.中心反演对称性(用i表示)
以晶体中一点O为中心。将
晶体中的位矢r变为- r以后,
晶体完全重合的操作。
O点称为反演中心。
请看动画GT009b
3.镜象操作---用σ表示
在晶体中选一平面,以这平面为镜面进
行镜象操作,若操作后晶体能自身重合,
则说该晶体具有镜象操作对称性。
若镜面是与X轴垂直的Y-Z面,镜象操
作相当于坐标变换:x
-x, y,z不变。
请看动画《GT009》
4.旋转-反演操作(象转操作)
若绕某轴旋转θ=2π/n 角度后再经中心
反演,晶体能自身重合,则称该操作为旋
转-反演操作,此轴称为n度旋转-反演
轴。n=1,2,3,4,6.分别用 C1,C2,C3,C4,
C6表示。
可以证明, C1
i
C2
σ镜面垂直于转轴
C3 i (表示联合操作)
C3
类似,C6
C3 σ( σ与C3轴垂直)
以上要求左、右互为充要条件,且
C3 ,C6与C3 为同一转轴。
c
注意: 4与C4,i并不互为充要条件。
请看动画GT021a和GT021b。
可选以下操作为晶体结构基本
点对称操作
C1,C2,C3,C4,C6,i,σ, C4
共八个
把晶体按照点对称性进行分类,可分成
32类,称为32种点群,
把B格子按照点对称性进行分类,可分成
7类,称为七种晶系。
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二.分数周期平移T/n
平移:a.周期平移T,晶体自身重合;
b.分数周期平移T/n,本身并不能使晶体
自身重合,而与转动或镜象操作结合后
才能使晶体重合,即二者结合构成一个
操作。
1.n度螺旋轴U:绕轴旋转2π/n,再沿该轴平移
L×T/n,其中T为轴方向的周期,n=1,2,3,4,6,
L为小于n的整数。
2.滑移反映面
先经过某面进行镜象操作,再沿平行于
该面的某个方向平移T/2后,晶体自身重合,
则称该面为滑移反映面。(见图)
考虑了平移操作后,晶体
共有230种对称类型,称为
230种空间群
B格子共有14种对称类型,
称为14种B格子。
四.七种晶系和十四种布拉菲格子
晶体结构
布拉菲格子
•
7
• 点群数
32
• 空间群
230
•
(七种晶系)
14
(十四种B格子)
讨论:
超出空间群的结构
1. Penrose拼砌图和准晶
在急冷的Al-Mn合金中获得了
具有二十面体对称性(包括五重对
称轴)、斑点明锐的电子衍射图。
可认为,这是三维准周期结构,简
称准晶(quasicrystal)。
2.色群和磁结构
如果我们将太极图沿垂直于
图面的轴旋转180’,再引入一个
新的对称操作:黑白颠倒,图形
就可以复原。
黑白群也可以看作三维空间群朝四维的推广,
而第四个维度限于两种值:黑与白,正与反。
当然可以推广到多种颜色。还可以是波函数的
相位、自旋、电荷符号等。这类广义的对称群
被称为色群。
磁结构是由磁性材料的晶体结构加上磁性原子
的磁矩构成的。磁对称群是一种色群,第四个
变量为磁性原子的自旋。在一般的对称操作基
础上,加上使磁矩反转的操作,可把230种空间
群增加到能描述铁磁和反铁磁性晶体对称性的
1651个对称群,这还不包括螺旋磁结构。
3.无公度调制结构
无公度调制是指在基本晶格(周期为a)上

附加一个周期为  的某种调制,/a为无理
数,就得到无公度调制,得到的相为无公度
相。
在无公度相中,调制只对基本晶格产生另
一周期的微扰,基本晶格的衍射图样仍然保
留,但在正常衍射斑点之间偏离有理分数处
出现卫星斑点。
无公度相严格来讲也是一种准周期结构 。
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