Transcript 矩阵的运算

2.2矩阵的运算
一
矩阵的线性运算
二
矩阵的乘法
三
方阵的幂与矩阵多项式
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一、矩阵的线性运算
1. 矩阵的加法、减法
定义1: 若
A   aij

m n
B   bij

m n
则 A与B的和为:
A  B  (aij  bij )mn
【注】 只有两个同型矩阵才可进行和的运算，两
个同型矩阵的和等于对应元素和的矩阵。
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一、矩阵的线性运算
1. 矩阵的加法、减法
例1. 若
 x1

A   y1
 z
 1
x2
x3
y2
z2
y3
z3
 x1  a1

则 A  B   y1  b1
 z c
 1 1
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x4 
 a1


y 4  B   b1
c
z 4 
 1
a2
a3
b2
c2
b3
c3
x2  a2
x3  a 3
y 2  b2
z 2  c2
y 3  b3
z 3  c3
a4 

b4 
c 4 
x4  a4 

y 4  b4 
z 4  c 4 
一、矩阵的线性运算
1. 矩阵的加法、减法
设
A   aij

m n
，矩阵
称为A的负矩阵，记为： 
例:

A

1 2 3 

6 5 4 
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a 
ij
m n
A
 1 2 3 
A  

 6 5 4 
一、矩阵的线性运算
1. 矩阵的加法、减法
定义2:设
则
A   aij

m n
B   bij

m n
A  B  A    B    aij  bij m  n
  2 2 1 

B  
 3 1 5 
 1  (2) 2  2 (3)  (1)   3 0 2 
A B  


 (6)  (3) (5) 1 4  (5)   3 6 9 
例: A   1 2 3 


 6 5 4 
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矩阵加法的运算律
（1）交换律
A B  B A
（2）结合律
( A  B)  C  A  ( B  C )
（3）
（4）
AO  A
A (  A)  O
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一、矩阵的线性运算
2. 矩阵的数量乘法
定义3.设
 ka 
ij
例:
A   aij

m n
，k是一个常数，矩阵
称为数与矩阵A的数量乘积，记为:
m n

A  

kA
1 2 3  3A   3 6 9 

 12 15 18 


4 5 6
【注】 矩阵的数量乘积是与矩阵中的每一个元素都相乘。而这
一点与行列式的提取一行（列）的公因数不同。
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矩阵数量乘法的运算律
（1）
k ( A  B)  kA  kB
（2）
(k  l ) A  kA  lA
（3） (kl) A
（4） 1 A
 k (lA)
A
矩阵的加法、减法与数乘矩阵这三种运算合
起来，称为矩阵的线性运算。
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二、矩阵的乘法
 
定义4 设 A  aij
当n
m n
 p 时,称 C   cij

B   bij
cij  ?

pq
为矩阵A与矩阵B的积。
m q
记为：AB
左矩阵
右矩阵
是矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列
的元素对应乘积之和
cij  ai1b1 j  ai 2b2 j 
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n
 ainbnj   aik bkj
k 1
二、矩阵的乘法
• 【注】两个矩阵要进行乘法运算，必须满
足左矩阵的列数与右矩阵的行数相等。即
Amn  Bnq  Cmq
A的行数=B的列数
在这个前提下，乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，
列数等于右矩阵的列数。
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二、矩阵的乘法
1 2 1 
例4. 已知 A  

 2 3 1 
解
 1 1 


B   1 1 
 1

1


求 AB和BA
1 (1)  2  1  1 1   0 2 
 1 1  2  (1)  1 1
  

AB  
 2  1  3  (1)  (1)  1 2  (1)  3  1  (1)  1    2 0 
11  (1)  2 1 2  (1)  3 11  (1)  (1)   1 1 2 


BA   (1) 1  1 2 (1)  2  1 3 (1) 1  1 (1) =  1 1 2 
 1 1  1 2
 3 5 0
1

2

1

3
1

1

1

(

1)

 

AB  BA
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矩阵乘法的基本性质
（1）左分配律
右分配律
A( B  C )  AB  AC
( B  C ) A  BA  CA
（2）结合律
A( BC)  ( AB)C
（3） k ( AB)
 ( kA ) B  A( kB )
（4）
AE  A
（5）
OA  O
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EA  A
AO  O
其中k为常数
例5 求下列矩阵的乘积 AB与BA。并判断二者是否相等？
 1 2
2 3



（1） A  1 0 , B  



1
0


 2 1


 a1 
 
a2 

（2） A 
, B   b1 , b2 ,
 
 
 an 
, bn 
1 1
1 1 

 B  
（3） A  


1 1
 1 1 
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例5 求下列矩阵的乘积 AB与BA。并判断二者是否相等？
 1 2
 4 3
 2 3 



