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模糊数学及其应用

主讲人：王 涛
辽宁工业大学理学院


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本书结构
第一篇 模糊数学的基本理论和基本原理
第二篇 模糊数学方法及其在各领域中的应用
第三篇 模糊信息技术与模糊控制


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绪

论

模糊数学
模糊数学的产生
模糊数学的现状与发展前景
模糊数学研究内容
模糊数学应用


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一、模糊数学
模糊数学是精确数学的延伸和推广。
提起数学来，人们很自然就会想到它是精确的，但是
为什么又要有模糊数学呢？这首先要从数学的定义谈
起。
数学的发展阶段
第一阶段：数学是关于数、量、几何图形的科学；
第二阶段：数学是研究量的变化和几何图形变换的科
学；
第三阶段：数学是作为关于现实世界一切普遍性的数
量形式和空间形式的科学。
总之，数学是从量的侧面研究客观世界的一门科。


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一个古希腊问题：早在古希腊时期，人们讨论过这
样一个问题，多少粒种子算作一堆？
显然一粒种子肯定不叫做一堆，两粒也不是…，另
一方面，所有人都能同意，一亿粒种子肯定算作一
堆。那么，适当的界限在哪里？我们能否确定一个
数字，例如325647，超过它就算作一堆，否则便不
算作一堆？如果是这样，325648就构成一堆，而
325647就不构成一堆，这合理吗？当时这个问题是
无从解决的。
问题的困难就在于“一堆”这个概念是模糊概念。


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随着科学研究的不断深入，人们需要研究的关系越来
越复杂，对系统的判别和推理的精确性要求也越高。
为了精确地描述复杂的现实对象，各类新的数学分支
就不断地产生和发展起来，迄今为止，处理现实对象
的数学模型可分为三大类：
(1) 确定性数学模型：这类模型的背景对象具有确定
性或固定性，对象间具有必然的关系。
(2) 随机性数学模型：这类模型的背景对象具有或然
性或随机性。
(3) 模糊性数学模型：这类模型的背景对象及其关系
均具有模糊性。


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什么样的概念叫做模糊概念呢？
在自然界和人类的日常活动中，几乎处处是模
糊现象或模糊概念。

例如:“好”、“坏”、“比较甜”、“物美价
廉”、“地大物博”。
下雨这一自然现象，从倾盆大雨到绵绵细雨，
各种情况都要经常出现，它不以固定不变的一种方
式发生，这就是模糊现象。


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人们为了了解、掌握和处理自然现象，在大脑中所
形成的概念往往是模糊概念，由此形成的划分、判
断与推理也都是具有模糊性。例如，为了描述雨下
的程度，人们可以把它划分为大雨、中雨和小雨，

什么样的雨是大雨？
什么样的雨是中雨？
什么样的雨是小雨？
人们是说不清的，这样的概念就是模糊概念。


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模糊概念举不胜举。胖子、优、良、年轻人、
高个子、漂亮等等。

下雨可以分为大雨、中雨和小雨，这就是模
糊划分。例如今天下雨了，人们便会根据雨
下的程度定为大雨、中雨或小雨，这就是模
糊判断，进而再根据这样的判断推测今年的
收成是好、一般还是坏，这就是模糊推理。


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人们的大脑具有较高的模糊划分、判断和推理的能
力。人们为了表达和传递知识而使用的语言，巧妙
地渗透着模糊性，可以用最少的词汇表达尽可能多
的信息。但是，人们又惯于追求精确性或清晰性，
自从有了数学以后，人们总希望把事物以数字的形
式清楚地表达出来，然而面对模糊现象，人们使用
传统数学会遇到实质性的困难。上面提到的古希腊
问题正说明了精确性与模糊性很早就作为一对矛盾
而出现了。


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•

精确与模糊的矛盾
例如，做化学实验的时候，需要加某种药物，
具体加多少这是要求比较精确的，但是
炊事员在炒菜的时候加入盐和酱油“少许”，
“少许”只是凭炊事员的经验确定，而不需
要也不可能和精确，这是因为炒菜的过程是
比较复杂的，这里面有化学成分的变化，也
有物理作用的变化以及多方面的复杂因素
（如火候、调料、时间等），决不是只列出
一两个方程就能解决的.


