Transcript 9.实际问题变为数学问题的方法

9.1 代数方法
9.2 数列方法
9.4 类比方法
习题
9.1. 代数方法
加工奶制品的生产计划的数学模型
M a x z  7 2 x1  6 4 x 2
x1  x 2  5 0
1 2 x1  8 x 2  4 8 0
3 x1  1 0 0
x1 , x 2  0
例2 市场分析问题
问题的提出
我国某市场有三种同类型的啤酒产品参与竞争。为了解竞争情况，调查人员按月来
评估三种啤酒的销售情况。调查开始时，三种啤酒的消费者百分比分别为：0.2，0.3，
0.5。
市场调研发现如下消费规律:
第一种啤酒的消费人群每月发生消费习惯变化情况为：
80%还保持消费第一种啤酒；10%转向消费第二种啤酒；10%转向消费第三种啤酒；
第二种啤酒的消费人群每月发生消费习惯变化情况为：
70%还保持消费第二种啤酒；20%转向消费第一种啤酒；10%转向消费第三种啤酒；
第三种啤酒的消费人群每月发生消费习惯变化情况为：
60%还保持消费第三种啤酒；10%转向消费第一种啤酒；30%转向消费第二种啤酒。

xj 
x
, x 2 j , x3 j
1j

T
, j  0,1, 2,
x0 
 x1 0 , x 2 0 , x 3 0 
T

 0 .2, 0 .3, 0 .5 
T

3
0  a ij  1
 i, j,

x ij  1,
i 1
 0.8

A  0.1

 0.1

 0.27 


x1  0.38 ,


 0.35 


0.2
0.1
0.1
 a1 1

A  a 21

a
 31
0.1 

0.3 ,

0.6 
 0.442 


, x 8  0.357 ,


 0.201 


a1 2
a 22
a32
 x1 j
a1 3 


a 23 , x j   x 2 j

x
a 3 3 
 3j
 0.2 


x 0  0.3


 0.5 


, x16
 0.450 


*
 0.350  x17  x


 0.250 








x17  A x16
 x  Ax
*
*
例3.过河问题
问题的提出
3名商人都随身带有宝物并各带1名随从乘船渡河。渡河的船是只能容
纳2人的小船,且渡船只能由他们自己划行。这些随从心怀鬼胎做出密约：
在河的两岸,一旦随从人数比商人多,就杀商人抢财宝。不过此密约被商人
得知。好在如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中,问商人们怎样安排每
次乘船方案,才能安全渡河呢?
问题分析
本题中商人要安全渡河，由于渡船一次只能容纳两人，故3名商人
不可能一起乘船一次全都过河，只能分批过河。此外，由于会发生在河
岸商人少于随从时出现杀商人夺宝的情况，为避免此情况发生，一些商
人或随从要多次在两岸反复过河多次。

