Transcript 初中数学教学中容易混淆的几个问题1

初中数学教学中容易混淆的几个问题
福建省三明市三元区教师进修学校
徐建平
一、“近似数260000”和“近似数26
万”
一、“近似数260000”和“近似数26
万”
x
x
近似数260000，精确到个位，有6个
有效数字，它的精确值 满足259999.5≤
＜260000.5；而近似数26万，精确到万位，
x
有2个有效数字，它的精确值x满足25.5万
≤ ＜26.5万．前者约等于26万个1，后
者约等于26个万，两者是不相同的.
例4：据中国统计信息网公布的2000年中国第五次人
口普查资料表明，我国的人口总数为1295330000人.请按
要求分别取这个数的近似数,并指出近似数的有效数字(数
据来源:www.stats.gov.cn)
⑴精确到百万位；
⑵精确到千万位；
⑶精确到亿位；
⑷精确到十亿位；
教科书本例的解答是：
解 ⑴精确到百万位，就得到近似数1295000000，
用科学记数法记作1.295×109.这个数有4个有效数字,分别
是1，２，９，５；
⑵、 ⑶ 、⑷略．
(12.95亿)
据生物学统计,一个健康的成
年女子体内每毫升血液中红细胞
的数量约为420万个，用科学记数
法可表示为（ ）.
参考答案是4.2×106个.
a
ax

二、“b
bx
ax
a

”和“
bx
b
”
a
ax

二、“b
bx
a
ax

b
bx
ax
a

”和“
bx
b
”
a
b
在
中，已知的分式是 ，由于x
a
ax
有等于零的可能，所以 b 不能变为 bx ；
ax
ax
a
而 bx  b 中，已知的分式是 bx ，这就隐含着
ax
a
条件x≠0，所以 bx 可以变形为 b ．教学
a
ax
ax
a


中，容易因 b bx 不成立，而误认为 bx b
也不成立．
a2
1
1
例１⑵解
. 2
 ...... 2
a  2 a  2a
a  2a
a 1
a 1
a2
 2
 ......
2
a  2a  1
a  4a  4 a  4
2
例２⑵解
习题第1题解
3x
x
x2

 ......
2
2
x  3 3  x
x  3
2
x
x  3x  3
三、“数的判别”和“式的判别”
x2
三、“数的判别”和“式的判别”
数的判别，应以数的实质来确定．例如，
4
不能因它带有根号而认为是无理数，应根据 4
＝2的实质确定它是有理数；而式的判别，应以
式子所呈现的表面形式来确定．例如，x  2 x 的
表面形式是两个单项式的和，尽管它化简的结
果是单项式3 x，但 x  2 x 仍应看作多项式．同样，
2
( x  1)
x
和 +1在
取实数时是恒等的，但前者称为分
x
x 1
式，后者称为整式．教学中，常有教师将数的
判别方法类比为式的判别方法，而导致错误．
x2
2
2
2
x 3 x  2 y 8 x 2 y  x 9
3
2
3
1
1
x
 1
x 1
x 1
x2
x  x  1 x
1
x
x
x ≠±2”
四、“x ＝±2”和“
x ≠±2”
四、“x ＝±2”和“
x＝±2是 x＝2或 x ＝-2的合并写
法，也可以写成 x1＝2, x 2＝-2；而 x
≠±2则是 x ≠2且 x ≠-2的合并法．在
这里，既有等号与不等号的区别，也有
“或”与“且”这两个连接词的区别．
x
设关于 的一元二次方程的两个根的值分
别为 m、n ，则方程的两个根可表示为：
⑴ x1  m，x2  n；
 m, 或x  n （逗号可以省去）；
x1  m和x2  n.
⑵x
⑶
注意不要用“x1  m，或x2  n ”这
种形式，不能用“
”这种形
x1  m且x2  n
式.
当 m，n 互为相反数时,还可以表示为
x   m (或 x   n )的形式.
y =2
x +3（x ≥0）”和
五、“函数
x
x
“函数
=2 +3
（0≤ ≤6）”
y
y =2
x +3（x ≥0）”和
五、“函数
x
x
“函数
=2 +3
（0≤ ≤6）”
x
y
x
x ≥0)的图象是一条射
x
函数y=2 +3(
线；而函数y=2 +3 (0≤ ≤6)的图象是
一条线段．因此它们是两个不同的函数，
也就是说，如果两个函数的自变量取值
范围不同，那么不管它们的解析式是否
相同，都应是不同的函数．
第80页的案例和教学建议是：例 已知摄
氏温度（ＯC）和华氏温度（ＯF）有如下关系：
摄氏温度/ＯC
华氏温度/ＯF
0
32
10
50
20
68
30
86
40 50
104 122
在平面直角坐标系中，通过描点观察点
的分布情况，建立满足上述关系的函数表达
式.
教学中，可指导学生开展如下的活动：
① 描点：根据表中的数据在平面直角坐
标系中描出相应的点.
② 判断：判断各点的位置是否在同一直
线上.(可以用直尺去试，或顺次连接各点，观
察所有的点是否在同一直线上)
③ 求解：在判断出这些点在同一直线上
的情况下，选择两个点的坐标，求出一次函数
的表达式．
④ 验证：验证其余的点的坐标是否满足
所求的一次函数表达式．
教学建议中本案例的解答产生漏解．虽
然求出的一次函数表达式满足条件，但是由
于案例给出的条件不是所求函数为一次函数
的充分条件，因此建立的函数表达式不一定
9
就是一次函数．例如，函数表达式 y  x  32
5
 x( x  10)(x  20)(x  30)(x  40)(x  50) 也满足
条件．事实上，满足条件的函数表达式有无
数个，都要一一求出是不可能的，因此案例
本身也不严谨．若将原案例改为：“……，
建立满足上述关系的一个函数表达式．” 解
答者就能根据自己的知识结构解答本案例．
根据下列表格中 x与
y 的对应数值,
x
…
1
2
3
y
…
6
3
2
4
5
1.5 1.2
6
…
1
…
⑴在直角坐标系中,描点画出图象;
⑵试求所得图象的函数解析式,并写出自变
量 x 的取值范围.
6
6
y
y  （x
x  ( x  1)(x  2)(x  3)(x  4)(x  5)(x  6)
x
y

