Transcript 最短路问题的数学模型

第四章 运筹学模型
本章重点：
线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型
及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题
1．营养配餐问题的数学模型
min Z  C1x1  C2 x 
Cn xn
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1 ,

a 21 x1  a 22 x 2    a 2 n x n  b2 ,

st 
  
a x  a x    a x  b ,
m2 2
mn n
m
 m1 1
 x j  0( j  1,2,  , n)
上式可更简洁的写为
min Z 
n
C x
j 1
j
j
n
 aij x j  bi
 j 1
s t  
 x  0 (i  1,2,, m)
 j
j  1,2,, n
其中的常数 C j表示第j种食品的市场价格，aij表示第j种
食品含第i种营养的数量，bi表示人或动物对第i种营养
的最低需求量.
2．合理配料问题的数学模型
有m种资源B1，B2，…，Bm,可用于生产n种代
号为A1，A2，…，An的产品．单位产品Aj需用资源
Bi的数量为aij，获利为Cj单位，第i种资源可供给总
量为bi个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？
设生产第j种产品xj个单位（j=1,2,…,n），则
有
max z 
n
C
j 1
j
xj
n
 aij x j  bi
 j 1
st 
 x  0  i  1,2,  , m 
 j  1,2,  , n 
 j



3．运输问题模型
运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量
设置为双下标变量．假如问题具有m个产地和n个销地，
第i个产地用Ai表示，其产量为ai(i=1,2,…，m)，第j个
销地用Bj表示，其销量为bj (j=1,2,…,n)，从Ai运往Bj
 a  表示产销平衡．
b
的运价为cij, 而
m
i 1
n
i
j 1
j
那么产销平衡运输问题的一般模型可以写成为
m
n
min Z   cij xij
i 1 j 1
 n
 xij  ai
 j 1

m
s  t   xij  b j
 i 1

 i  1,2,  , m 


 xij  0

 j  1,2,  , n 

4．目标规划模型
某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产
品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部
门处理.已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120
小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它
数据如下表
项目
数据
产品
甲车间加
工（时/件）
乙车间加
工（时/件）
检验销
售（元/件）
利润
（元/件）
Ⅰ
2
1
50
100
Ⅱ
1
3
30
75
工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售
及检验等方面都能达标
问题分析与模型假设
经与工厂总经理交谈，确定下列几条：
p1: 检验和销售费每月不超过4600元；
p2: 每月售出产品I不少于50件；
p3: 两车间的生产工时充分利用（重要性权系数按两
车间每小时费用比确定）；
p4：甲车间加班不超过20小时；
p5：每月售出产品Ⅱ不少于80件；
p6：两车间加班总时数要有控制（对权系数分配参
照第三优先级）.
模型建立


min z  p1d1  p2 d 2  p3 (4d3  d 4 )  p4 d5  p5 d 6  p6 (4d 3  d 4 )
50x1  30x 2  d1  d1



x

d

d

1
2
2



2
x

x

d

d
1
2
3
3


st 
x1  3 x 2  d 4  d 4




d

d

d
3
5
5


x 2  d 6  d 6

 x1 , x 2  0, d l , d l  0
 4600
 50
 120
 150
 20
 80
(l  1,2,  ,6)
5．最小树问题
一个图中若有几个顶点及其边的交替序列形成闭回
路，我们就说这个图有圈；若图中所有连顶点间都有边
相接，就称该图是连通的；若两个顶点间有不止一条边
连接，则称该图具有多重边.
一个图被称为是树意味着该图是连通的无圈的简单
图．
在具有相同顶点的树中，总赋权数最小的树称为最
小树.最小树的求法有两种，一种称为“避圈法”，一种是
“破圈法”，两法各具优缺点，它们具有共同的特征——
去掉图中的圈并且每次都是去掉圈中边权较大的边．
6．最短路问题的数学模型
最短路问题一般描述如下：在一个图（或者说网
络）中，给定一个始点vs和一个终点vt，求vs到vt的一
条路，使路长最短（即路的各边权数之和最小）．
狄克斯屈（E.D.Dijkstra）双标号法
该法亦称双标号法，适用于所有权数均为非负（即
一切 wij表示顶点vi与vj的边的权数）的网络，能够求出
网络的任一点vs到其它各点的最短路，为目前求这类网
络最短路的最好算法．
该法在施行中，对每一个点vj都要赋予一个标号，
并分为固定标号P（vj）和临时标号T（vj）两种，其含
义如下：
P（vj）——从始点vs到vj的最短路长；
T（vj）——从始点vs到vj的最短路长上界．
开始先给始点vs标上P标号0，然后检查点vs，对其
一切关联边（vs, vj）的终点vj，给出vj的T标号wij；再
在网络的已有T标号中选取最小者，把它改为P标
号．以后每次都检查刚得到P标号那点，按一定规则修
改其一切关联边终点的T标号，再在网络的所有T标号
中选取最小者并把它改为P标号．这样，每次都把一个
T标号点改为P标号点，因为网络中总共有n个结点，故
最多只需n-1次就能把终点vt改为P标号．这意味着已求
得了vs到vt的最短路．
狄克斯屈标号法的计算步骤如下：
１. 令S={vs}为固定标号点集， S  V \ {vs }为临时标号
点集，再令 P(vi )  0 ， vt
S
2. 检查点vi，对其一切关联边（vi，vj）的终点 v j
计算并令
min{T (v j ), P(vi )  wij }  T (v j )
S
狄克斯屈标号法的计算步骤如下：
3. 从一切中选取并令
min{T (v j )}  T (vr )  T (vr )
选取相应的弧（vi, vr）．再令
S  {vr }  S , S \ {vr }  S
4. 若 S   ，则停止，P(v j )即vs到vj的最短路长，特别
P(vt ) 即vs到vt的最短路长，而已选出的弧即给出vs到
各点的最短路；否则令 vr  vi ，返2．
5. 若r = t则结束，P(vr )即为所求最短路长；否则令
vr  vi ，返2.