Transcript 数学悖论

数学科学学院
1210128
陈玉琳
“……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了
食粮。” ——N·布尔巴基
悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊
和我国先秦时代。“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，
转义是“四处碰壁，无法解决问题”。
在古希腊时代，克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯（约公
元前6世纪）发现的“撒谎者悖论”可以算作人们最早发现的悖
论。公元前4世纪的欧布里德将其修改为“强化了的撒谎者悖
论”。在此基础上，人们构造了一个与之等价的“永恒的撒谎者
悖论”。埃利亚学派的代表人物芝诺（约490B.C.—430B.C.）提
出的有关运动的四个悖论（二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞
矢不动悖论与运动场悖论）尤为著名，至今仍余波未息。
在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期
逻辑学家惠施（约370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物
方生方死”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；《韩非
子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖论式的命题，
表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某些辩证的思想内容。
在近代，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、
康德的二律背反、集合论悖论等。在现代，则有光速悖论、
双生子佯谬、EPR悖论、整体性悖论等。这些悖论从逻辑上
看来都是一些思维矛盾，从认识论上看则是客观矛盾在思维
上的反映。
尽管悖论的历史如此悠久，但直到本世纪初，人们才
真正开始专门研究悖论的本质。在此之前，悖论只能引起人
们的惊恐与不安；此后，人们才逐渐认识到悖论也有其积极
作用。特别是本世纪60、70年代以来，出现了研究悖论的热
潮。
（一）两分法
运动着的物体要达到终点，首先必须经过路途的一半，为此它又必须先
走完这一半的一半，依此类推，以至无穷。假如承认有运动，这运动着
的物体连一个点也不能越过。
（二）阿基里与龟
全希腊跑得最快的阿基里永远追不上慢慢爬行的乌龟。因为，他要追上
龟，首先就要到达龟所爬行的出发点，这时龟已经往前爬行了一段；当
阿基里跑到龟的第二个出发点时，龟又爬行了一小段，阿基里又得赶上
这一小段，以至无穷。阿基里只能无限地接近，但永远不能赶上它。所
以，假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的。
（三）飞矢不动
飞着的箭在不同的时间处于不同的位置，甲时在A点，乙时在B点，在连续的时
间中，箭相继地静止在一系列的点上。既然是在某一点上，怎么能运动呢？运
动实际上是一系列静止的总和。
（四）一半等于一倍
假定有三列物体，A列静止不动，B列与C列以相等的速度按相反方向运动（见
图1）。当 B1通过A3，越过两个位置，到达与 A4并列的位置时，由于C列是按
相反方向同速运动的，所以 B1在相同的时间里已通过C列的4个位置了(见图2)。
B越过C列物体的数目，要比它越过A列物体的数目多一倍。因此，它用来越过C
的时间要比它用来越过A的时间长一倍。但是B和C用来走到A的位置的时间却相
等。一半的时间等于一倍的时间。因此说一半等于一倍。
这四个悖论的结论是错误的，是形而上学的，但悖论本身在认识史、辩证
法史、逻辑史和科学史上却有重要地位。这四个悖论涉及到运动和时间、空间
的关系以及极限和无限分割的问题，还接触到运动本身存在连续性与非连续性
的矛盾，所以历来受到科学家和哲学家的重视。
悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。
悖论的定义有很多说法，影响较大的有以下几种：
1.悖论是指这样一个命题A,由A出发可以找到一语句B，然后，若假定B真，就可推
出¬B真,亦即可推出B假。若假定¬B真，即B假，又可推导出B真
2. 悖论是一种导致逻辑矛盾的命题，这种命题，如果承认它是真的，那么它又是
假的；如果承认它是假的，那么它又是真的（例如理发师悖论）
3.如果某一理论的公理和推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两
个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命
题的等价式，那么，我们就说这个理论包含了一个悖论
……
上述各种悖论定义，都有其合理的一面，但又都不十分令人满意。
从潜科学的观点来看，悖论是一种在已有科学规范中无法解决的认识矛盾，这种
