Transcript 切向加速度

1-3 圆 周 运 动
一、匀速圆周运动
A
v
B
OAB
　BA
BA B
OAB
O
∽

v vl
v
A B

加速度的大小为
l
'
'
'
vB
v　R
加速度的大小为
v
R
l O
'
'
'
ΔOA当B
vA
t  0时  l   s
R
Δl 加速度的大小为
R
A
vl v
ls v
v 2v 2

v
2


 lim
 v

a a
 lim

lim
v

l
v
lim
t
Rlim
tt R
R
t0 0
0 t
r
R
0 
a t lim
t lim
t  0 t 
t 
v
t  0
t
t  0
t
R
R2
v
a的方向
沿半径指向圆心, 称向心加速度。an 
R
t  0 时
  0
a  vA
二、变速圆周运动
vA
vA
在三角形CDE中,取CE上一点F,
v B 使CF = CD = vA,则FE = vB - vA
v vvB vv BA  v A
v  v B  v A
令
令
o
v  v B  v A DF
 DF

 FEFE
v n  令
vvt n  v t
 DF  FE  v n  v t
令
v
 vBav nvA
vv t t改变了速度方向
v  vB DF
 v AvFE
lim
a  lim 令t  0 v
t  0a
令 v
t lim改变了速度大小
D
t v
0
tv 
FE
lim DF
 DF aFE
v t  v
n ntv t v t 
n
t  0
 lim

 v t 
  an  at

v
n

t

0
 v v   lim

t v n  
t vt at


a



v



n
t

v
v
a

lim
nlim
t
0t lim
ta at  
a

 an  at

v n

t 
0 lim 





n 0
t t
v t t  0 t t  0t t t 

t 




 v t 

 v n E
avnn  at v t 
 Flim  v 

t  0 t B  lim

t 
  an  at

t  0

vA
C
vvnnvvn nvv22 v v2 2
ann为法向加速度，大小为
为法向加速度，大小为：
：
 lim
lim
aaa
aana为法向加速度，大小为
：
lim
：

lim  RR R
n为法向加速度，大小为
nna
nn
tt
0t 
t 
0
0
0tt

tt
R
dv
vvt 
dv
dv

vtvt n vvvBB2vvBvvBA
dv
tv
Avv
A
A
为切向加速度，大小为
：
a

lim

lim

aatn为切向加速度，大小为
为切向加速度，大小为
：
a

lim

lim

aat 为切向加速度，大小为
：
a

lim

lim

为法向加速度，大小为
：
a

lim

：
a

lim

lim

tt
t t t tn
t
0t 
t 
t 
0
00t
t
0
0

t
0t0ttttt 
R
dt dtdt
t
0
tt t t dt
v t
v B  v A dv
方向：指向圆心
方向：沿切线方向
a t 为切向加速度，大小为
: a t  lim
 lim

t  0  t
t  0
t a aa ndt
n
a
annn 
aaa
aa

t　tt　a

a
2
2 2 22
2


v
dv




v
dv




v
 dv

222
22 2


a

a






a

a






annn  a
  R  dt


tt t
 
   dt dt
 R
 R
2
vv22
aann 
----- 速度方向的变化率
RR
dv
dv ----- 速度大小的变化率
aat t  dt
dt
2 2
an
n
at
at at
a
a a
a t 
an 
a n tya a
ty 
t

at
a 的方向不在指向
a 的方向不再指向圆心
三、圆周运动的角量描述：
1.角坐标 角位移 角速度 角加速度
角坐标
B
 　A

O

描述质点转动的位置
角位移   描述质点转动位置的变化
角速度
描述质点转动的快慢




d

  lim

t  0 t
t
dt
角加速度
 
单位：
rad  s 1
描述质点转动角速度变化的快慢
1 rad  s
 d d 2
  lim


dt
dt 2
t 0 t
rad  s
单位： rad  s  2
2
2. 线量和角量的关系
ds
ds  Rd
B
Rd
ds
Rd
dsdsds
Rd
d
R d A
v  ds
 R dd
R　dsds

d
dt R
v
Rdt

R　

R

R
v v

R

O
dt
dt
dtdt dt dt 2
2
2  2

R

2
2
2
v
2


R

2
a



R



R

2


R

n  v v 
2
a

R

R
R
a nnan  R
 R  RRR  R
R
Rd
dv
at  dv R d R
v2
2
an 
 R
dt  Rdt  R
at dv
R
d

dvdt
d dt
a


R
t
a t  dt  R dt  R
R
dv
dt
dt
at 
 R
dt
3. 匀变速率圆周运动
d

C
dt
d   dt

t
0
0
 d    dt
   0  t
1
2





t


t
   0  t
0
0
v2 v 0  at
1
2
2 2
1
2



2




x

x

v
t

at
   0  0 t  
t
0
00
0
2
2
2
2
2
2
   0  2    0  v  v 0  2ax
与匀变速直线运动类比
四、用自然坐标系表示平面曲线运动中的速
度和加速度
1、自然坐标系：
(v)
切向：质点前进的方向
法向：与切向垂直，指
向曲线凹的一面。
2、用自然坐标系分析变速圆周运动
v  v(t ), a  a(t )
n
t时刻：P点
S（t）
t+t时刻：P′点 S′（t+ t）
t时间内经过弧长S,
S对应角度。
S
  
