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微课爱我
复习与小结( 2) :
例谈an与Sn 的亲密关系
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引例
1 n 1
设数列an 的前n项和 Sn  an  ( )  2
2
(其中n为正整数).
(1)求a1 , a2 ;
(2)求数列an 的通项.
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分析
(1)题目已知Sn 与an的关系, 要求出a1, 只需令n  1即可,
求出a1, 再令n  2可求出a2 .
(2)Sn 与an的等式关系可以通过an =Sn  Sn（
-1 n  2）转化为
an与an1之间的关系，进一步求出通项.
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解析
1
1
(1)依题意, S1   a1  1  2, 又 S1  a1 , 所以a1 = ;S2   a2   2,
2
2
1
1
又 S2  a1  a2   a2 , 解得a2  .
2
2
1
1
(2)因为 Sn  an  ( ) n 1  2, 当n  2时, Sn 1   an 1  ( ) n  2  2，
2
2
1 n 1 1 n  2
两式相减得an  an  an 1  ( )  ( ) (n  2),
2
2
1 n 1
整理得2an  an 1  ( ) (n  2),
2
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解析
1 n 1
等式两边同时除以( ) 得2n an  2n 1an 1  1(n  2),
2
即2n an  2n 1an 1  1(n  2),
1
故数列2 an  是首项为2   1，公差为1的等差数列.
2
n
所以2n an =1+  n-1 1=n, 所以an  n .
2
n
1
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变式
已知数列an 中, a1  4, an  0, 前n项和为 Sn , 若
an = Sn  Sn 1 (n  N  , n  2).求数列an 的通项公式.
分析
利用an  Sn  Sn 1 (n  2)可以将an  与Sn  相互转化,
本题虽然是求 an 的通项公式, 但将Sn  转化为an  较困
难, 可以先将an  转化为Sn  , 求出Sn , 进一步求出an .
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解析
因为an = Sn  Sn1 , 由an =Sn  Sn1 (n  2)得,Sn  Sn1  Sn  Sn1 (n  2),
 S 是公差为1的等差数列,
化简得 : Sn  Sn 1  1(n  2), 所以
n
首项 S1  2, 所以 Sn  2  (n  1) 1  n  1, Sn  (n  1) 2 ,
an =Sn  Sn 1  2n  1(n  2), a1  4不符合该式.
, n 1
4
所以an = 
 2n  1, n  2
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小结
当题目已知有Sn 中的项与an 中的项之间的等式关系时,
可以考虑用an = Sn  Sn -1( n  2) 进行转化, 转化方向有两个：
1、将Sn  转化为an  , 变成数列an 的前后两项( 或几项) 的
关系, 操作为：用n  1换题目所给等式中的n, 然后两式相减.
2、将an  转化为Sn  , 直接将等式中的an写成 Sn  Sn -1 , 得到数
列Sn 的前后两项( 或几项) 的关系, 求出Sn , 进一步可求an .
转化完得化简式还注意检验n=1时的情形.
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微诊断
1. 数列an 的前n项和Sn  n 2  n  1, bn =( - 1)n an
(n  N  ), 则数列bn 的前50项的和为 _____ .
2. 已知数列an 的前n项和为 Sn ，且满足a1 =2,
nan 1  Sn  n(n  1), 求数列an 的通项公式.
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分析
1. 数列an 的前n项和Sn  n2  n  1, bn =( - 1)n an (n  N  ), 则数列bn 
的前50项的和为 _____
分析: 知前n项和Sn , 可求通项an , 利用an  Sn  Sn 1 , 但要注意这时n  2,
n  1时, a1  S1 .
解 : n  2时, an  Sn  Sn 1  (n 2  n  1)  (n  1) 2  (n  1)  1  2n;
 an , n为偶数
2n, n  2
n
a1  S1  3不符合上式, 所以an  
, bn =( - 1) an  
,
 3, n  1
an , n为奇数
所以bn 的前50项的和为 : 3  4  6  8  10  12  98  100
 3  4  (6  8)  (10  12) 
 (98  100)  1  2  2 
 2 =49
24 个
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分析
2. 已知数列an 的前n项和为 Sn ，且满足a1 =2,
nan 1  Sn  n(n  1), 求数列an 的通项公式.
解: 由题意, 当n ２时, 有( n  1) an  Sn 1 ( n  1) n，
nan 1  Sn  n(n  1)

即：

( n  1) an  Sn 1  (n  1)n, ( n  2)
两式相减得 : nan 1 ( n  1) an  an  2n,
即an 1  an  2( n  2) ,
又a2  S1  2  a1  2  4, 得a2  a1  2,
即对一切正整数an 1  an  2,
所以an  是公差为2的等差数列, an  a1  2(n  1)  2n.
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