ax

bx

c
x
六、“二次函数
的图象与
轴有一个交
2
y  ax  bx  c
x
点”和“函数
的图象与
轴有一个交点”
2
y

ax

bx

c
x
六、“二次函数
的图象与
轴有一个交
2
y  ax  bx  c
x
点”和“函数
的图象与
轴有一个交点”
2
2
y

ax
 bx  c 的图象与 x 轴有一个交
二次函数
2
y

ax
 bx  c 是二次函数,这就包含着条
点，已指明
2
a

0
x
y

ax

bx

c
件
，二次函数
的图象与
轴的交
b
2
(

,
0
)
y

ax
 bx  c 的图象与x 轴有一
点为
;而函数
2
2a
个交点，没有指明 y  ax  bx  c 是二次函数，因此存
2
a

0
在两种情况：(1)当
b 时,二次函数y  ax  bx  c 的
图象与x 轴的交点为 (  2a ,0).(2)当 a  0 时，一次函
c
数 y  bx  c 的图象与x 轴的交点为 ( ,0) ．教学中，
b
容易将后者混同于前者，而产生漏解.
小明的父母出去散步，从家走了20分到一
个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回．父
亲看了10分报纸后，用了15分返回家．下面的图
形中哪一个表示父亲离家的时间与距离之间的关
系？哪一个表示母亲离家的时间与距离之间的关
系？
1．缺少条件“匀速”.若从家到报亭
（或返回）不是匀速散步，则易知表示这个
时段内离家的时间与距离之间关系的图象不
是一条线段．然而，题目所提供的四个备选
图形中表示这个时段内的图象却都是一条线
段，即没有一个符合要求．
2. 混淆概念“距离”与“路程”.若散步
的路
线不呈直线形，不妨设为 AB
弧（如图2），则由图2可以
看出，从家到报亭（或返回）
的散步过程中离家的距离AP
（而不是路程AP弧）先由小变
大再由大变小，因此表示这个时段内离家的时
间与距离之间关系的图象不是一条线段，所以
题目所提供的四个备选图形没有一个符合要
求．事实上，无论散步的路线是否呈直线形，
在匀速条件下都有路程＝速度×时间，而不是
距离＝速度×时间．显然，这里将“距离”与
3．缺少条件“原路返回”.若从报亭
到家不是按原路返回，不妨设从家到报亭
的路线为AB弧（如图2），返回的路线为线
段BA，则返程BA＜AB弧＝900米.但是，题
目所提供的四个备选图形中表示的返程却
都是900米，即没有一个符合要求．
综上所述，可以将此题改为：小明的父母
出去散步，从家匀速走了20分到一个离家900
米的报亭，母亲随即原速原路返回．父亲看了
10分报纸后，用了15分匀速原路返回.下面的
图形中哪一个表示父亲离家的路程与时间之间
的关系？哪一个表示母亲离家的路程与时间之
间的关系？
七、“作图”和“画图”
七、“作图”和“画图”
几何中，作图规定只准用直尺和圆规为
工具；而画图则不受工具限制，除了直尺、
圆规外，还可以用三角尺、刻度尺、量角器
等．因此作图不等同于画图．教学中，若不
注意它们之间的关系，学生容易误认为作图
和画图没有区别，可以在“作中画”,“画中
作”.
例1 经过平移，△ABC的顶点A移到了点
D(如图1)，作出平移后的三角形.
解：如图2，过B，C点分别作线段BE，
CF，使得它们与线段AD平行且相等,连结DE，
DF，EF， △DEF就是△ABC平移后的图
形．
例1 解答中的“过B，C点分别作线
段BE，CF，使得它们与线段AD平行且
相等”，超出了《数学课程标准》中
“会用三角尺和直尺过已知直线外一点
画这条直线的平行线”的要求．
例2 如图3，将字母A按箭头所指的方
