Transcript 高观点下的初等数学选讲

高观点下的初等数学选讲
—兼析选修4－2《矩阵与变换》
福建师范大学数学与计算机科学学院
陈清华
Email：[email protected]
网 址：http://math.fjnu.edu.cn
一、矩阵代数（从代数的角度看变换）
1、定义
2、低阶矩阵
3、零矩阵、单位矩阵与纯量矩阵（数量阵）
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一、矩阵代数（从代数的角度看变换）
4、矩阵运算
（1）加法（减法）
（2）乘法（除法？未必都有意义？何时有意义？
类似整数除法）
注：矩阵乘法的几何意义：变换的合成！
（3）数乘“。”（这不同于数与行列式的乘法）
（4）转置（共轭转置）
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一、矩阵代数（从代数的角度看变换）
5、数域F的n*n阶矩阵（即n阶方阵，关于以
上定义的加法、乘法、数乘构成数域F上
的一个n2维非交换，有零因子的代数，即
运算律！）
6、可逆矩阵与矩阵求逆
（1）定义：
（2）可逆阵的判定:
（3）基本性质
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一、矩阵代数（从代数的角度看变换）
（4）可逆阵求逆法
（i）初等变换法
（ii）公式法
（iii）根据变换的几何意义求逆矩阵
（iv）特别地n=2时
7、矩阵的特征值、特征向量与特征多项式
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二、线性变换（从几何角度看变换）
1、向量空间（线性空间）定义回顾
2、低维向量空间
3、基与维数
4、线性变换的定义
5、线性变换与矩阵的一一对应关系
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二、线性变换（从几何角度看变换）
6、可逆线性变换的性质
（1）将直线变成直线
（2）将线段变成线段
（3）将平行四边形变成平行四边形
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三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵
1、旋转变换
设平面上建立了直角坐标系，所有的点绕
原点沿着逆时间方向旋转同一个角度α，
则这个变换是线性变换，求这个线性变换
及对应的矩阵
2、关于原点的中心对称变换是特殊的旋转变
换
3、恒等变换是特殊的旋转变换
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三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵
4、反射变换
证明关于直线Ax+By=0的反射变换是线性
变换，试求出该变换对应的矩阵，它是可
逆矩阵吗？
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三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵
例：平面上建立了直角坐标系，直线l1,l2绕原
点O，倾斜角分别是α，β，设A,B分别是
表示直线l1,l2的反射变换，求
（1） A,B复合变换BA的矩阵
（2） BA的复合AB的矩阵
（3）根据矩阵说明BA,AB是什么变换？
这两个变换是否相同。
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三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵
5、位似变换
6、伸压变换
7、投影变换
注：平面上的变换T有逆变换，必须满足两个条件：
（1）平面上不同的点被T变到不同的点
（2） T将平面变到整个平面。
（由此可知：投影变换不是可逆变换？平面变到一条直
线）
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三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵
8、根据变换的几何意义求矩阵的逆
思考：保持长度不变（内积不变，距离
不变）的线性变换是什么变换？
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a b 


c d 
四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用
1、定理
2、推论
3、定理
例1：求下面图形的面积
（1）平行四边形OABC，其中A(1,1),B(-2,1)
（2）三角形OAB，其中A(1,1),B(-2,1)
（3）平面四边形ABCD，其中A(1,1),B(2,0),C(3,2)
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a b 


c d 
四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用
（4）已知矩形OBCD的顶点A(t,0),B(0,k)，
矩阵
T＝
a b 


c d 
代表的变换个将矩形OABC变到图形OA’B’C’ ，求变换后
的图形OA’B’C’与变换前的图形OABC的面积比。
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四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用
4、定理：线性变量将平面上所有的图形的面积放
大同一个倍数，这个倍数就是变换行列式的绝
对值。
例2、求椭圆x2/a2+ y2/b2 =1（其中a>b>0）的内接
菱形的面积的最大值，以及何时取得最大值。
例3、利用伸缩变换将某个圆变成椭圆x2/a2+ y2/b2
=1 ，利用圆面积公式得出椭圆面积公式
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谢谢！
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