Transcript 第十一章 §1 §2 量子跃迁 含时微扰理论 量子跃迁几率 §3 光的发射和吸收 返回 §1 含时微扰理论 (一) 引言 （二）含时微扰理论 返回 (一) 引言 上一章中，定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函 数的修正，所讨论的体系 Hamilton 算符不显含时间，因而求解 的是定态 Schrodinger 方程。 本章讨论的体系其 Hamilton 算符含有与时间有关的微扰， 即： ˆ (t )  H ˆ  H ( t ) H因为 Hamilton.

第十一章
§1
§2
量子跃迁
含时微扰理论
量子跃迁几率
§3 光的发射和吸收
返回
§1
含时微扰理论
(一) 引言
（二）含时微扰理论
返回
(一) 引言
上一章中，定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函
数的修正，所讨论的体系 Hamilton 算符不显含时间，因而求解
的是定态 Schrodinger 方程。
本章讨论的体系其 Hamilton 算符含有与时间有关的微扰，
即：
ˆ (t )  H
ˆ  H ( t )
H
0
因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时
Schrodinger 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态
微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理论。
含时微扰理论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出微扰
存在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰
后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。
（二）含时微扰理论
假定 H0
的本征
函数 n
满足：
ˆ   
H
0
n
n
n
i

ˆ 
n  H
0 n
t
H0 的定态波函数可以写为：
n =n exp[-iεnt /]
满足左边含时 S - 方程：
定态波函数 n 构成正交完备系，
整个体系的波函数  可按 n 展开：
i

t

n

i   Hˆ (t )
t
ˆ (t )
an ( t )n  H
 an (t )n
n
   an ( t )n
代
入
n
因 H’(t)不含对时间
t 的偏导数算符,故可
与 an(t) 对易。

d

i   an ( t ) n  i  an ( t ) n
t

n  dt
n
ˆ  
ˆ ( t )

a
(
t
)
H
a
(
t
)
H


n
0
n
n
n
相

ˆ
i n  H 0 n
n
n
消
t
d

i   an ( t ) n   an ( t ) Hˆ ( t )n

n  dt
n
d

ˆ ( t ) 
a
(
t
)


a
(
t
)
H

n
n
n
n
 dt



n
i 
n
i 
n
以m* 左乘上式后
对全空间积分
d

*  d 
*H
ˆ ( t ) d
a
(
t
)

a
(
t
)


 m
n
n
 dt n   m n


n
d

* H
ˆ ( t ) e i[ m  n ]t /  d
i   an ( t ) mn   an ( t )  m
n
dt


n
n
d
ˆ  e i mn t
i am ( t )   an ( t ) H
mn
dt
n
该式是通过展开式
   an ( t )n
改写而成的
n
Schrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。
其中
 Hˆ    * Hˆ ( t ) d
n
 mn  m

1

 mn  [ m   n ]



微扰矩阵元
Bohr 频率
求解方法同定态微扰中使用的方法：
（1）引进一个参量，用 H’ 代替 H’（在最后结果中再令 = 1）；
（2）将 an(t) 展开成下列幂级数；
an  an(0)  an(1)  2an( 2)  
（3）代入上式并按幂次分类；
( 0)
(1 )
( 2)
 dam

dam
dam
2
 e i mn t
i 


    [an( 0 )  an(1)  2an( 2)  ]Hˆ mn
dt
dt
 dt
 n

[a ( 0)  2a (1)  3a ( 2)  ]Hˆ  e i mn t

n
n
n
n
(4)解这组方程，我们可得到关于
an 的各级近似解，近而得到波函
数  的近似解。实际上，大多数
情况下，只求一级近似就足够了。
（最后令  = 1，即用 H’mn代替
H’mn，用a m (1)代替 a m (1)。）
(0)
 da m
mn
零级近似波函数 am(0)不随时
间变化，它由未微扰时体系
所处的初始状态所决定。
0

 dt
 da (1)
m
(0) H
ˆ  e i mn t
i


a



n
mn
dt

n

( 2)
da
m
(1 ) H
 i
ˆ  e i mn t
  an
mn

dt
n


  
假定t  0 时，体系处于 H0 的第 k 个本征态 k。
而且由于
exp[-in t/]|t=0 = 1，于是有：
 k   an( 0) n (0)   an( 0) n   [an( 0) (0)  an(1) (0)  ] n
n
n
比较等式两边得
n
 nk  an( 0) (0)  an(1) (0)  
比较等号两边同  幂次项得：
( 0 ) ( 0)  
an
nk
(1) ( 0 )  a ( 2 ) ( 0 )    0
an
n
因 an(0)不随时间变化，所以an(0)(t) = an(0)(0) = nk。
t  0 后加入微扰，则第一级近似：
an
(1)
da m
dt
(0)(t)
= n
i
(1 )
da m
dt