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•
•

•
•

它是一个涉及面非常广的“大系统”
很难用过去的传统数学方法来计算
很多是时间和经验的总结
如果非要用精确数学方法去“生搬硬
套”不可，反而会错误百出。


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• 复杂事物有两个突出的特征
一 影响该事物的因素众多
人们又不可能认识全体因素，只能在有限的
一些因素上考察事物。这样一来，本来是清晰的
现象也变得模糊了
二 深度延长难度增大，带来数学模型复杂化。
扎德对精确性与模糊性的对立作了这样的阐述：
“当系统的复杂性日趋增长时，我们作出系统特性
的精确而有意义的描述能力将相应降低，直到达
到这样一个阈值，一旦超过它，精确性和有意义
性将变成两个几乎互相排斥的特性”。


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• 就是说复杂程度越高，模糊性便越强，精确
化程度也就越低
复杂性升高模糊性增加精确性降低
复杂性升高模糊性增加保持或提高精确性
• 欲解决精确性与模糊性之间的矛盾，办法是
在它们之间建起一个桥梁——模糊数学。
• 模糊数学的出现，给我们研究那些复杂得难
以用精确数学模型描述的问题带来了方便而
又简单的方法。


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二、模糊数学的产生
1965年，Zadeh教授发表了开创性的论文《模糊集
合》，标志着一个崭新的学科—模糊数学的诞生。
Zadeh教授通过长期对控制论的研究，深刻地感
到了精确数学的局限性，即有时不能准确地描述客
观现实。这方面的例子在日常生活中比比皆是，比
如在看电视时，要把图象调得更清晰一些，这个连
孩子都能做的事，却成了电子计算机的一大难题。
再如要把汽车停在拥挤的停车场上的一个空位上，
有经验的司机能很快做到，而让计算机控制却难以
实现。


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其原因就在于把电视图象调得“更清晰一些”和找
到拥挤停车场的“可停下一辆车”的空位都是模糊
概念，难以用精确的数学语言来描述，因而难以由
计算机控制。特别在生物学、心理学及社会科学领
域中数学很难发挥作用，因为这些学科的规律太复
杂，现有的数学无法准确地反映它们的真实面貌。
为了对客观事物进行更准确的描述，Zadeh教授将
普通子集的特征函数发展为模糊子集的隶属函数，
将二值逻辑（即非此即彼，如真为“1”，则假为
“0”）改造为多值逻辑，即把｛0,1｝扩充为［0,1］
区间，用［0,1］内的数来描述事物的模糊性。


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这些突破性的工作为计算机模拟人脑的某些思
维方法，提高计算机的思维能力开辟了新的天
地。
由此可知，计算机科学的飞速发展对模糊数学
起了催生的作用，而模糊数学又使计算机在各
领域中发挥出更大作用。模糊数学的产生与发
展有着明显的时代特点，它与计算机、人工智
能和系统工程的发展息息相关。


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三、模糊数学的现状与发展前景
模糊数学诞生至今四十多年来，其发展速度
超出了许多应用数学的学科，并渗透到自然科学、
社会科学的许多领域。尤其在冶金、气象学、生
物学、心理学、电子学、计算机科学、控制论、
物理学、信息论等学科领域中，模糊数学显示出

强大的渗透力。过去不能应用数学的学科，应用
了模糊数学后，取得显著的成果。


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在模糊数学理论迅速发展的同时，模糊技术的开发
应用也取得了显著成果。
•1974年英国工程师Mamdani成功地完成了世界上
第一个模糊控制实例：蒸汽机的模糊控制。
•1976年，英国学者Tong对压力容器内部的压力和
液面进行模糊控制，控制的难点在于非线性、强耦
合以及时间常数相差太大，而用模糊控制收到了较
好的效果。


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1985年以来，日本开始开发模糊家电系列产品和微
型模糊控制系统，目前已获得了很多专利，诸如:
•日立制作所研制的地铁自动操作的模糊控制系统;

