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微课爱我
常用逻辑用语 （1）：
巧妙的转换
—两个命题互为逆否关系的应用
我爱微课
引例
例1:判断命题的真假：
若方程
至少有一个负实根，则
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
分析
四种命题之间的关系
原命题
若p则q
互
否
命
题
真
假
无
关
否命题
若﹁ p则﹁ q
逆命题
若q则p
互
否
命
题
真
假
无
关
逆否命题
若﹁ q则﹁p
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分析
但是在遇到一个命题的真假不易判断时，学生常
常不能灵活应用这一结论巧妙地转化为它的逆否
命题来判断，这也是教材的难点.
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点拨
例1:判断命题的真假：
若方程
至少有一个负实根，则
注意：若从条件入手，求结论，方程可能是一元一次方程
同学想想：若从
也可能是一元二次方程，需要讨论，若是一元二次方程，
条件入手，求结
那么至少有一个负实根的情况包括一个正根一个负根，或
论，会是怎样的
两个负根，同样又需要讨论.这样，我们就需要讨论多种
情况？
情况，比较复杂.
这时，我们可以把它转化为逆
否命题进行判断.
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分析
例1:判断命题的真假：若方程
至少有一个负实根，则
析：首先要准确地写出这个命题的逆否命题，写出逆否
命题的步骤是什么呢？
①例如写出否命题：
应该是没有负实根.
也可以先写出逆命
可以先写出否命
“至少有一个负实根”的否定是什么呢？
题，再写出逆命题
题，再写出否命
的否命题.
的否定是什么？
题的逆命题即可.
所以原命题的否命题是：若方程
则
.
没有负实根
②交换否命题的条件与结论，得否命题的逆命题，即逆否命题为:
若
，则方程
没有负实根.
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解析
因为当
时，方程
次方程，由根的判别式
是一元二
方程
没有负实根，由此逆否命题为
真命题，所以原命题也为真命题.
常常当命题含“至多”，“至少”，“没有”，
“不等于”，“不都是”等关键词要判定命题
的真假时，我们转化为判定逆否命题的真假.
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变式思考
判断命题：“在
假.
中，若
,则
三个角不成等差数列”的真
很多同学感觉到若直接判断不太容易，所以我们也
同样转化为逆否命题来判断.
不难得到逆否命题为：在
中，若
三个角成等差
数列，则
显然转化后的命题更好判定真假，一起来看：
因为
三角成等差数列，所以
中
，所以可得到
所以原命题也为真命题.
由于在三角形
即逆否命题为真命题，
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小结
1.当原命题的真假难以判定时，我们可通过逆否
命题来判定，但要注意将逆否命题书写正确.
2.常常当命题含“至多”，“至少”，“没有”，“不
等于”，“不都是”等关键词时，我们应用这种等价转
换关系能化难为易.
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点评
当原命题的真假有时难以判定，通过逆否命题来判定，
这是一种重要的数学方法，显然它更是一种策略，当
“正面不易突破”时，要变换角度，从“反面进军”，
往往能取得出奇制胜的效果.
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