ˆ  e i mn t
a n( 0 ) H
mn
n
k
1
ˆ  e i mn t


H
 nk mn
i n
1 ˆ
 e i knt

H mk
i
对 t 积分得：
(1 )
am
1 t ˆ
i knt


H
e
dt

mk
i 0
§2
量子跃迁几率
返回
（一）跃迁几率
（二）一阶常微扰
（三）简谐微扰
（四）实例
（五）能量和时间测不准关系
（一）跃迁几率
体系的某一状态

am(0) (t) = mk
( 0) ( t )  a (1) ( t )    
am
m
mk
末态不等于初态时
mk = 0，则
a m ( t )m
m
t 时刻发现体系处于 m 态
的几率等于 | a m (t) | 2
am ( t ) 

1 t
 e i mk t dt  
  H mk
i 0
(1) ( t )  
am ( t )  am
所以体系在微扰作用下由初态 k 跃迁到末态m 的
几率在一级近似下为：
(1) ( t ) |2 
Wk m | am
1
i mk t

H
e
dt

mk
i 0
t
2
（二）一阶常微扰
（1）含时 Hamilton 量
设 H’ 在 0  t  t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，
即：
t0
0

ˆ
ˆ

H
H
(
r
)


0
0  t  t1
（2）一级微扰近似 am(1)
(1) ( t ) 
am


H mk


i
1 t
i mk t

H
e
dt

mk
0
i
1
i mk

H mk
 mk

H mk
 mk
e
i mk t

H’mk 与 t 无关
(0  t  t1)
t  t1

t
0



H mk
 mk

H mk
i
e 
i
e i mk t / 2 e i mk t / 2  e  i mk t / 2
2ie i mk t / 2 sin( 12  mk t )
mk


t
t
1  
0
e i m kt dt


H mk
 mk
e 
i
mk
t

1
（3）跃迁几率和跃迁速率

H mk
Wk m | am(1) (t ) |2  
 mk
2
2ie i mk t / 2 sin( 12  mk t ) 
 |2 sin2 ( 12  mk t )
4 | H mk
 2 mk 2
sin 2 (x )
lim  x 2   ( x )
 
极限公式：
则当t →∞ 时 上式右第二个分式有如下极限值：
lim
sin 2 ( 12  mk t )
t 
于是：
1
2
 mk 2
   ( 12  mk )  2  (  m   k )  2 ( m   k )

Wk m
跃迁速率：
2t
 |2  ( m   k )

| H mk

 k m 
Wk  m
t
2
 |2  ( m   k )

| H mk

（4）讨论
1.上式表明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁
速率将与时间无关，且仅在能量εm ≈εk ，即在初态能量的小
范围内才有较显著的跃迁几率。
在常微扰下，体系将跃迁到与初态能量相同的末态，也就是说
末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。
2. 式中的δ(εm -εk) 反映了跃迁过程的能量守恒。
3. 黄金定则
设体系在εm附近dεm范围内的能态数目是ρ(εm) dεm，则
跃迁到εm附近一系列可能末态的跃迁速率为：
   d m  ( m ) k m
2
 |2  ( m   k )
  d m  ( m )
| H mk

2
 |2  ( m )

| H mk

（三）简谐微扰
（1）Hamilton 量
0
ˆ

H (t )  
ˆ
 A cos t
为便于讨论，将上
式改写成如下形式
（2）求 am(1)(t)
  m | Hˆ ( t ) | k 
H mk
t=0 时加入一个简谐
振动的微小扰动：
t0
t 0
F 是与 t无关
只与 r 有关的算符
0
ˆ
H ( t )  
ˆ it  e  it ]
 F [e
t0
t 0
H’(t)在 H0 的第 k 个和第 m 个本征
态 φk 和 φm 之间的微扰矩阵元是：
  m | Fˆ [e it  e  it ] |  k 
  m | Fˆ |  k  [e it  e  it ]  Fmk [e it  e  it ]
(1) ( t )
am


