Transcript 9第九章振动学基础

第九章
振动学基础
第九章 振动学基础
9-0
教学基本要求
9-1
简谐振动的规律
9-2
简谐振动的描述
9-3
简谐振动的合成
教学基本要求
一、理解简谐振动的基本特征,了解研究谐振子模型的意
义.
*二、能建立一维简谐振动的微分方程,能根据给定的初始
条件写出一维简谐振动的运动方程,并理解其物理意义.
三、理解描述简谐振动的各物理量的物理意义和决定因素
.
四、理解旋转矢量法和相位差的意义,会用旋转矢量法
分析和解决简谐振动问题,会做振动曲线.
五、理解两个同方向、同频率简谐振动的合成规律.
*六、了解相互垂直的两个同频率简谐振动的合成.
9-1 简谐振动的规律
要点
1. 简谐振动的规律和特点.
谐振动？
如何判断一个振动是否为简
2. 简谐振动的能量有什么特点?
3. 简谐振动的周期由什么决定？如何求简谐振动的周期？
4. 谐振子模型的意义何在？
机械振动：一种特殊的机械振动，物体在某个位
置附近来回的往返运动。此种运动形式广泛存在
于宏观和微观世界。
广义地，把描写物质系统运动状态的物理量在某
个数值附近的周期性变化都定义为机械振动。
一、简谐振动的定义
1.弹簧振子
一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端
固结一个可以自由运动的物体，就构成一个弹簧振子.

F弹
x
o
x
2.弹簧振子振动的微分方程
弹簧振子偏离平衡位置 O
后，仅因回复力(弹性力)和

F弹
惯性而自由往返运动.
F  kx  ma
k
d x F
a 2   x
m
m
dt
2
o
x
x
d2 x k
 x0
2
dt
m
k
令  
m
2
d x
2


x0
2
dt
2
有
弹簧振子的振动微分方程(动力学方程)
解微分方程得：
(1) 位移时间关系(振动方程)
x  A cos(t   )
(2) 速度时间关系
dx
π
v
  A sin(t   )  A cos( t    )
dt
2
(3)加速度与时间的关系
d2 x
2
2
a  2   A cos(t   )  A cos(t  π)
dt
 ω x
2
(4)能量特征
1
1
2
2 2
2
Ek  mv  m A sin (t   )
2
2
1 2 1
Ep  kx  kA 2 cos 2 (t   )
2
2
由
 k/m
2
1 2 1 2 2 2
Ek  mv  m A sin (t   )
2
2
1 2 2
 kA sin (t   )
2
弹簧振子的总的机械能
1 2
E  Ek  Ep  kA
2
E
1
kA 2
2
Ek
Ep
o
T
T
3T
4
2
4
T
t
弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能都随时间发
生周期性变化，但动能和势能的总和保持为一个常量，即系
统的机械能守恒.
(5)振动曲线
x  A cos(t   )
A
o
A
x
T
2
T
t
3.简谐振动的定义
任一物理量x随时间t的变化关系如果满足微分方程

F弹
d x
2


x0
2
dt
2
其中 ω是系统固有性质决
定的常数,则此物理量作简谐
运动.
o x
x
4.简谐振动的判据
(1)运动的微分方程(定义式).
(2)机械振动也可用其受力特征或运动特征判断.
二、简谐振动的固有周期
振动往复一次所需时间为T.
x  A cos(t   )  A cos[(t  T )   ]
 A cos(t    T )
周期
T
角频率
2π

1 
频率   
T 2π
2π
  2π  
T
 ,T ,
都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢.
k
由 
m
2
得弹簧振子固有周期
T  2π
m
k
例: 质量为m长度为l的均匀细棒，绕O点作小角度摆
动. 求振动周期.
1
解: 重力矩 M   mgl sin 
2
“ – ”表示力矩与逆时针张角方向相反.
M  J
d 2
J 2
dt
d
1
J 2   m glsin 
dt
2
2
当
 5 时, sin   
d  m gl