向平移3cm，作出平移后的图形．
解：在字母A上，找出关键的5个点(如图
4所示)，分别过这5个点按箭头所指的方向作5
条长3cm的线段，将所作线段的另5个端点按
原来的方式连接，即可得到字母A平移后的图
形.
例2解答中的“作5条长3cm的线
段”,这是只用直尺和圆规无法作出的，
它实际上是一个作图不能问题，只能用
刻度尺画出．
由此不难看出，教科书混淆了“作
图”与“画图”这两个不同的概念，把
原本想要表达的“画图问题”错误地表
示成“作图问题”.类似的错误这套教
科书中还出现多处，在此不一一列举．
事实上，教科书中的上述错误源于《数
学课程标准》.其第41页图形的平移②是“能
按要求作出简单平面图形平移后的图形”,然
而在作简单平面图形平移后的图形时, 必须
用到过已知直线外一点作这条直线的平行线，
这与《数学课程标准》第38页相交线与平行
线⑥“会用三角尺和直尺过已知直线外一点
画这条直线的平行线” 的要求不相符．
很明显，《数学课程标准》错误地把
“作图”等同于“画图”，从而导致同一阶
段的教学要求前后不相符．因此应将“能按
要求作出简单平面图形平移后的图形”中的
“作出”改为“画出”.
八、“一般梯形”和“非特殊梯形”
八、“一般梯形”和“非特殊梯形”
无论是梯形还是一般梯形都是指
所有的梯形，即一般梯形包含了特殊
梯形（等腰梯形和直角梯形）和非特
殊梯形两大类；而非特殊梯形是指等
腰梯形和直角梯形之外的其它梯形.因
此一般梯形与非特殊梯形之间不是同
一关系，而是从属关系．教学中，常
有教师错误地将梯形分类为：一般梯
形、等腰梯形和直角梯形．
已知:如图,线段AM//DN,直线 l 与AM、DN
分别交于点B、C，直线
l 绕BC的中点P旋转（点
C由D点向N点方向移动），
⑴线段BC与AD、AB、CD围成的图形，在初始
状态下，形状是△ABD（即△ABC）,请你写出变
化过程中其余的各种特殊四边形名称，
⑵略
命题者给出的标准答案是：一般梯形、等
腰梯形、直角梯形和平行四边形.
第1题．如图1是由六个全
等的正三角形围成的图形．图
中有几个等腰梯形？简述你的
理由．
教师教学用书第141页给
出的解答为：
六个等腰梯形．如四边形ABEF是等腰
o
梯形，理由可以是：由∠ABO+∠BAF=3× 60
o
o
= 180 ，∠ABO+∠FEO= 120 得，对边AF,
BE平行，对边AB,EF不平行，四边形ABEF是
o
梯形；又由∠ABO=∠FEO= 60 ,可得这个梯
形是等腰梯形．
o
60
此解的错误在于由∠ABO+∠BAF=3×
= 180 直接得出结论对边AF,BE平行，这里
必须先说明B、O、E三点在同一条直线上，
只有当B、O、E三点在同一条直线上时才能
得出对边AF,BE平行．此题的正确解法应是：
o
六个等腰梯形．如四边形ABEF是等腰梯形，
理由可以是：由∠BOA+∠AOF+∠FOE =
o
o
3× 60 = 180 得，B、O、E三点在同一条直
o
o
线上．由∠ABO+∠BAF=3× 60 = 180 ，∠ABO
o
+∠FEO=120 得，对边AF,BE平行，对边AB,FE
不平行，四边形ABEF是梯形．又∠ABO=∠FEO
= 60o，可得这个梯形是等腰梯形．同理，四边
形ABCD、四边形ABCF、四边形BCDE、四边形
CDEF、四边形DEFA是等腰梯形．
第2题．如图2，在梯形
ABCD中，AB∥CD．若OA=OB，
OC=OD，则梯形ABCD是等腰
梯形吗？为什么？
教师教学用书第142页给
出的解答为：
是等腰梯形．理由是：由条件可得
△AOD≌△BOC，因而AD=BC．
此解的错误在于由条件直接得出
结论△AOD≌△BOC，显然这里仅凭图