Fmk
0
i
Fmk
i
[e it  e  it ]e i mk t dt
t
t
0
[e i[ mk  ]t  e i[ mk  ]t ]dt
i[ mk  ]t
i[ mk  ]t
Fmk  e
e

 i[  ]  i[  ]
mk
mk
i 
t


 0
Fmk  e i[ mk  ]t  1 e i[ mk  ]t  1 




[



]
[



]
mk
mk
 

（2）几点分析
lim
  mk
e
i[ mk  ]t
[ mk  ]
1
(I)
当ω = ωmk 时，微扰频率ω
与 Bohr 频率相等时，上式第二项
 it
分子分母皆为零。求其极限得：
(1) ( t )
am
Fmk  e


 
i 2 mk t
1
2 mk
(II) 当ω = ωmk 时，同理有：

 it 

第二项起
主要作用
第一项起
主要作用
i 2 mk t

F
e
 1
mk
(
1
)
am ( t )  
 it 

2

mk
 



(III) 当ω≠ ±ωmk 时，两项都不随时间增大
总之，仅当 ω =±ωmk = ±(εm –εk)/ 或
εm =εk ± ω时，出现明显跃迁。这就是说，仅当
外界微扰含有频率ωmk时，体系才能从φk态跃迁到φm
态，这时体系吸收或发射的能量是 ωmk 。这说明我
们讨论的跃迁是一种共振现象。
因此我们只需讨论 ω≈ ± ωmk 的情况即
可。
（3）跃迁几率
当 ω=ωm k 时， a (1)
m
略去第一项，则
Fmk  e i[ mk  ]t  1 



 mk 
 



此式与常微扰情况的表达式类似，只需作代换：H 'mk→ Fmk ,
ωmk → ωmk-ω，常微扰的结果就可直接引用，于是得简谐微
扰情况下的跃迁几率为：
Wk  m 

| Fmk |2
2
2t ( mk   ) 
2t
2  ( 1 [   ]   )
|
F
|
mk
k
 m
2
2t
| Fmk |2  ( m   k   )

同理， 对于
ω = -ωm k 有：
二式合
记之：
Wk m
Wk m
2t

| Fmk |2  ( m   k   )

2t

| Fmk |2  ( m   k   )

（4）跃迁速率
 k m 
或：
 k m
（5）讨论
Wk  m
2
 | Fmk |2  ( m   k   )

t
2
 2 | Fmk |2  ( mk   )

1. δ(εm-εk ± ω) 描写了能量守恒：εm-εk ± ω= 0。
2. εk >εm 时，跃迁速率可写为：
2
 k m  | Fmk |2  ( m   k   )

也就是说，仅当 εm=εk - ω 时跃迁几率才不为零，此时
发射能量为 ω 的光子。
3. 当εk <εm时，
 k m 
2
| Fmk |2  ( m   k   )

4. 将式中角标 m, k 对调并注意到 F 的厄密性，即得
体系
由 m 态到 k 态的跃迁几率：
 mk
即
等于
2

| Fkm |2  ( k   m   )

2

| Fmk |2  ( [ m   k   ])

2

| Fmk |2  ( m   k   )

  k m
体系由 Φm → Φk 的跃迁几率
由 Φk → Φm 的跃迁几率。
（四）实例
例1. 设 t = 0 时，电荷为 e 的线性谐振子处于
基态。在 t > 0 时，附加一与振子振动方向相同
的恒定外电场 ，求谐振子处在任意态的几率。
解：
xm 0  




