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第6讲
多商品之间的需求关系
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两种商品
• 在仅仅有两种商品的时候所具有的关系
比较少
• 但是这种情况可以利用二维图来说明
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总互补品
的数量
当 y 的价格下降，替代效应可能很小，以
至于消费者购买了更多的 x 和 y
在这种情况下, 我们称 x 和 y 总互
补品
y1
y0
U1
U0
x0 x1
x/py < 0
x的数量
3
总替代品
y的数量
当商品 y 的价格下降, 替代效应可能很大以
致于消费者购买更少的 x 和更多的 y
在这种情况下, 我们称 x 和 y为总替
代品
y1
y0
U1
x/py > 0
U0
x1
x0
x的数量
4
数学处理
• py的变化引起的x的变化可以利用斯卢茨基
方程表示为
x
p y

x
p y
 y
U 常数
替代效应 (+)
x
I
收入效应(-)
如果 x 是正常品
总效应
(模糊的)
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替代和互补
• 对于多商品情况, 我们可以推广斯卢茨基
方程分析
xi
p j

xi
p j
 xj
U 常数
xi
I
对于任何的 i 或者 j
– 这意味着任何商品价格变化引起的收入效应
和替代效应会改变每种商品的需求数量
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替代和互补
• 如果一种商品能够代替另一种商品使用
，那么两种商品是替代品
– 例子: 茶和咖啡, 奶油和人造黄油
• 如果两种商品需要一起使用，那么它们
是互补品
– 例子: 咖啡和糖
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总替代和互补
• 总替代和互补这个概念包括替代效应和收
入效应
– 两种商品是 总替代品 ，如果
xi /pj > 0
– 两种商品是 总互补品 ，如果
xi /pj < 0
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总定义的非对称性
• 总替代品和总互补品定义中不令人满意的是
具有不对称性
• 可能发生下列情况： x1 是 x2 的替代品，然
而，同时 x2 是 x1 的互补品
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总定义的非对称性
• 假定两种商品的效用函数为
U(x,y) = ln x + y
• 建立拉各朗日函数
L = ln x + y + (I – pxx – pyy)
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总定义的非对称性
一阶条件:
L/x = 1/x - px = 0
L/y = 1 - py = 0
L/ = I - pxx - pyy = 0
• 从前两个方程中得到
pxx = py
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总定义的非对称性
• 将其带入预算约束, 我们可以得到 y 的马歇
尔需求
pyy = I – py
– py 的上升引起在商品y上的支出减少
• 因为px和 I 未变, x 的支出一定上升 ( x 和 y 是总替
代品)
• 但是 y 的支出不依赖于 px ( x 和 y 相互独立)
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净替代和互补
• 净替代和互补仅仅关注替代效应
– 两种商品是 净替代 ，如果
xi
p j
0
U 常数
– 两种商品是 净互补 ，如果
xi
p j
0
U 常数
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净替代和互补
• 这个定义仅仅关注无差异曲线的形状
• 这个定义因为其对称性，所以是清晰的
xi
p j