 0
2
dt
2J
2
O
 l
mg
由
1 2
J  ml
3
d 2 3g
  0
2
dt
2l
令
3g
 
2l
2
得到振动微分方程
d
2
   0
2
dt
2
2π
2l
T
 2π
ω
3g
表明棒作角简谐振动
三、谐振子模型
符合简谐振动微分方程的振动体称为谐振子，它
是振动学的研究基础. 弹簧振子、无阻尼 LC振荡电路
等是典型的经典谐振子模型，依据量子物理研究微观
谐振子可揭示其能量量子化.
9-2 简谐振动的描述
要点
1. 简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定?
如何确定？
2. 注意相位在描述振动中的特殊重要的作用.
3. 注意领会旋转矢量表示研究谐振动的方法.
一、振幅和初相位
1. 振幅 A
质点在振动过程中离开平衡位置的最大位移的绝对值.
表征了系统的能量，由初始条件决定.
由
x  A cos(t   ),
v   A sin(t   )
A  xmax
x0  A cos 
t  0 时,
v0   A sin 
2
有
 v0 
x     A2 ,
 
2
0
得
 v0 
A  x  
 
2
0
2
2. 相位
在 x  A cos(t   )中，t
（1）t
  称为振动的相位.
   x ，v 存在一一对应的关系；
即其决定质点在时刻的t的位置和速度(即时刻t的运动
状态).
（2）初相位  (t  0)描述质点初始时刻的运动状态(初
位置 x0 和初速度v0 . 已知初始条件 x0 ,v0 也可确定初相.
 v0 / A
v0
tan 

x0 / A
x0
上式可求得 在 0,2π 区间内两个解，应进一步
由 x0 ,v0 的符号判定 cos  和 sin  的符号后选定其中
的一个解.
二、相位差
1.相位差
表示两个相位之差. 对于两个同频率的简谐运动，
相位差表示它们间步调上的差异.
x1  A1 cos(t  1 )
x2  A2 cos(t   2 )
  (t   2 )  (t  1 )
  2  1
两个同频率的简谐运动相位差都等于其初相差
而与时间无关.
2.超前和落后
若 
 2  1  0，则x 比x 较早达到正最大，
称x2比x1超前(或x1比x2落后).
2
1
3.同相和反相
当  =2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相
同，称同相.
A1
A2
O
- A2
x2
x1
同相
T
-A1
两同相振动的振动曲线
t
当=(2k+1)， ( k=0,1,2,…)，两振动步调相
反，称反相.
x
A1
x1
A2
O
- A2
反相
T
t
x2
-A1
两反相振动的振动曲线
三、简谐振动的旋转矢量表示法

如图，一长度为A的矢量 A 绕其始端O以恒角速度 
沿逆时针方向转动，其矢端M在Ox轴上的投影点P将以O
为平衡位置做简谐振动.
x  A cos(t   )

 M
A  t 
O
P
x
可见，旋转矢量的长度A、
角速度
和t=0时与x轴的

夹角 分别代表投影点简谐
振动的三个特征量：振幅、
角频率和初相位.

 M
A  t 
O
P
x
任一时刻旋转矢量与x轴的夹角 t   为投影点简谐

振动的相位. 规定 A 沿逆时针方向转动，则相位  t  
便唯一确定了投影点作简谐振动在时刻t的运动状态.
所以，作匀速转动的矢量，其矢端在过其始端的
直线(x轴)上的投影的运动就是简谐振动.
物理模型与数学模型比较
简谐振动
旋转矢量
A
振幅
半径长

初相
初始角坐标
t+
相位
角坐标

圆频率
角速度
T
谐振动周期
旋转周期
9-3简谐振动的合成
要点
1. 注意两个同方向同频率简谐振动的合振动规律.
分振动之间的相位差与合振动振幅有什么关系？
2. 了解两个互相垂直的简谐振动的合成.
一、两个同方向同频率的简谐振动的合成
x1  A1 cos(t  1 )
x2  A2 cos(t   2 )
x  x1  x2

A2
x  A cos(t   )
2
O
1
x2



A1
x1

A
x
x
两个同方向同频率简谐运
动合成后仍为简谐运动 ，角
速度不变.

A2
2
O
1
x2


x1
A  A  A  2 A1 A2 cos( 2  1 )
2
1
2
2
A1 sin 1  A2 sin  2
tan  
A1 cos 1  A2 cos  2

A1

A
x
x
1.当 Δ  2  1  2kπ
A  A1  A2
o
x
(k  0,  1,  2,) 时,
合振动振幅最大.
t
2.当   2  1 （2k  1）π
( k  0,1,2,) 时,
A  |A1  A2| 合振动振幅最小.
3. 一般情况
A1  A2  A  A1  A2
x
o
t