1

* ( x)
m
1

1 t
i mk t

H
e
dt

mk
i 0
t=0 时，
e t
i m k t

xmk e
dt
振子处

0
i
于基态，
t
e
即 k=0。
i m 0 t

xm 0e
dt

0
i
t i t
1 1 e

 m1  e m0 dt
0
 2 i
i m 0 t  t

1 1 e
e

 m1 

 2 i
 i m 0  0
e

 m1[e i m 0t  1]
2 m 0
(1) ( t ) 
am
* ( x ) x ( x )dx
m
0


ˆ   ex
H
1
 1 ( x )dx
2
1
 m1
2
式中 m,1 符号表明，只有
当 m=1 时，am(1)(t) ≠ 0，
所以
a1(1) ( t )  
W01 
e
( e i10t  1)
2 10
(1) 2
a1
 
e
( e i10t  1)
2 10
2
e 2 2
i 1 0t
 i 1 0t

(
e

1
)(
e
 1)
2
2 2
2   10
e 2 2
i 1 0t
 i 1 0t

[
2

(
e

e
)]
2
2 2
2   10
e 2 2
 2 2
[1  cos( 10 t )]
2
   10
结论：外加电场后，谐振子从基态ψ0跃迁到ψ1态的几
率是 W0→1，而从基态跃迁到其他态的几率为零。
例2. 量子体系其本征能量为：E0, E1, ..., En, ...，
相应本征态分别是：|0>, |1>, ..., |n>, ...，
在t ≤ 0 时处于基态。在 t = 0 时刻加上微扰：
Hˆ ( x , t )  Fˆ ( x )e  t / 
(  0)
试证：长时间后，该体系处于另一能量本征态|1>
的几率为：
| 1 | F | 2 |2
W01 
( E1  E0 ) 2  ( /  ) 2
并指出成立的条件。
证： 因为 m=1, k=0，所以： a (1)  1 t H  e i10t dt
1
i 0 10
其中
ˆ  | 0  1 | Fˆ ( x )e  t /  | 0 
  1 | H
代入上
H 10
式得：

t
/


t
/

ˆ
 1 | F ( x ) | 0  e
 F10e
(1)
1
a
1

i

t
0
F10e
t /
e
i 1 0t
t
1
dt 
F10  e ( i1 0 1 /  ) t dt
0
i
t
 e ( i 1 0  1 /  ) t 
1

F10 

i
i


1
/

 10
0
lim e ( i10 1 /  ) t
当 t → ∞ (t >> τ) 时：
t 
 lim e i10t e  t /   0
所以
t 
a1(1)
t 
W01  a ( t   )
(1)
1
 e ( i 1 0 1 /  ) t  1 
1

F10 

i
i


1
/

10


2

1
1

F10 
i

 i 10  1 / 
F10

 10  ( i /  )
此式成立条件就是微扰
法成立条件，
|a1(1)|2 << 1，
即
2

F10

 10  ( i /  )


| F10 |2
| 1 | Fˆ | 0 |2


2
2
( 10 )  ( /  )
( E1  E 0 ) 2  (  /  ) 2
| F10 |  E1  E0
或

| F10 | 

（五）能量和时间测不准关系
现在讨论初态 Φk 是分立的，末态 Φm 是连续的情况 (εm >εk)。
0
 ˆ i t  i  t
ˆ
H ( t )   F ( e  e
)

0
Wk  m 
t0
0  t  t1
t  t1
在t ≥ t1时刻，
Φk →Φm 的
跃迁几率则为：
4 | Fmk |2 sin 2 12 ( mk   )t1
Wk  m
 2 ( mk   )2
|Fmk |2t / 2
（1）由图可见，跃迁几率的贡
献主要来自主峰范围内，即在
-2π/t1 <ωmk – ω< 2π/t1 区
间跃迁几率明显不为零，而此
区间外几率很小。
mk - 
-4 / t -2 / t
0
2 / t
4 / t
（2）能量守恒不严格成立，即在跃迁过程中，εm = εk + ω或ωmk
= ω不严格成立，它们只是在上图原点处严格成立。因为在区间[2π/t1 , 2π/t1]，跃迁几率都不为零， 所以
既可能有
ωmk = ω，
也可能有
ω-2π/t1 < ωmk <ω+2π/t1。
上面不等式两边相减得：
Δωmk ≈(1/t1)
也就是说 ωmk 有一个不确定范围。由于k能级是分立的，εk 是确定的，
注意到
ωmk = 1/ (εm-εk)，所以 ωmk 的不确定来自于末态能量
εm 的不确定，即：
 mk   (
m  k