U 常数
x j
pi
U 常数
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总互补品
即使 x和y 是总互补品, 它们也可以是净
替代品
y的数量
y1
y0
U1
因为MRS 是递减的, 自身价
格的替代效应一定是负的，
因此交叉价格替代效应一定
是正的。如果只有两种商品
，那么一定是净替代品。
U0
x0 x1
x的数量
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多商品之间的替代性
• 一旦效用最大化模型扩展到多商品, 许多
需求模式都是可能的
• 根据希克斯需求第二定律, “大多数” 商
品都是替代品
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多商品之间的替代性
• 为了证明这一点, 我们从补偿需求函数开
始
xc(p1,…pn,V)
• 利用欧拉定理
p1 
x
c
i
p1
 p2 
x
c
i
p2
 ...  pn
x
c
i
pn
0
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多商品之间的替代性
• 变成弹性形式
ei 1  ei 2  ...  ein  0
c
c
c
• 因为替代效应为负，所以 eiic  0, 因此一
定有
 eij  0
c
j i
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复合商品
• 在最一般的情况下, 消费者消费 n 种商品
， 他的需求函数将会反映 n(n+1)/2 种不
同的替代效应
• 将一组商品加总通常会带来便利
– 例子: 食品, 服装, “所有其他商品”
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复合商品理论
• 假定消费者在 n 种商品中选择
• x1 的需求将会依赖于所有其他 n-1 种商品
的价格
• 如果所有这些价格一起运动, 那么将它们加
总成为 复合商品 (y)就是有意义的
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复合商品理论
• 令 p20…pn0 表示这些其他商品的最初价格
– 假定它们同时变化 (因此 x2…xn 的相对价格不
变)
• 定义复合商品 y 为在最初价格上对于商品
x2…xn 的总支出
y = p20x2 + p30x3 +…+ pn0xn
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复合商品理论
• 消费者预算约束为
I = p1x1 + p20x2 +…+ pn0xn = p1x1 + y
• 如果我们假定所有价格 p20…pn0 同比率 (t >
0) 变化，那么预算约束变为
I = p1x1 + tp20x2 +…+ tpn0xn = p1x1 + ty
– p1 或者 t 的改变引起替代效应
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复合商品理论
• 如果 p20…pn0 同时变化, 可以将我们对于需
求的考察简化为 x1 和 “其他商品”之间的
购买
• 这个定理没有预测 x2…xn 的选择行为
– 仅仅关注了 x2…xn 的总支出
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复合商品
• 复合商品 是一组商品，其价格同时变化
• 这些商品可以被看作一个商品
– 消费者的行为看起来仿佛是他在其他商品和
这组商品的支出上选择
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例子:复合商品
• 假定消费者从三种商品中获得效用:
– 食品(x)
– 住宅 (y), 利用百平方米测算
– 家政 (z), 利用用电量测算
• 假定CES效用函数
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例子:复合商品
效用  U ( x, y, z ) 
1


x
1

y
1
z
• 利用拉各朗日方法获得效用函数
x
I
px 
p x py 
z
y 
p x pz
I
py 
py p x 
p y pz
I
pz 
pz p x 
pz p y
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例子:复合商品
• 如果最初的 I = 100, px = 1, py = 4, pz =
1, 那么
• x* = 25, y* = 12.5, z* = 25
– ￥25 花在食品上， ￥75 花在家庭相关费用
上
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例子:复合商品
• 如果我们假定住宅价格 (py) 和电力价格
(pz) 同时运动，我们可以利用初始价格定
义 “复合商品” 房子 (h)
h = 4y + 1z
• 房子的最初数量是房屋类总支出 (75)
• 因为py和pz总是同比率变化，所以
ph=pz=0.25py
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例子:复合商品
• 现在x 可以表示成 I, px 和 ph 的函数
x
I
px  3 px ph
• 如果I = 100, px = 1, py = 4, ph = 1, 那么
x* = 25 , 房屋类总支出(h*) = 75
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例子:复合商品
• 如果 py 上升到 16 ，pz 上升到 4 (px 维持
在 1), ph 将上升到 4
• x 的需求下降到
x* 
100
1 3 4

100
7
• 房屋类支出
Ph h*  100 
100
7

600
7
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例子:复合商品
• 因为 ph = 4, h* = 150/7
• 如果I = 100, px = 1, py = 16, pz = 4, 消费者
的需求函数为
x* = 100/7, y* = 100/28, z* = 100/14
• 这意味着 h 的消费量也可以如下计算
h* = 4y* + 1z* = 150/7
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要点回顾:
• 但仅有两种商品的时候, 一种商品价格
(py)变化对另外一种商品(x) 需求的替代
效应和收入效应通常作用方向相反
– x/py 的符号是模糊的
• 替代效应是正的
• 收入效应是负的
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要点回顾:
• 在多商品情况下, 需求之间的关系可以
用两种方式来概括
– 两种商品是总替代品，如果 xi /pj > 0，
是总互补品，如果 xi /pj < 0
– 因为这些效应包含了收入效应, 它们可能是
非对称的
• 很可能 xi /pj  xj /pi
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要点回顾:
• 仅仅关注于价格变化的替代效应提供了
一个对称的定义
– 两种商品是净替代品，如果 xi c/pj > 0，
是总互补品，如果 xi c/pj < 0
– 因为 xic /pj = xjc /pi, 不存在模糊性
– 希克斯需求第二定律表明净替代品更加普
遍
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要点回顾:
• 如果一组商品的价格总是同时变化, 这
些商品的支出可以被看成 “复合商品”
，其“价格” 是其中商品价格的变化比
例
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