9.2. 数列方法
例1 污水处理问题
问题的提出
某城市的一个污水处理厂每小时可以去掉污水池中剩余污物的15%，问
1天后污水池中还剩多少污物？要多长时间才能把池中的污物减少为原
来的10%？
9.3. 微分方程方法
9.4. 类比方法
例1. 遗传进化的数学描述
遗传算法简介
遗传算法（Genetic Algorithm, GA)是模拟生物在自然环境下的遗传和
进化过程而形成的一种自适应全局优化概率搜索方法，也是一种数学模型。
它借助生物遗传学的观点，通过自然选择、遗传、变异等作用机制，实现种
群进化的寻优。该算法的思想是美国密歇根大学心理系和计算机与电子工程
系的Holland教授在1962年首次提出的，经过多年的发展，已经具有比较完善
的理论基础。
遗传算法的应用
遗传算法提供了一种求解复杂系统优化问题的通用框架，它不依赖于问
题的具体领域，对优化函数的要求很低，并且对不同种类的问题具有很强的
鲁棒性，特别适用于复杂问题寻找最优解。目前广泛应用于计算机科学、工
程技术和社会科学等领域。
遗传算法的生物学知识
生物遗传有关的概念
细胞(Ce11)：在自然界中，构成生物基本结构和功能的单位
染色体(Chromosome)：细胞中含有的一种微小的丝状化合物，生物的所有遗
传信息都包含在这个复杂而又微小的染色体中
脱氧核糖核酸(deoxyribonucleic acid 简称DNA)：组成控制并决定生物
遗传性状的染色体的物质
基因(Gene)： DNA长链结构中占有一定位置的基本遗传单位。遗传信息是由
基因组成的，生物的各种性状由其相应的基因所控制。
生物遗传的方式
1）复制(Reproduction)
生物的主要遗传方式是复制。遗传过程中，父代的遗传物质DNA被复制到
子代。即细胞在分裂时，遗传物质DNA通过复制而转移到新生的细胞中，
新细胞就继承了旧细胞的基因
2）交叉(Crossover)
有性生殖生物在繁殖下一代时，两个同源染色体之间通过交叉而重组，亦
即在两个染色体的某一相同位置处DNA被切断，其前后两串分别交义组合
而形成两个新的染色体。
3）变异(Mutation)：
在进行细胞复制时，虽然概率很小，仅仅有可能产生某些复制差错，从而
使DNA发生某种变异，产生出新的染色体。这些新的染色体表现出新的性
状。如此这般，遗传基因或染色体在遗传的过程中由于各种各样的原因而
发生变化。
2. 生物进化的特点
(1) 生物的所有遗传信息都包含在其染色体中，染色体决定了生物的性状；
(2) 染色体是由基因及其有规律的排列所构成的，遗传和进化过程发生在染色
体上；
(3) 生物的繁殖过程是由其基因的复制过程来完成的；
(4) 通过同源染色体之间的交叉或染色体的变异会产生新的物种，使生物呈现
新的性状；
(5) 对环境适应性好的基因经常比适应性差的基因有更多的机会遗传到下一代
三、生物进化过程的数学表示
1.生物遗传进化过程
1）随机选择一个种群；
2）种群的个体之间进行繁衍产生新一代群体；
3）计算群体中每个个体的适应度；
4）选择出新的种群并在其中再进行繁衍；
5）计算新繁衍群体每个个体的适应度；
6）判断新繁衍群体中是否有达到要求的个体，若有，给出该个体并退
出，否则返回第4）
复制
复制算子
交叉
交叉算子
突变
突变算子
交叉算子
交叉算子是两个个体的运算，有单点和多点交叉之分。

复制算子
轮盘赌选择方法
基本思想
体现个体被选中的概率与其适应度函数值大小成正比，该方法蕴
含着很好的用数学方法描述某种目的内容。
模型假设
模型建立


实际问题转化为数学问题的步骤：
1.掌握问题的实际背景，收集了解必要的数据资料；
2.明确目的，通过对资料的分析，找出其主要因素，经过必
要大胆的精炼，简化，提出若干符合客观实际的假设；
3.根据自己对问题的理解和熟悉的数学知识，引入数学符号
和函数来描述所讨论的问题。采用何种数学结构，数学工具
要看实际问题和自己的知识而定，无固定单一的模式。
4.建立把实际问题变为数学问题时适当辅助以图形，可以达
到事半功倍的效果。
习
题
食谱问题：
某公司饲养实验用的动物以供出售，已知这些动物的生长对饲料中
三种营养成分：蛋白质、矿物质、维生素特别敏感，每个动物每天
至少需要蛋白质70g，矿物质3g，维生维10mg，该公司能买到5种不
同的饲料，每种饲料1kg所含营养成分如表1所示，每种饲料1kg的成
本如表2所示。
表1 五种饲料单位重量(1kg)所含营养成分
表2 五种饲料单位重量(1kg)成本
要想求既能满足动物生长需要，又使总成本最低的饲料配方，其对
应的数学问题是什么？
2. 海战战术问题
甲有战舰33艘，乙有战舰27艘，针对如下两种情况，甲乙双方开战的
结局是什么？
3. 一个摆渡人欲将一只狼，一头羊和一篮白菜渡过河，由于船小，摆
渡人一次至多带一物过河，并且狼与羊，羊与白菜不能离开摆渡人时
放在一起，请把本问题变为数学问题，并给摆渡人设计出一种渡河方
法。
4. 遗传进化数学表示一节中有几处内容涉及把实际问题变为数学问题
？请逐一指出。