)
1
1
 m 
于是得： t1 m  

t1
若微扰过程看成是测量末态能量εm的过程，t1是测量的时间间
隔，那末上式表明，能量的不确定范围Δεm与时间间隔之积有
 的数量级。
上式有着普遍意义，一般情况下，当测量时间为Δt，所测得的能量不
确定范围为ΔE 时，则二者有如下关系：
此式称为能量和时间的测不准关系。由此
式可知，测量能量越准确（ΔE 小），则
用于测量的时间Δt 就越长。
E t  
返回
(一) 引言
（二）光的吸收与受激发射
（三）选择定则
（四）自发辐射
（五）微波量子放大器和激光器
(一) 引言
光的吸收和受激发射：
在光的照射下，原子可能吸收光而从较低能级跃迁到较高能
级，反之亦反，我们分别称之为光的吸收和受激发射。
自发辐射：
若原子处于较高能级（激发态），即使没有外界光照射，也能
跃迁到较低能级而发射光子的现象称为自发辐射。
对于原子和光的相互作用（吸收和发射）所产生的现象，彻底
地用量子理论解释，属于量子电动力学的范围，这里不作讨论。
本节采用较简单地形式研究这个问题。
光吸收发射的半径典处理：
（1）对于原子体系用量子力学处理；
（2）对于光用经典理论处理，即把光看成是电磁波。
这样简单化讨论只能解释吸收和受激发射而不能解释自发辐射。
（二）光的吸收与受激发射
（1）两点近似
1. 忽略光波中磁场的作用
照射在原子上的光波，其电场 E 和磁场 B 对原子中电子的作用分
别为（CGS）：
UE
 
 eE  r  eEa
 
UB  M  B
2
其中
a
（Bohr半径）
2
e
e
e

Lz B 
E
2 c
c
BE
二者之比：
UB
UE
2
a
e 2
e
E
c

eEa
e
E
c

2
eE
e 2
e2

c

1

137
即，光波中磁场与电场对电子作用能之比，近似等
于精细结构常数α，所以磁场作用可以忽略。
2. 电场近似均匀
考虑沿z轴传播的单色偏振光，即其电场可以表示为：
2 z  t ) 电场对电子的作用仅存在于电子活动的

E

E
cos(
 x
0

空间，即原子内部。所以我们所讨论的

E  Ez  0
问题中，z的变化范围就是原子尺度

 y
≈a ≈ 10-10 m，而λ≈ 10-6 m。
于是
2

a  104   1
故电场中的
2
z
2


于是光波电场可改写为：
a  10  4  1 可略
E x  E0 cos t
所以在原子范围内可以近似认为电场是均匀的。
（2）微扰 Hamilton 量
电子在上述电场中的电势能是：
ˆ   exE  exE cos t
H
x
0

1
2
exE0 [e it  e  it ]  Fˆ [e it  e  it ]
Fˆ 
其中
1
2
exE0
（3）求 跃迁速率 ωk→m
(I) 对光的吸收情况，εk < εm。单位时间由
Φk 态跃迁到 Φm 态的几率用下式给出：
 k m 

2
2
| Fmk |2  ( m   k   ) 
|


e 2 E 0 2
2 2
| x mk |2  ( mk   )
1
2
eE0 x mk |2  ( m   k   )
(II) 求 E0
根据电动力学，光波能量密度(CGS)
1
I
( E 2  B2 )
8
___
E2

1
T
又因为
T
0
平均是对一个周期进行
E02 cos 2 tdt 
___
E2

___
B2

1
2
E02
1
2
E02
所以
I 
1
E02  E02  8I
8
(III) 跃迁速率
 k m 
e 2 E02
2
2
| xmk |  ( mk
2
2
4

e
2
) 
I
|
x
|
 ( mk   )
mk
2

（4）自然光情况
上式适用条件：单色偏振光，即 一个频率，一个方向（x 向电场）。
对自然光：非单色、非偏振光，我们必须作如下两点改进。
（I）去掉单色条件
考虑在某一频率范围连续分布的光，
能量密度是 ω 的函数 -- I(ω)。
在 ω→ ω + dω 间隔内，其能量密度为： I(ω)dω，所
以
4e 2
d k  m  2 I ( ) | xmk |2  ( mk   )d

2
4e 2
4

e
 k m  2 | xmk |2  I ( ) ( mk   )d  2 | xmk |2 I ( mk )