（1） AB  1 0 


2

3

 1 0 

  5 6
 2 1




解:
但是， BA 无意义.
AB  BA
矩阵乘法不适合交换律!
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例5 求下列矩阵的乘积 AB与BA。并判断二者是否相等？
解: （2）  a1 
 
a2 

AB 
b1 , b2 ,

 
 
 an 
BA   b1 , b2 ,
AB  BA
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 a1b1 a1b2

a2b1 a2b2

, bn  


 anb1 anb2
 a1 
 
a2 

, bn 
 b1a1  b2 a2 
 
 
 an 
a1bn 

a2bn 


anbn 
 bn an
例5 求下列矩阵的乘积 AB与BA。并判断二者是否相等？
解: （3）
 0 0
2 
 2
 BA  
AB  


2

2
0
0




AB  BA
何时成立?
AC  BC
CA  CB
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?
AB
三、方阵的幂与矩阵多项式
定义:若设是一个n阶方阵，m个A连乘称为A
的m次方幂，记为：A m
即,
A  An  An 
m
 An
m个
规定:
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k 0
An0  En
k 1
An1  An
k 2
An2  An  An
k 3
An3  An  An  An  An 2  An
三、方阵的幂与矩阵多项式
• 方阵的幂运算满足以下运算规律:
（1）
A A A
（2）
A 
m
k
m k
注意: 一般地 ,
mk
A
(
m, k 均为正整数）
mk
为什么?
AB
m
A B
m
何时成立？
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m
三、方阵的幂与矩阵多项式
定义: 若
m次多项式
f ( x)  am x    a2 x  a1x  a0
m
m
A
2
A 为 n 阶方阵，则
m
2
f ( A)  am A   a2 A  a1 A  a0 E
，
称为 方阵A的m次多项式。
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3 1 
例6 设 f ( x)  x  x  1, A  

 1 1
3 1  3 1  10 2 

2
解： A  



 1 1 1 1  2 2 
2
10 2   3 1   1 0 
f ( A)  A  A  E  



 2 2   1 1  0 1 
 10  3  1 2  1  0 


 2  1  0 2  ( 1)  1 
8 1


1 4
2
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注意！ 在矩阵运算中，乘法公式不都成立。
( A  B)  A  2 AB  B
2
2
( A  B)( A  B)  A  B
2
2
2
对于可交换的（AB=BA）矩阵，则上式成立。
( A  E)  A  2 A  E
2
2
( A  E)( A  E)  A  E
2
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四、矩阵的转置运算
• 1、矩阵的转置
• 2、对称阵与反对称阵
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1、矩阵的转置
定义: 一个
m n
A   aij
矩阵
互换行列元素的位置后，得到的新的
阶矩阵
 a11

 a12


a
 1n
称为 A 的转置，记为：
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A
或
m n
mn
a 21  a m1 

a 22  a m 2 
  


a 2 n  a mn 
T

例子
A
例如:
 1 2 3 
A

 4 8 5 
 1 4 


T
A  2 8 
 3 5 


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转置运算的性质：
1.  A  B  A  B
T
2.
 kA 
 kA（其中k为常数）
A
 AB 
T
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T
T
 
3. A
4.
T
T
T T
( AB)T  AT BT
B A
T
T
例6 设矩阵
A  1, 1, 2
2

B  1
4

1 0 

1 3

2 1
解：（方法1）
 9 
 2 1 0 


T


(
AB
)

2
AB  1, 1, 2   1 1 3   (9, 2, 1)


 1 
4 2 1




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方法2：
1
 
T
A   1 
2
 
 2 1 4


T
B   1 1 2 
 0 3 1


 2 1 4 1   9 

   
BT AT   1 1 2   1   2 
 0 3 1   2   1

   
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9
 
( AB )T  BT AT   2 
 1
 
2 对称阵与反对称阵
定义7 对于矩阵 A 如果满足
A A
T
则称 A 是对称矩阵，简称对称阵。
A   aij  为n阶方阵。如果
aij  a ji (i  1, 2, , n; j  1, 2, , n)
定义7` 设
则称A为对称矩阵。
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反对称矩阵
定义7 对于矩阵 A
如果满足
A  A
T
则称 A 是反对称矩阵，简称反对称阵。
A   aij  为n阶方阵。如果
aij  a ji (i  1, 2, , n; j  1, 2, , n)
定义7` 设
则称A为反对称矩阵。
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aii  0
？
反对称的例子
 1 2 3 


A 2 4 6 
 3 6 5 


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1  1
0


B  1 0
3
 1 3 0 


例7 设A是对称矩阵，
证明: BTAB 也是对称矩阵。
证明： 由于
A A
T
用转置的运算律得 ，
( B AB)  B A ( B )  B AB
T
即
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T
T
B AB
T
T
T T
是对称矩阵。
T