Transcript 图论模型

数学建模
图论方法专题
图论的基本概念
问题1:七桥问题
能否从任一陆地出发通过每座桥恰好一次而
回到出发点？
C
A
B
D
哥尼斯堡七桥示意图
图论的基本概念
七桥问题模拟图:
C
B
A
D
欧拉指出：如果每块陆地所连接的桥都是偶数座，则
从任一陆地出发，必能通过每座桥恰好一次而回到出
发地。
用图论思想求解以下各题
例1、一摆渡人欲将一只狼，一头羊，一篮菜从
河西渡过河到河东，由于船小，一次只能带一物
过河，并且，狼与羊，羊与菜不能独处，给出渡
河方法。
离散状态空间:
用三维0-1向量表示（狼，羊，菜）在西岸状态，（在西岸则分量取0，否则
取1）
列出所有可能的状态
向量
位置
(0,0,0)
初始状态，狼，羊，菜均在西岸
(1,0,0)
狼已过河，羊，菜在西岸
(0,1,0)
羊已过河，狼，菜在西岸
(0,0,1)
菜已过河，羊，狼在西岸
(1,1,0)
羊，狼已过河，菜在西岸
(0,1,1)
羊，菜已过河，狼在西岸
(1,0,1)
狼，菜已过河，羊在西岸
(1,1,1)
目标状态，狼，羊，菜都已过河
问题：沿立方体的边寻找一条从 (0,0,0) 到 (1,1,1)的允许路径.
首先我们要删去一些引起某东西被吃的边。
被删的边
原因
(0,0,0)到(1,0,0)
羊吃菜
(0,0,0)到(0,0,1)
狼吃羊
(0,1,1)到(1,1,1)
羊吃菜
(1,1,0)到(1,1,1)
狼吃羊
解答1
解答2
例2、考虑中国象棋的如下问题：
（1）下过奇数盘棋的人数是偶
数个。
（2）马有多少种跳法？
（3）马跳出后又跳回起点，证
明马跳了偶数步。
（4）红方的马能不能在自己一
方的棋盘上不重复的跳遍每一
点，最后跳回起点？
立即疯 (Instant Insanity puzzle)


游戏道具：四个六个侧面上涂上四种不同的颜
色的立方体，比如红，绿，蓝、白
注：正面均为白色
游戏目标：把四个正立方体叠成一个正立方棱
柱，使棱柱的四个侧面都分别有四种颜色。
游戏难度

每个立方体有24种不同的放置方法。
四个正立方体叠成一个正立方棱柱，所有可能的叠放
方式数为
4! × 244 = 7962624


穷举所有可能来求解显然不可行， 会把你搞疯的。
游戏求解（图论模型）


每种颜色用一个顶点来表示
对于第i个立方体, 在相对面对应颜色的顶点连一条边，
并给予标号i.
如对应第1个立方体：
前=白, 后=蓝, 白色顶点，蓝色顶点间连一条标号为1的
边；
左=红, 右=红, 红色顶点上加一条标号为1的环；
上=绿, 下=蓝, 绿色顶点，蓝色顶点间连一条标号为1的
边。
1

1
1
立方体1的图论表示.
图论模型
4
3
4
2
3
2
3
2
4
立方体2
立方体3
立方体4
立即疯图论模型

由四个立方体的图论模型构造4个顶点，12条边的多重图.
3
4
1
1
4
3
1
2
4
3
2
2
图论模型
4
3
4
2
3
2
3
2
4
立方体2
立方体3
立方体4
立即疯图论模型

由四个立方体的图论模型构造4个顶点，
12条边的多重图.
3
4
1
1
4
3
1
2
4
3
2
2
游戏解的图论特征

假设四正立方体已按要求叠成一个正立方棱柱.



画出多重图中和前后面相对应边的生成子图。
画出多重图中和左右面相对应边的生成子图。
子图的特征:




包含四个顶点.
包含分别来自四个不同立方体所对应图的四条边。
每条边只出现一次。
每个顶点的度数均为2.
一些子图

在前面的图中，可以找的如下三个边不交的子图.
3
4
1
2
3
3
2
1
4
A
B
4
1
2
C
一些子图


其中有两个子图满足要求.
一个用来表示左右侧面，另一个用来表示前后侧面。
3
4
2
3
1
左右侧面

4
1
2
前后侧面
接下来就可以按上面两图来叠放四个立方体.
实验1 如图为一个宝窟的示意图,它共分为16个房间,
房间都是连通的,每一间地上都有数量不同的金块。
你可以从入口进去,但必须从出
口出来,每到一间房内就捡起那
里面的全部金块,不过每个房间
9
3
8
7
6
11
13
4
10
1
9
2
1
7
5
30
只能进去一次.(图中假设左侧
表示入口,右侧表示出口)
问题1：试问你最多可以捡到多
少块金块?并说明你的算法。
问题2：如果出入口位置发生改变，结果又将如何？