（II）去掉偏振光条件
对各向同性的非偏振光，原子体系在单位时间内由 Φk → Φm
态的跃迁几率应该是上式对所有偏振方向求平均，即：
4e 2
 k  m  2 I ( mk ) 13 [| xmk |2  | ymk |2  | zmk |2 ]

 2
4
 2
4e 2
I ( mk ) | Dmk |

I ( mk ) | rmk | 
2
2
3
3

2
其中
Dmk  e rmk
是电偶极矩
所以
此跃迁称为偶极矩跃迁。
这是我们略去了光波中磁场的作用，并将电场近似地用
Ex= E0cosωt 表示后得到的结果，这种近似称为偶极近似。
上式是吸收情况，
 2
4e 2
对于受激发射情况，  m k 
I ( mk ) | rkm |
2
3
同理可得：
（三）选择定则
（1）禁戒跃迁
 k m
禁戒跃迁：
从上面的讨论可知，原子
在光波作用下由 Φk 态跃
迁到 Φm 态的几率：

 | rmk |2
当 |rmk|2 = 0 时，在偶极近似下，
跃迁几率等于零，即跃迁不能发生。我们称
这种不能实现的跃迁为禁戒跃迁。
显然，要实现 Φk → Φm 的跃迁，必须满足
|rmk|2 ≠ 0 的条件，或|xmk|, |ymk|, |zmk|不同时
为零。
由此我们导出光谱线的选择定则。
（2）选择定则
(I) 波函数 和 rmk
在原子有心力场中
运动的电子波函数
Ψnlm = Rnl(r)Ylm(,) = |n l m> = |n l> |l m>
为方便计，在球坐标下计算矢量 r 的矩阵元。
r

x

r
sin

cos


sin  [e i  e  i ]

2

r

y

r
sin

sin


sin  [e i  e  i ]

2i

 z  r cos 
于是



r



x

n
l
m
|
sin  [e i  e  i ] | nlm    nl m  | r sin  e  i | nlm 
 mk
2


r



y

n
l
m
|
sin  [e i  e  i ] | nlm    nl m | r sin  e  i | nlm 

2i

 z  nl m  | r cos  | nlm 


可见矩阵元计算分为两类：

 i
 i
 nl m | r sin  e | nlm  nl  | r | nl  l m | sin  e | lm 

 z  nl  | r | nl  l m | cos  | lm 

(II) 计算 <l'm'|cosθ|lm>
利用球谐函数的性质 I：
( l  1)2  m 2
l 2  m2
cos  | lm 
| l  1, m  
| l  1, m 
( 2l  1)( 2l  3)
( 2l  1)( 2l  1)
 l m | cos  | lm  
则积分


( l  1) 2  m 2
l 2  m2
 l m | l  1, m  
 l m | l  1, m 
( 2l  1)( 2l  3)
( 2l  1)( 2l  1)
( l  1) 2  m 2
 l  , l  1  m m 
( 2l  1)( 2l  3)
欲使矩阵元不为零，
则要求：
l 2  m2
 l  ,l 1  mm
( 2l  1)( 2l  1)
l   l  1


m  m
 l  l   l  1

 m  m   m  0
(III) 计算 <l'm'|sin e±i|l m>
sin e  i | lm 

则积分
 
 

利用球谐函数
的性质 II：
( l  m  1)( l  m  2)
( l  m )( l  m  1)
| l  1, m  1  
| l  1, m  1 
( 2l  1)( 2l  3)
( 2l  1)( 2l  1)
 l m | sin e  i | lm  
( l  m  1)( l  m  2)
 l m | l  1, m  1  
( 2l  1)( 2l  3)
( l  m )( l  m  1)
 l m | l  1, m  1 
(2l  1)( 2l  1)
( l  m  1)( l  m  2)
( l  m )( l  m  1)
 l  ,l 1  m ,m 1 
 l  , l 1  m  , m  1
( 2l  1)( 2l  3)
( 2l  1)( 2l  1)
欲使矩阵元不为
零，则要求：
l   l  1
 l  l   l  1