形就认为∠AOD与∠BOC是对顶角，但
是题目中并没有明确AC与BD相交于点
O这个条件，因而∠AOD与∠BOC不一
定是对顶角．此题的正确解法应是：
是等腰梯形．理由是：过点O作EF∥AB，
分别交AD、BC于点E、F（如图2）．由AB∥DC，
得EF∥DC，因此∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，
∠7=∠8．而OA=OB，OC=OD，则∠1=∠3,∠5=∠7，
由此∠2=∠4 ,∠6=∠8，于是∠2+∠6=∠4+∠8,即
∠AOD=∠BOC.所以△AOD≌△BOC，因而
AD=BC，故梯形ABCD是等腰梯形．
第3题．如图3，AE=BE，
DE=CE．四边形ABCD是等腰
梯形吗？为什么？
教师教学用书第142页
给出的解答为：
是等腰梯形．理由是：由已知可得△EDC
和△EAB都是等腰三角形，且顶角相同，所以
∠EDC=∠A，因而DC∥AB，又由∠A=∠B，所
以四边形ABCD是等腰梯形．
此解的错误在于说明了DC∥AB,∠A=∠B后
直接得出结论四边形ABCD是等腰梯形，而忽略
了说明AD与BC不平行,这是用梯形的定义判定一
个四边形是梯形的必备条件．此题的正确解法
应是：
是等腰梯形．理由是：由已知可得△EDC和
△EAB都是等腰三角形，且顶角相同，所以
∠EDC=∠A，因而DC∥AB．而AD与BC交于点E，
因此AD与BC不平行．又由∠A=∠B，所以四边形
ABCD是等腰梯形．
九、“轴对称”和“轴对称图形”
九、“轴对称”和“轴对称图形”
轴对称是说两个图形的位置关系,涉
及两个图形；而轴对称图形是说一个具
有特殊形状的图形，是对一个图形说
的．因此它们是不同的，当然它们也有
联系，如果把两个成轴对称的图形看成
一个整体，那么它就是一个轴对称图形.
反过来,如果把轴对称图形沿对称轴分成
两部分，那么这两个图形就是关于这条
直线成轴对称.
ABC
十、“△
相似”
ABC
A1B1C1 ”和“△
∽△
A1B1C1
与△
ABC
十、“△
相似”
ABC
A1B1C1 ”和“△
∽△
A1B1C1
与△
△ ABC ∽△A1 B1C1 ,不仅明确了这两个三角形的相
似关系,还限定了这两个三角形的对应关系,
A  A1,B  B1 , C  C1 ;而△ ABC 与△ A1B1C1相似，
即：
只明确这两个三角形的相似关系,并不限定这两个三
角形的对应关系，有下列六种情况:△ABC ∽ △ A1B1C1
△ ABC ∽ △ A1C1 B,
1 △ ABC ∽△ B1 A1C,1 △ ABC∽△ B1C1 A1
△ ABC ∽ △ C1 A1 B1, △ ABC ∽△ C1 B1 A．
1 教学中应注意，
前者不需要分类讨论，而后者需要分类讨论．
十一、“圆”和“圆面”
十一、“圆”和“圆面”
圆是指圆周这条封闭曲线；而圆面
是指圆周所围成的平面部分．因此两者
是不一样的．教学中，常有教师不加说
明地拿着硬纸板剪成的圆面作为圆的教
具，这容易使学生将整个硬纸板看成一
个圆，即把圆面误认为圆．
十二、“弧相等”和“弧长相等”
十二、“弧相等”和“弧长相等”
弧相等是指能互相重合的等弧，
此时必有弧的长度相等，所以弧相等
一定弧长相等；而弧长相等是指长度
相等的弧，在两个半径不等的圆中，
长度相等的弧不可能重合，所以弧长
相等不一定弧相等．
a c
  ad  bc
十三、“b d
“
”
a c
ad  bc  
b d
”和
a c
  ad  bc
十三、“b d
“
a c
ad  bc  
b d
”和
”
在教学中，我们常常根据题目需要，
将比例式化为等积式或者将等积式化为
a c

