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从双基到四基、从两能到四能 史宁中 东北师范大学，长春，130024 一、传统与未来 《数学课标》：双基 → 四基、两能 → 四能 基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验 分析问题、解决问题 + 发现问题、提出问题 知识为本：单纯的双基（99年大纲）、专门人才 育人为本：学生成长、认知规律 如何教→如何学(有效教学、有效学习）； 有效 + 兴趣 → 减负 创新：基础知识 + 创新思维 + 创新经验。 思维方法和经验：培养学科直观。 结果是看出来的。 思维方法的教育：数学思想 + 思维经验。 二、基本活动经验 会想问题：不是教出来的、是自己悟出来的； 悟的方法就是自己思考、积累经验。 物价调查： 会整体规划、 会把问题化简、 会抽象出问题的本质、 会归纳出规律性的东西、 会逻辑地表达自己的思考。 三、数学的基本思想 不是指数学思想方法：等量替换、数形结合、分类、 递归、转换；配方法、换元法、加强不等式。 数学产生与发展所依赖的思想 学习数学以后具有的思维能力 抽象：把与数学有关的知识引入数学内部；抽象能力强 推理：促进数学内部的发展；推理能力强 模型：沟通数学与外部世界的桥梁；应用能力强 抽象：数量与数量关系的抽象；图形与图形关系的抽象。 得到：研究问题的对象概念和对象之间的关系概念； 运算方法和运算之间的运算法则。 亚里士多德： 数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中 那些感性的东西。对于数学而言，线、角、或者其他的 量的定义，不是作为存在而是作为关系。 引出抽象的两个层次：直观描述，符号表达。 数量的第一步抽象 数量 → 数。 2匹马、2头牛 → 2。 数量的本质多与少 → 数的本质大与小 → 自然数：10个符号 + 位数 加法：加一、万的产生 加法 → 四则运算； 逆运算 → 数域扩充； 自然数 → 整数、有理数、实数。 数量的第二步抽象 符号意识：符号可以代表数、关系、规律、逻辑 符号可以进行计算和论证（方程） 通过符号得到的结论具有一般性（交换律） 具体 → 一般 凡是具体的都会存在反例（函数变量说） 凡是一般的都会存在概念（函数对应说） 解释微积分 → 定义极限运算 → 定义实数 → 定义无理数 → 重新定义有理数 有理数：分数形式 → 小数形式：有限 + 无限循环 无理数：无限不循环小数 实数 ≡ 有理数 + 无理数 运算：√2·√3 = √2·3 ？ 性质：连续 ？ 实数的加法：两个实数相加，如果符号相同，取相同的 符号，和为两个实数绝对值的和；如果符号不同，取 绝对值大的符号，和为大的绝对值减小的绝对值。 图形的第一次抽象 欧几里得《几何原本》描述定义：点、线、面、角 关系术语：相交、平行、垂直、全等 度量定义：长度、面积、体积、边角关系(三角函数、巴比伦) 带来的问题 点：两条直线交于一点？ 平行：两条永远不相交的直线？ 全等：两个图形重合？ 修改平行：过直线外一点可以有一条（欧几里得几何） 无数（罗巴契夫几何） 没有（黎曼几何） 图形的第二次抽象 希尔伯特《几何基础》：桌子、椅子、啤酒杯 符号定义：A，a，α 五组公理：两点决定一条直线； 三点决定一个平面。 本质是维数：0维点；1维线；2维面；3维体。 高维看低维：直线、平面。 推理：一种思维过程 思维：形象思维、逻辑思维、辩证思维 命题：可以进行判断的话语 推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程 命题 + 判断的四种形式：是是、是否、非是、非否 逻辑推理：命题主词的内涵之间具有传递性 有逻辑：凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。 无逻辑：苹果是酸的，酸是一种味道。所以苹果是一种味道。 逻辑推理 = 演绎推理 + 归纳推理 演绎推理：从大到小，一般到特殊，结果必然； 已知 A 求证 B：不能发现新东西。 归纳推理：从小到大，特殊到一般，结果或然； 已知 a 推断 A：归纳（代数）； 已知 A 推断 A+B：类比（几何）。 归纳教学的例子：尝试。 为得到公式 a2 – b2 = (a-b)(a+b) 首先进行化简，令 b=1。变化 a 可以得到： 22 – 1 = 4 - 1 = 3 32 – 1 = 9 - 1 = 8 42 – 1 = 16 - 1 = 15 52 – 1 = 25 - 1 = 24 62 – 1 = 36 - 1 = 35 因为 8 = 2×4，15 = 3×5，24 = 4×6 ，35 = 5×7， 可以想到 a2–1 = (a-1)(a+1)，然后考虑一般的 b。 从自然数的前 n 项和公式出发，得到平方和、立方和公式。 模型：构建数学与外部世界的桥梁。\数学的应用\ 叙述的是一个用数学语言表达的实际故事。 方程、不等式、函数、递推(时间序列)等是语言工具。 比如，方程叙述的是量相等的故事。\距离=速度×时间\ 用数学语言定义概念。\F=ma\ 桥梁双方：数学 + 现实。\流行病模型，投入产出模型\ 各种场合：参数 + 约束。\自由落体模型中的重力加速度\ 四. 统计基本思想 统计学与数学有所不同。 立论基础 数学：公理、假设； 统计：数据、模型。 推理方法 数学：演绎推理； 统计：归纳推理。 判断准则 数学：对与错； 统计：好与坏。 一个袋子里有5个球，其中有4个白球和1个红球，让学生有放回 地摸球。 概率：验证出现白球的可能性4/5。\不可操作\ 统计：不告诉学生背景，预测 1.白球多还是红球多？ 2.比例大概是多少？ [7/10,9/10]，80%需要20次，90%需要60次。 3.如果有5个球，白球有多少？ 估计的好坏与样本量有关，与方法有关。 因此，可以认为： 统计学是一门收集和分析数据的科学与艺术。 科学：基础是假说。验证与时间、地点、个性无关。 艺术：基础是标准。因人而异，因价值观而异。 对现有的学科大体可以分类： 自然学科：科学。\物理，化学，生物，地质\ 人文学科：艺术。\文学，历史，绘画，音乐\ 社会学科：科学与艺术。\经济，统计，心理，社会\ 更一般的：哲学、数学。 关于《数学课程标准》的若干思考 谢 谢！