认识矛盾可以在新的科学规范中得到克服，这是悖论的广义定义。
这是网上广为流传的一个证明。
1=2？史上最经典的“证明”
设a=b，
则 a·b = a^2 ，
等号两边同时减去 b^2 就有 a·b - b^2 = a^2 b^2 。
注意，这个等式的左边可以提出一个 b ，右边是一
个平方差，
于是有 b·(a - b) = (a + b)(a - b)
约掉 (a - b) 有 b = a + b
然而 a = b ，因此 b = b + b ，
也即 b = 2b 。约掉 b ，得 1 = 2
这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号
两边是不能同时除以 a - b 的，因为我们假设了
a = b ，也就是说 a - b 是等于 0 的。
应该是属于第三类问题吧
e.g.无穷站公车上下人的问题…
e.g.同样的戏法可以变出更多不可思议的东
西。
例如，令
x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +
…
则有：2x = 2 + 4 + 8 + 16 + …
于是：2x - x = x = (2 + 4 + 8 + 16
+ …) - (1 + 2 + 4
+ 8 + 16 + …) = -1
也就是说：1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … =
-1
无穷和有限是两个完全不一样的
复数才是王道
考虑方程
x^2 + x + 1 = 0
移项有
x^2 = - x - 1
等式两边同时除以 x
(x不等于0) ，
有 x = - 1 - 1/x
把上式代入原式中，
x^2 + (-1 - 1/x) +1=0
即x^2 - 1/x = 0
即 x^3 = 1
也就是说 x = 1。
把 x = 1 代回原式，得
到 1^2 + 1 + 1 = 0
也就是说， 3 = 0
其实，x = 1不是方程 x^2 + x + 1 = 0 的解
在实数范围内，方程 x^2 + x + 1 = 0 是没有
解的但在复数范围内有两个解。
另一方面，x = 1只是 x^3 = 1 的其中一个解。
x^3 = 1 其实一共有三个解，只不过另外两个解
是复数范围内的。
考虑方程 x^3 -1=(x - 1)(x^2 + x + 1) =0，
容易看出 x^3 = 1 的两个复数解正好就是
x^2 + x + 1 的两个解。
因此， x^2 + x + 1 = 0 与 x^3 = 1 同时成立
并无矛盾。
引入复数，这个谬论有了一个完整而漂亮的解释。或
许这说明引入复数概念的必要性。
其实这个推理过
程中出现了一个非
常隐蔽而搞笑的错
误。
等式两边同时加 1
后，等式左边得到
的应该是
众所周知，
1+2+3+ … +n=n(n+1)/2
让我们用n-1去替换n，可得
1+2+3+ … +(n-1)=(n-1)n/2
等式两边同时加 1 ，得：
1+2+3+ … +n=(n-1)n/2+1
也就是
n(n+1)/2=(n-1)n/2+1
展开后有
n^2/2+n/2=n^2/2-n/2+1
那么，n=1是这个方程的唯一解
也就是说
1+2+3+ … +n = n(n+1)/2
1+2+3+ … +(n-2)+(n-1)+1=…
仅在 n = 1 时才成立！
2.证明所有正整数都相等
1.下面这个“证明”是由数学
家 George Pólya 给出的：
为了证明这一点，只需要说明对于任意
任意给定 n 匹马，可以证明这
a = b 。
n = 两个正整数
1 推不出a 、
n b= ，都有
2 ，虽然
n1.这个证明错在，从
匹马的颜色都相同
为了证明这一点，只需要说明对于所有
对
当 n n施归纳：
更大的时候，这个归纳是正确的。
正整数 n ，若 max(a, b) = n ，那么
首先，当 n = 1 时命题显然成
这是数学归纳法出错的一个比较奇特的例子：基础
a = b
立若命题对
n = k 成立，
则考虑
n = k + 1 的情形：
情形和归纳推理都没啥问题，偏偏卡在归纳过程中
我们对 n 施归纳。
由于 {#1, #2, …, #k} 这 k
的某一步上。
当 n = 1 时，由于 a 、 b 都是正整数
匹马的颜色相同
，因此 a 、 b 必须都等于 1 ，所以说
{#2, #3, …, #k+1 } 这 k 匹
= b 。若当 n = k 时命题也成立，现
马也相同，而这两组马是有重
2.这个问题出在， a - 1 a在假设
或者
b - 1b) 有可能不是
max(a,
= k+1，则max(a 叠的，可知这 k+1 匹马的颜色
正整数了，因此不能套用归纳假设。
1, b - 1) = k
也都相同了。
由归纳假设知 a - 1 = b - 1 ，即 a =
b 。
所有三角形都是等腰三角形
画一个任意三角形ABC。下面我将证明，AB =
AC ，从而说明所有三角形都是等腰三角形。
令 BC 的中垂线与∠A的角平分线交于点P。
过P作AB、AC 的垂线，垂足分别是E、F。
由于AP是角平分线，因此P到两边的距离相等
即PE=PF，可知△APE≌△APF。
由于DP是中垂线，因此P到B、C的距离相等，
