Transcript 秩（B）

§ 4-3 矩阵乘积的行列式与秩
讨论主题:
1.矩阵乘积的行列式值与
因子矩阵行列式的关系;
| AB |  ?
2.乘积矩阵的秩与其因子
矩阵秩的关系.
R ( AB )  ?
Th.1：数域P上两个方阵乘积的行列
等于它的因子行列式的乘积。
|AB|=|A||B|
D=
D
A
0
E
B
0
AB
E
B
 | A || B |
 (  1)
（P81-Ex.3）
(1  2   n )  ( n  1  n  2    2 n )
AB
0
B E
 | AB |
Coro.:
|A1A2…An|=|A1||A2|…|An|
Def. ：数域 P 上的方阵A称为非退化的，
如果|A|≠0，
否则称为退化的。
Coro.：二个方阵A、B的乘积为退化的充
分必要条件是 A，B 中至少有一个
是退化的。
Th2：设A是数域P上的n×m
矩阵, B是P上的m×s矩阵,于是
秩（AB）≤min[秩(A),秩(B)].
(即矩阵乘积的秩不超过各因子的
秩)
证明：设
 a 11

 a 21
A


a
 n1
a 12
a 22

an2
a1 m 

 a2m 




 a nm 

 b11 b12  b1 s 


 b 21 b 22  b 2 s 
B

 
 


b

b

b
m2
ms 
 m1
令B1，B2，…，Bm表示B的行向量，C1，
C2，…，Cn表示C=AB 的行向量。由于Ci
的第j个分量与
a i1 B1  a i 2 B 2    a im B m
a i1 B1  a i 2 B 2    a im B m
m
的第j个分量都等于  a ik b kj
，因而
k 1
C i  a i1 B1  a i 2 B 2    a im B m ( i  1, 2 ,  , n )
即矩阵AB的行向量组C1，C2，…，Cn可经
B 的行向量组线性表出。所以AB的秩不超
过B的秩，即秩（AB）≤秩（B）
同样，令A1 ， A2 ， …Am 表示A的列向
量，D1，D2，…，Ds表示C=AB的列向量，
则有
D i  b1i A1  b 2 i A 2    b mi A m ( i  1, 2 ,  , s )
AB的列向量组可经矩阵A的列向量组
线性表出，所以
秩（AB）≤秩（A），也就是
秩（AB）≤min[秩（A）,秩（B）].
Coro.:如果A=A1A2…Am ,那么，
秩 ( A) 
min
1 j  m
秩(Aj )
Ex.1：设A，B为n×n矩阵，证明：如果
AB=0，那么 秩（A）+秩（B）≤n
证明：若|A|≠0,则A的列向量组线性无关,
由零矩阵的定义和向量组线性无
关的定义可知 B=0, 此时
秩（A）+秩（B）=n+0=n 等式成立.
若|A|=0, 秩(A)= r < n,
此时B的每一列向量是Ax=0的解向量,
所以 R(B)≤n-r, 从而
秩（A）+秩（B）≤n 等式成立.
Ex.2：秩(A+B)≤秩(A)+秩(B)
证明:设秩(A)=r, 秩(B)=s,
 1 ,  2 ,  ,  r 是矩阵 A 列向量组的一个极大
线性无关组
 1 ,  2 ,  ,  s 是矩阵 B 列向量
AB
组的一个极大线性无关
组 , 则矩阵
的每一列向量都可由这
r  s 个向量线性表示
从而
秩 ( A  B )  r  s  秩 (A)  秩 (B)
,
思考题
当A,B为n阶方阵时,矩阵AB维非奇异矩
阵的充分必要条件是什么?
把你的结论推广成n个方阵乘积形式.
思考题答案
AB非奇异的充分必要条件是A与B均为
非奇异矩阵
Homework：P205---5、6、8、16、17