•富士电视公司开发的净水工厂药剂投量的自动控
制系统;
•立石电机开发的电梯群运行的管理系统;
•松下电器推出的利用模糊逻辑原理制造的全自动
的模糊洗衣机、电饭锅、微波炉;
•利用二型模糊逻辑系统的移动通信等。


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由于模糊技术设计是人对自然、社会或对人本身
的判断，而每项被控系统缺乏人的感知是难以想

象的，同时模糊技术通常于电子计算机和控制系
统相结合，而电子计算机和控制系统作为人类活

动最基本的工具，目前已被“信息社会”的种种
论断所证明，因此，模糊技术已经成为21世纪的
一项基础技术。


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模糊理论与技术有四大应用领域：
第一是模糊计算机；除具有一般电脑的功能外，还
具有学习、思考、判断和对话的能力，可以立即辨
识外界物体的形状和特征，甚至可帮助人从事复杂
的脑力劳动。目前，世界上发达国家正积极研究、
试制具有智能化的模糊计算机；
第二是决策系统，它能模仿人脑功能对信息加以识
别和理解，对各种复杂对象进行处理。为各种事物
的决策提供可靠的保证；


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模糊理论与技术有四大应用领域：
第三是模糊神经网络技术，它是把经验和知识数学
化的模糊化处理，把规划、推理变成神经网络映射
处理和直接从数据样本中抽取经验规则的模糊神经
网络技术；
第四是模糊自动化控制，这种控制不是简单的开关
型和程序开关型，而是能完成多任务及多目标处理，
具有管理、监控等人工智能的决策能力。


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目前在电子、机械、土建、医疗、农业、气象、
生物及家用电器等许多领域内，已有上千项实用有
效的模糊技术成果正在为人类造福，产生了巨大的
经济效益。在这四方面的应用领域中以模糊控制及
模糊神经网络技术最为活跃和引人注目。
我国的模糊数学研究工作开始于70年代，在老一
辈数学家的扶持和带动下，对模糊数学展开了多方
面的研究，虽然起步较晚，但发展十分迅速，并已
取得可喜成果，部分理论研究水平处于国际领先地
位。从目前的国际发展概况与阵容来看，北美、欧
洲、日本和中国被认为是国际模糊数学的四大主力。


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四、模糊数学研究内容
• 第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、
随机数学的关系。Zadeh以精确数学集合论为基础，
并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他
提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模
型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规
律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究
现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来
相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数
学方法。


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• 第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。人类自然语言
具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，
并能做出正确的识别和判断。

• 为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必
须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，才能
给计算机输入指令，建立合适的模糊数学模型，这
是运用数学方法的关键。扎德采用模糊集合理论来
建立模糊语言的数学模型，使人类语言数量化、形
式化。


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• 第三，研究模糊数学的应用。
• 模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。是
一门新兴学科，它已初步应用于人工智能、图像处
理、自动控制、模式识别、聚类分析、语音识别、
信号检测与参数估计、模糊决策、模糊评判、系统
理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气
象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研
究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机
职能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切
的联系。


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五、模糊数学的应用
1、多因素综合决策
在工程科学中，一般都要同时考虑多种因素的影响，
因而就涉及到多因素综合决策的问题。
2、模糊模式识别

模糊模式识别，不仅包含有图形、图像识别、文字
识别以及模糊系统辨识等，它还有在其他方面的
应用，例如，机械系统的模糊故障诊断，样品归
类判别等等。


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3、工程模糊优化设计
自从电子计算机问世并普遍使用以来，最优
化设计理论和方法的研究，几乎在各个工程科学
的领域里都在普遍地开展。如果优化设计的目标
或约束条件带有模糊性，或者存在有各种模糊因
素，就需要运用模糊规划的理论和方法进行优化
设计。这是当前多内外不少人感兴趣的一个理论
性和实用性很强的课题。
4、模糊控制
对于那些难以建立清晰数学模型的控制系统，
模糊控制器能够发挥良好的作用，国外七十年代
在这方面进行了大量的应用性研究，涉及到能源、
交通、热交换、压力容器、烧结工厂等多方面的
控制问题，取得了良好的效果。


