Transcript 4.6 一般向量空间

4.6
一般向量空间
一、向量空间的定义
定义4.11 设V是一个非空集合（其中的元素叫
做向量），F是一个数域. 在V中规定了加法运算,
在F中的数与V中的向量之间 规定了乘法运算: 对于
V中的任意两个向量α,β和F中的任意数k, α+β与kα
仍在V中. 如果这两种运算满足下列运算规则,就称V
是数域F上的一个向量空间(也称线性空间):
1) α+β=β+α;
2) (α+ β)+γ=α + (β+γ);
3）在V中存在一个零向量0，对于V 中每
个向量α,都有α+0=α;
4) 对于V 中的每个向量α,在V 中存在一个
向量β，使得α+β=0.β称为α的负向量;
5) (k+l)α= kα+lα;
6) k(α+ β)= kα+k β;
7) ( kl )α=k(l α)；
8) 1α= α.
其中α,β, γ是V中的任意向量, k和l是F中的任
意数.
二、向量空间的性质
(a )
零向量是唯一的.
(b)
每个向量的负向量都是唯一的.
向量的负向量记作   .
利用负向量可以在V中定义减法：
      (  ).
(c )
0  0, k 0  0,(1)   .
证明 （1） 由
  0  1  0  (1  0)  1   ,
两边加上   , 得0  0.
（2） 由k 0  k  k (0   )  k , 两边都加上
 k , 得k 0  0.
（3） 由 （ 1)  (1  ( 1))  0  0，
两边都可上  ，得（ 1）   .
(d )
如果k  0, 那么k  0或  0.
三、向量组的线性相关性
（一） 有关概念
定义4. 12 设1 ,  2 ,
一组向量，k1 ,k2 ,
,  m是向量空间V中的
, km是数域F中的一组数. 向量
 =k11  k2 2 
称为向量组1 ,  2 ,
向量 可由1 ,  2 ,
 km m
,  m的一个线性组合, 此时也说
,  m 线性表示.
定义4. 13 设
1 ,  2 , ,  m
1 ,  2 , ,  s
(I)
(II)
是向量空间V 中的两个向量组. 如果(I)中每个向量
都可由向量组(II)线性表示，则称向量组(I)可以由
向量组(II)线性表示；如果向量组(I)与(II)可以互相
线性表示,则称这两个向量组等价.
定义4. 14 设1 ,  2 ,
,  m 是向量空间V 中的
一组向量. 如果存在数域F中一组不全为零的数k1 ,
k2 ,
, km，使得
k11  k2 2 
则称1 ,  2 ,
 km m  0，
（4. 4)
,  m 线性相关；如果向量组1 ,  2 ,
,
 m不线性相关，就称之为线性无关. 换句话说，如
果仅当k1  k2 
向量组1 ,  2 ,
 km  0时( 4. 4) 式才成立，则称
,  m 线性无关.
定义4. 15 设 i1 ,  i2 ,
,  ir 是向量组 1 ,  2 ,
, m
的一个部分组. 如果
(1)  i1 ,  i2 ,
,  ir 线性无关；
(2) 对任一 j (1  j  m ), 向量组 i1 ,  i2 ,
,  ir ,  j
线性相关，
则称 i1 ,  i2 ,
,  ir 是向量组1 ,  2 ,
部分组，简称极大无关组.
,  m的一个极大无关
（二） 几个重要结论
1. 单个向量 线性相关的充分必要条件是 =0;
两个以上的向量1， 2， ， m( m  2) 线性相关的
充分必要条件是其中至少有一个向量可由其余向量
线性表示.
2. 如果向量组1， 2， ， m 可由向量组1 ,  2 ,
,  s 线性表示，并且m  s , 那么1， 2， ， m 线性
相关.
3. 如果向量组1， 2， ， m 线性无关，而向量
组1， 2， ， m ,  线性相关，那么 可由1， 2， ，
 m 线性表示，并且表示法唯一.
4. 向量组的任何两个极大无关组都含有
相同个数的向量，并且每个极大无关组都与原
向量组等价.
向量组1 ,
,  m的极大无关组所含向量的
个数称为该向量组的秩，记作r ank{ 1 ,
,  m }.
5. 等价的向量组有相同的秩. 特别地，两
个等价的线性无关的向量组所含向量的个数是
相同的.
三、向量空间的维数
定义4.16 设V是数域F上一个向量空间. 如
果V中线性无关的向量组最多可含n个向量, 那
么就称V是一个n维向量空间. 如果V中线性无
关的向量组可含任意多个向量，则称V是无限
维向量空间.
有限维向量空间V的维数记作dimV.
零空间的维数规定为零.
四、基与坐标
定义4.17
n维向量空间V中任意n个线性无关
的向量都称为V的一个基.
设 1 ,  2 ,
,  n是n维向量空间V的一个基.
V中任一向量 都可唯一地表示成 1 ,  2 ,
的线性组合：
  k11  k2 2 
组合系数k1 , k2 ,
, n
kn n ,
, kn 称为向量 关于基1 ,  2 ,
 n的坐标, 记作  k1 , k2 ,
, kn  .
,
定理4.13
2 ,
如果向量空间V 中有n个向量 1 ,
,  n线性无关，并且V 中每个向量 都可由
它们线性表示，那么 dim V  n, 并且 1 ,  2 ,
, n
就是V 的一个基.
定理4.12
设V 是数域F 上的一个有限维
向量空间. V中任意一个线性无关的向量组都
可以扩充成V的一个基.