m  m  1
 m  m   m  1
(IV)
选择定则
综合(II)、(III) 两点
得偶极跃迁选择定则：
 l  l   l  1


 m  m   m  0,  1

这就是电偶极辐射角量子数和磁量子数得选择定则，在量
子力学建立之前，它是通过光谱分析中总结出来的经验规则。
径向积分 <n’l’| r |n l> 在 n、 n'取任何数值
时均不为零，所以关于主量子数没有选择定则。
（3）严格禁戒跃迁
若偶极跃迁几率为零，则需要计算比偶极近
似更高级的近似。在任何级近似下，跃迁几率都为
零的跃迁称为严格禁戒跃迁。
（四）自发辐射
光辐射、吸收
光子产生与湮灭
在前面的讨论中，我们将光子产生与湮灭
问题转化为在电磁场作用下原子在不同能
级之间的跃迁问题，从而用非相对论量子
力学进行了研究。
电磁场量子化
量子电动力学
这种简化的物理图象
不能合理自恰的解释
自 发 发 射 现 象
这是因为，若初始时刻体系处于某一定态（例如某激发能级），根
据量子力学基本原理，在没有外界作用下，原子的Hamilton是守恒
量，原子应该保持在该定态，是不会跃迁到较低的能级上去的。
Einstein曾提出了一个半唯象的理论，来简化处理自发发
射问题。他借助于物体与辐射场在达到平衡时的热力学关系，建立
了自发发射与吸收及受激发射之间的关系。
（1）吸收系数
 k m  Bkm I ( mk )
吸收
系数
 k m
设原子在强度为 I(ω) 的光照射下，
从 Φk 态到 Φm 态（εm > εk）
的跃迁速率为：
与微扰论得到的公式
 2
4e 2

I ( mk ) | rmk |
2
3
（2）受激发射系数
Bkm
比较得：
4 2e 2  2

| rmk |
2
3
对于从Φm 态到Φk 态（εm>εk）
的受激发射跃迁速率，Einstein
 mk  Bmk I ( mk )
类似给出：
受激
与相应得微扰论公式比较得： 由于 r 是厄密算符，所以
发射


4 2e 2  2
2
2
系数
|
r
|

|
r
|
Bmk 
| rkm |
km
mk
2
3
从而有：
Bkm  Bmk
受激发射系数等于吸收系数，
它们与入射光的强度无关。
（3）自发发射系数
1. 自发发射系数 Amk 的意义
自发发射系数的物理意义：
2. Amk，Bmk 和 Bkm 之间的关系
在光波作用下，单位时间内，
体系从εm 能级跃迁到εk
能级的几率是：
从εk 能级跃迁到εm
能级的几率是：
当这些原子与电磁辐
射在绝对温度 T 下
处于平衡时，必须满
足右式条件：
εm 能级上的
原子的数目
在没有外界光地照
射下，单位时间内
原子从 Φm 态到
Φk 态（εm > εk）
的跃迁几率。
自发发射
受激发射
Amk  Bmk I ( mk )
Bkm I ( mk )
εk 能级上的
原子的数目
N m [ Amk  Bmk I ( mk )]  N k Bkm I ( mk )
3. 求能量密度
由上式可以解得能量密度表示式：
N m Amk
I ( mk ) 
N k Bkm  N m Bmk
Bkm = Bmk
求原子数 Nk 和 Nm
代入
上式
据麦克斯韦-玻尔兹曼分布律：
 k / kT

N

C
(
T
)
e
 k

 m / kT 二式相比
N

C
(
T
)
e

 m
得：
Amk

 Nk

Bmk 
 1 
 Nm

Nk
Nm
 e ( m  k ) / kT
Amk 
1

I ( mk ) 
Bmk  e  mk / kT  1 
 e  mk / kT
4. 与黑体辐射公式比较
在第一章给出了 Planck 黑体辐射公式
在角频率
间隔ω→
ω+dω内
辐射光的
能量密度
8h
 ( )d 
c3
I ( mk )d mk
3
辐射光在频率
间隔ν→ν+dν
内的能量密度
1
e h / kT
Amk 