可知△BPD≌△CPD。
另外，由于PE=PF，PB=PC，且∠BEP=∠CFP =
90°，可知△BEP≌△CFP。
现在，由第一对全等三角形知AE=AF，由最后
一对全等三角形知BE=CF，因此AE+BE=AF+CF
即 AB = AC 。
这个证明过程其实字字据理，并无破
绽。证明的问题出在一个你完全没有意识
到的地方——这个图形就是错的！
事实上， BC 的中垂线与 ∠A 的角平
分线不可能交于三角形的内部。我们可以
证明， P 点总是落在 △ABC 的外接圆上
。如图， P 是 BC 的中垂线与外接圆的交
点，显然 P 就是弧 BC 的中点，即弧 BP
= 弧 PC 。因此， ∠BAP = ∠CAP ，换句
话说 P 恰好就在 ∠A 的角平分线上。
P 在 △ABC 外的话，会对我们的证明产
生什么影响呢？你会发现，垂足的位置
发生了本质上的变化—— F 跑到 AC 外
面去了！也就是说，结论 AE + BE = AF
+ CF 并不错，只是 AF + CF 并不等于
AC 罢了。
下面这个勾股定理的“证明”曾经发表在 1896 年的
The American Mathematical Monthly 杂志上：
但是，这个看似没有逻辑问题的证明确实错误的！
假设勾股定理是正确的，于是我们可以得到
AB^2
= AC^2 + BC^2
假设结论正确，推出一个矛盾，确实能说明这个假设
BC^2 = CD^2 + BD^2
是错误的（这就是反证法）；但假设结论正确，推出
AC^2
= AD^2 + CD^2
它与条件吻合，这却并不能说明假设真的就是正确的
把后两式代入第一个式子，有
。 = AD^2 + 2•CD^2 + BD^2
AB^2
但 CD^2 = AD•BD ，因此
AB^2
= AD^2 + 2•AD•BD + BD^2
错误的假设也有可能推出正确的结果来。最经典的例
即 AB^2 = (AD + BD)^2
1 = 2 ，由等式的对称性可知 2 =
即子就是，不妨假设
AB = AD + BD
1 ，等量加等量有 1+2 = 2+1 ，即 3 = 3 。但 3 =
而这显然成立。
3 是对的并不能表明 1 = 2 是对的。
因此，我们的假设也是成立的。
链式法则也出错？
定义 f(x, y) := (x + y)^2 ，
然后令 x = u - v ，令 y = u + v 。我们有：
∂f/∂x = ∂f/∂y = 2(x + y)
∂x/∂v = -1
∂y/∂v = +1
根据链式法则，有
∂f/∂v = (∂f/∂x)•(∂x/∂v) + (∂f/∂y)•(∂y/∂v)
= 2(x + y)•(-1) + 2(x + y)•(1)= 0
但是， f(u, v) = (u + v)^2 ，因此 ∂f/∂v = 2(u + v) = 2y 。
这岂不是说明 y = 0 了么？但是，条件里并没有什么地方规定 y =
0 呀？这怎么回事？
问题出在，整个推理过程把两个不同的函数都用 f 来表示了。事实
上，一个函数是 f(x, y) := (x + y)^2，另一个函数是 F(u, v) =
f(u - v, u + v) = (2u)^2 。链式法则求的并不是 ∂f/∂v ，而是
∂F/∂v 。
不定积分的困惑
试用分部积分法求解∫(1/x)dx
令 u = 1/x ， dv = dx
du = -1/x^2 dx ， v = x
于是 ∫ (1/x) dx
= (1/x)x - ∫x(-1/x^2) dx
= 1 + ∫ (1/x) dx
这是怎么回事？
其实，不怎么回事。
这个等式是成立的。
因为，不定积分的最
后结果要加上一个常
数 C 。
很多 Goldbach 猜想、孪生素数猜想的“证明”都栽在了下面这个有时候
很不容易注意到漏洞。
让我们来证明一个看上去有些不可思议的结论： π^e 是一个有理数。
首先，对任意有理数r ，logπ(r) 都是无理数，否则令 s = logπ(r)
，我们就有 π^s = r ，这与 π 是超越数矛盾。
现在，假设 π^e 是无理数，也就是说对任意有理数 r π^e 都不等于
r 。这也就是说，对任意一个 r ， logn(π^e) 都不等于 logπ(r) 。
由前面的结论， logπ( (π^e) 就不等于任意一个无理数。但
logπ(π^e) 是等于 e 的，这与 e 的无理性矛盾了。因此，我们的假设
是错的——
π^e 是一个有理数。
当然，这个证明是有问题的。
对于有理数 r ，logπ(r) 确实是无理数；但注意，遍历所有的有理数 r
，并不能让 logπ(r) 遍历所有的无理数，而 e 正好就等于某个漏掉的
无理数。
不过，也不要想当然地认为， π^e 当然是一个无理数。目前为止， π^e
是否有理还是一个谜。
据我们所知，数学史上的三次危机都是由
数学悖论引起的。我们在这里就不一一赘述了。
其实时至今日，第三次数学危机还不能说
已从根本上消除了，因为数学基础和数理逻辑的许
多重要课题还未能从根本上得到解决。然而，我们
却并未放弃，这不弃正推动者历史与文化的前行。
在这个过程中，我们或许还会遇到更多的，
类似的让人“无法解释”的“有悖逻辑的合理性”，
但在这探索中，我们正向根本解决的目标逐渐接近，
并同时体会着数学文化的博大精深与魅力值所在。