比例式，而往往忽略了其转化的条件.
b d
ad  bc
d　0
在b  0中，此式子的成立隐含了条
 bc ，可以化为
a b c d
件 ad ，
；但
a c

ad  bc 中，、 、、均可能为0，因
式子
b d
而 b  0 ，不能变形为
，应附加
d　0
条件
，
.
 x a

十四、“不等式组
x  2
x  a
范围”和“不等式组

x  2
值范围”
a
无解，的取值
a
无解，的取
 x a

十四、“不等式组
x  2
x  a
范围”和“不等式组

x  2
值范围”
a
无解，的取值
a
无解，的取
 x a
不等式组  x  2若要无解，则a可以取2
或小于2的数，即a  2，许多人容易误认
为a不能取2，其实，将a  2 代入不等式组
x  a
便可检验；不等式组  x  2 无解,a 则不能

取2,只能取比2小的数, 即a＜ 2 ,这是我们
很多教师也容易混淆的问题.
kx  4x  k  k  0 一个根为0，
十五、“一元二次方程
2
2
kx  4x  k  k  0 的根为0，k求
求 k 的值”和“方程
的 值”
2
2
kx  4x  k  k  0 一个根为0，
十五、“一元二次方程
2
2
kx  4x  k  k  0 的根为0，k求
求 k 的值”和“方程
的 值”
2
2
一元二次方程 kx  4x  k  k  0 一个根为0，已指明该
方程是一元二次方程，隐含了条件 k  0 ，将 x  0代入方
2
k1  0（不合题意,舍去），k2  1 ,所
程得 k  k  0 ,解之得：
以k 只能取1；而方程 kx2  4x  k 2  k  0 一根为0，没有指明
是什么方程，因此存在两种情况：①当k  0时，是一元
二次方程，k  1；②当k  0 时，为一元一次方程 4 x  0
解得：x  0 ，满足条件有一根为0，综合以上两种情况，
k  1 或 k  0 均可.
2
2
将一条长为56cm的铁丝剪成两段，并把每
一段铁丝做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于
100cm2，该怎么剪？
（2）要使这两个正方形的面积之和等于
196cm2，该怎么剪？
（3）正方形的面积之和可能等于200cm2吗？”
与教科书配套使用的《教师教学用书》第
88页给出的答案是“（1）一段为24cm，另一段
为32cm；（2）用56cm长的铁丝围成（不剪）；
（3）不可能．
上述第（2）问的答案不合题意．因为题
目要求“将一条长为56cm的铁丝剪成两段，并
把每一段铁丝做成一个正方形”，但此答案却
未将长为56cm的铁丝剪成两段，更谈不上做成
两个正方形，所以答案是错误的，由此易知满
足题目要求的剪法不存在，因而该问的表述也
不恰当．若将原题中的“要使这两个正方形的
面积之和等于196cm2，该怎么剪”改为“正方
形的面积之和可能等于196cm2吗”，则答案为
不可能．
十六、“一元二次方程ax  bx  c  0(a  0) 有两
2
y  ax  bx  c(a  0) x 与
个实数根”和“抛物线
轴有两个交点”
2
十六、“一元二次方程ax  bx  c  0(a  0) 有两
2
y  ax  bx  c(a  0) x 与
个实数根”和“抛物线
轴有两个交点”
2
学习了二次函数与一元二次方程的关系，我们可
2
b
以利用  4ac 的值去判断抛物线与 轴交点情况，所
以在教学中，误认为方程有两个实数根，那么所对应
的二次函数图像与 x 轴就有两个交点，其实两者有本
2
质的区别.一元二次方程 ax  bx  c  0(a  0) 有两个实
2
b
数根，即  4ac ≥0，包含两种情况：①两个不相等
的实数根②两个相等的实数根, 那么所对应的抛物线
2
与x 轴有两个交点或一个交点；抛物线 y  ax  bx  c
与 x 轴有两个交点，则所对应的一元二次方程必定有
2
两个不相等的根，即 b  4ac ＞0.
x

AB
AB 所对圆周角”和“弦
十七、“
所对圆周角”

AB 所对圆周角”和“弦
AB
十七、“
所对圆周角”

AB所对圆周角相等，而弦 AB所对
圆周角则有两种可能：相等或互补.换
言之,同圆中等弦所对圆周角不一定相
等.但平时证明题时,我们往往由弦相等
直接得出所对圆周角相等,而省略了中
间步骤弧相等,其实,这是知识性的错误.