Bmk 
 e  mk
1
1
/ kT
d

 d mk
 1
 ( )d  I ( )d
考虑到 ω=2πν
所以
 ( )d  2I ( )d
和 dω= 2πdν
 ( )  2I ( )
代入辐射公式得：
8h mk
Amk
1
2

h mk / kT
 mk / kT
3
c
B
e
1
1
mk e
3
Amk 
4h mk 3
c3
Bmk 
 mk 3
 2c 3
Bmk
Amk
2

Bmk e h mk / kT  1
ωmk=hνmk
5. 自发发射系数表示式
 mk
 2 3 Bmk
 c
3
Amk
 mk

 2c 3
3
4 2e 2  2
| rkm |
2
3
4e 2 mk  2

| rkm |
3
3c
3
由于自发发射系数 Amk ≈ | rmk|2，所以自发发射与受
激发射具有同样的选择定则。
（4）自发跃迁辐射强度
Amk ————单位时间内原子从Φm 自发地跃迁到 Φk 的几率，
与此同时，原子发射一个 ωmk 的光子。
Nm ———— 处于Φm 原子数，
NmAmk——— 单 位 时 间 内 发 生 自 发 跃 迁 原 子 数 （ 从 Φm →Φk ） 。
也是发射能量为 ωm k 的光子数。
频率为 ωmk 的光总辐射强度
J mk  N m Amk  mk  N m
4e 2
mk
3c 3
3
 2
| rkm |  mk  N m
4e 2
mk
3c 3
4
 2
| rkm |
表示激发态
原子数的减少
（5）原子处于激发态的寿命
处 于 激 发 态 Φm 的 Nm 个 原
子中，在时间 dt 内自发
跃迁到低能态Φk 的数目是
积分后得到 Nm 随时间变化得规律
dN m   Amk N m dt
t=0 时Nm 值
平均寿命
N m  N m ( 0)e  Amk t  N m ( 0)e  t /  mk
如果在Φm 态以下存在许多低能态 Φk ( k=1,2,…i )
单位时间内Φm 态自发跃迁的总几率为：
Am 
i

k 1
Amk
单位时间内原子从
m → 第 k 态 的
跃迁几率
原子处于Φm 态的平均寿命
m 
1

Am

k
1
Amk
（五）微波量子放大器和激光
（1） 受激辐射的重要应用——微波量子放大器和激光器
受激辐射的特点：出射光束的光子与入射光子的状态完全相同
（能量、传播方向、相位）。
I 微波量子放大器
Em
m

入射光子引起的受激辐射过程
1
  ( Em  Ek )

II 激光器
Nm
Ek
k
自发辐射的光子引起受激辐射的连锁反应过程
（2）受激辐射的条件
工作物质中，原子体系处于激发态 m ，为了获得受激
发射而跃迁到低激发态 k 必须具备两个条件。

Nk
Ｉ
粒子数反转
单位时间内由  m 态到  k 态的受激发射应超过由  k 态到  m
态的吸收。为此要求处于高、低能态的粒子数 Nm 和Nk 满足：
Nm  Nk
根据 Boltzmann 分布律，热平衡下，粒子数分布由下式给出：
1
 [ Em  Ek ]
Nm
 e kT
Nk
能级越高，原子数越少。
 m 态与  k 态的能量差一般大于 1 eV ~ 11605 0 K (常
温300 0 K )，所以常温热平衡下，原子几乎全部处于基态，处于
激发态的微乎其微。故产生Nm > Nk 的现象称为粒子数反转。
粒子数反转是受激发射的关键，各种类型的微波量子放
大器和激光器就是要采用各种不同的方法来实现粒子数反转。
II
自发辐射 <<
Amk 
1

I ( mk ) 
Bmk  e  mk / kT  1 
如前所述：
当  mk
则
受激辐射
Amk
e
Bmk I ( mk )
当 m
微波情况：
可见光情况：
k
k
1
kT

ln 2   0 时，有 Amk  Bmk I ( mk )

对于室温而言，T = 300 0 K ，
 0 = 2 . 9 ×1013 s -1 ~  0 = 0 . 00006 m
当 m
 m k
kT
> 0
时
Amk  Bmk I ( mk )
< 0
时
Amk  Bmk I ( mk )
自发辐射几率
＝ 受激辐射几率
 m k >> 0 . 00006 m =  0 ，即 m k低，自发辐射几率 <<
受激辐射几率，产生 受激辐射的条件自然得到满足。
 m k << 0 . 00006 m =  0 ，即 m k 高，自发辐射几率 >>
受激辐射几率，不满足产生 受激辐射的条件。为此就必
须用一个谐振腔来增强辐射场使辐射密度远大于热平衡
时的数值，以提高受激辐射几率。