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5、模糊信息处理
在通信、声纳、雷达、成像、导航、制导、空
间测控等各种电子系统中，信息处理（信号处理、
数据处理、图像处理等）占有特殊重要的地位，统
计学方法是研究电子系统中信息处理问题的主导性
方法。随着模糊数学的兴起，这种局限性已变得明
朗起来，并日益为人们所理解和重视。就拿雷达目
标检测来说，有时会遇到这样的情况，即用机器
（按统计信息处理理论设计而成的）自动检测目标
的效果往往赶不上熟练的雷达操作员在雷达荧光屏
上凭经验检测目标的结果。特别是目标背景比较复
杂时情况更加如此。


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6、系统的预测和评估
目前，在气象、环保、医学等学科中对这方面

的应用研究比较活跃，它对于工程也是适用的，例
如工程投标快速报价，山区小流域洪水预报等，存
在着许多模糊因素或缺乏必要的资料，应用模糊数
学的方法进行预测，将可取的较好的效果。


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• 模糊数学是运用数学方法研究和处理模糊性
现象的一门数学新分支。
• 它以“模糊集合”论为基础。模糊数学提供
了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方
法，是描述人脑思维处理模糊信息的有力工
具。它既可用于“硬”科学方面，又可用于
“软”科学方面。


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刘应明教授，毕业于北京大学数学力学系。中科院院士，工
作在四川大学，中国系统工程学会模糊数学与模糊系统学会
首届副理事长。模糊数学奠基人、美国Zadeh教授把刘归属
于对模糊数学理论方面有突出贡献的几位学者之一。研究模
糊拓扑学。

汪培庄教授，毕业于北京师范大学数学系。广州大学副校长，
中国模糊数学与模糊系统学会副理事长，《模糊数学》杂志
副主编。研究模糊集论与随机落影研究。曾在北师大建立了
模糊数学实验室。


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李洪兴教授，毕业于南开大学数学系与北京师范大学数学
系，大连理工大学模糊信息处理与机器智能研究所所长。
中国人工智能学会理事兼智能系统工程委员会副主任，国
际一般系统学会中国分会模糊系统委员会副理事长，《系
统工程学报》，《模糊系统与数学》编委，研究应用数学，
控制理论与控制工程，模式识别与人工智能。李洪兴教授
课题组于2010年6月18日在世界上首次实现了空间四级倒
立摆实物控制。
张文修教授，毕业于南开大学数学系，西安交通大学研究生
院院长。曾任中国数学会常务理事，陕西省数学会会长, 工
程数学学报杂志主编，模糊系统与数学杂志副主编等。研究
模糊数学，控制理论，人工智能，粗糙集理论。


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吴望名教授，毕业于北京师范大学，现任上海师大数学
系主任，中国系统工程学会模糊数学与模糊系统学会副
理事长，中国现代设计法学会模糊结构设计学会常务理
事，《模糊系统与数学》杂志副主编，广州大学模糊系
统与知识工程研究所兼职 。研究模糊群，模糊图，模糊
推理等。
吴从炘教授，数学科学研究所名誉所长（哈尔滨工业大
学数学系），中国系统工程学会模糊数学与模糊系统委
员会名誉主任委员；《模糊系统与数学》副主编，中国
模糊数学与模糊系统专业委员会委员，美国模糊数学杂
志、日本数学、模糊数学评论（印度）编委。研究 泛
函分析、模糊数学，模糊分析等。


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柴天佑教授，毕业于东北大学获工学博士，中国工程院院
士，控制科学与工程专家。现任东北大学自动化研究中心
主任，国务院学科评议组成员，国家“十五”八六三计划
先进制造与自动化技术领域专家委副主任。曾任国际自动
控制联合会（IFAC）技术局成员及IFAC制造与仪表技术协
调委员会主席。从事智能解耦控制、自适应控制、过程工
业综合自动化等领域的应用基础和工程技术的研究。创建
了东北大学自动化研究中心，并使之成为国家工程技术研
究中心。
王伟教授，毕业于东北大学获工学博士，大连理工大学电
子信息与电气工程学部部长，国际自动控制联合会低成本
技术委员会委员。从事复杂工业过程建模、控制与优化，
流程工业生产计划于优化调度等研究。