,
R
dS
v 

dt
dS
其中
＝v (t )为速度的大小。
dt

dv
d
而a 

v(t )
dt
dt

为单位矢量， 大小不变，但方向改变
V’
P’
R

v
P
d
 dv 
a     v
dt
 dt 
d  0
d  n d  d  n
d
d  n  Rd   n  ds
v
n



n

  


dt
dt  R  dt   R  dt
R
v
 dv 
a
n  a   an n
 
R
 dt 
2
d

d 
切向加速度、反映速度大小变化，一般不为常
量；
an  an n 法向加速度、反映速度方向变化，v变时不是
常量。
a  a 
a 
a  a
2
2
n
为a与的夹角
an
  arct an
a
3、一般曲线运动（多个圆弧运动的连接）
v2
v2
an 
n
n
r

例4、由楼窗口以水平初速度v0射出一发子
弹，取枪口为原点，沿v0为x轴，竖直向下
为y轴，并取发射时t=0.试求：
(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程；
(2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向
加速度。
解：(1)
v0
o
x  v0t
v v v  v  g t
2
y
2
0
a
an
y
(2) vx  v0 , vy  gt
2
x

1 x2 g
y
2
2 v0
1 2
y  gt
2
x
2 2
g
 gt 
  tan  
 v0 
1
2
dv
gt
at  
dt
v02  g 2t 2
an  g  a 
与速度同向
与切向加速度垂直
2
2
t
v0 g
v g t
2
0
2 2
例5.质点M在水平面内运动
轨道如图所示：OA段为直
线,AB、BC段分别为不同半
径的两个1/4圆周。
15
30
设t=0时M在O点，已知运动方程为S=30t+5t2(SI),
求t=2秒时刻，质点M的切向加速度和法向加速
度。
解：t=2s S=80m 可知此时M在大圆上。 质
点的瞬时速率 v=30+10t(m/s)
dv d 2 s
2
at 
 2  10m / s
dt dt
t=2s
v2
v=50m/s
502
2
an 

 83.3m / s

30
例6。一质点在oxy平面内作曲线运动，其加速
度是时间的函数。已知ax=2, ay=36t2。
设质点t＝0时r0=0,v0=0。求：(1)此质点的运动
方程；(2)此质点的轨道方程，(3)此质点的切向
加速度。
解： (1)a x
dvx

dt
dvx  2dt

vx
0
dvx 

t
0
2dt
vx  2t
ay 
dv y
dt
dvy  36t 2 dt

vy
0
dvy 

t
0
36t 2 dt
vy  12t
 v  2t i  12t j
3
3

x
0
dx
vx 
dt
dy
vy 
dt
dx  2tdt
dy  12t dt
dx   2tdt
t
0
xt
2
3

y
0
dy   12t dt
y  3t
t
3
0
4
所以质点的运动方程为：
2

x

t


4

 y  3t
r  t 2 i  3t 4 j
(2)上式中消去t,得y=3x2即为轨道方程。可知是抛物线。
(3)  v x  2t
 v
v y  12t 3
v v 
2
x
4t  144 t
2
y
2
8t  864t 6
dv 1
a 

dt
2
4t 2  144t 6

2  216t 2
1  36t 4
注：若求法向加速度，应先求曲率半径。
 
an 
v2

1 

y
y 
2

3
2
(1  3 6x )

6
2
4t 2 (1  36t 4 )  6
(1  36x )
2
3
2

6
3
2
24t 2
1  36t 4
例7 已知质点作半径为R=0.1m的圆周运动, 其相对
于圆心的角坐标为θ=2+t3 rad, 求t=2s时的切向加速
度at 和法向加速度a
。
3 n
3
3


2

t


2

t
  2 t
3
d
解:
2
d

d




3
t


2
3 t 2 2
2  t 33tt
dt
dtdt
d
d d  2
2
 dd36t t 3t   dt  6t
 dt  6t
dtdtdt
2
4
2
a


R

9
t
R

14
.
4
ms
n
d2
4
2
2 6
4  14.4ms  2
t99t t R
aandR
2

R
R

14
.
4
ms
a

R


6
Rt

1
.
2
ms
n dt
t
 6t1.2ms
aR  6 Rt
2
4
 2 2
anat tR2 R

9
t
R

14
.
4
ms
dt 6 Rt 1.2ms
4 2
at  R  62 Rt  1.2ms
an   R  9t R  14.4m s
2
例8 已知抛体运动速度为 (如图),求最高点处的曲
v0
率半径 。 
解:
v0 cos
v0

v
v0 cos  


an
g
2

2
g
g
曲率半径 最大出现在何处?
起点或终点，an  g cos 
v02

v02

g cos
r
例9 碟盘是一张表面覆盖一层信息纪录物质的塑性圆片，若碟
盘可读部分的内外半径分别为2.50cm 和5.80cm，在回放时，
喋盘被以恒定的线速度由内向外沿螺旋扫描线（阿基米德螺线）
进行扫描。(1)若开始时读写碟盘的角速度为50.0 rad·s-1，则读
完时的角速度为多少？(2)若螺旋线的间距为1.60μm，求扫描
线的总长度和回放时间。

  1r1  
v  r  r  r
 1r1

r



r


r
2 
故磁盘读完
时的 角速
21.度
6( rad
s )
(1)近似的将螺线视为同心圆
v
r
解：
1 1

1 1
2 2
故磁盘读完时的角速度
2 2
1 1
2
r2
1r1
1



21
.
6
(
rad

s
)
2
时的角速度
r2
1
r2
1
(2)单位长度的圈数: n 
d
dr
在盘上任取一同心圆环带 ,带宽dr ,
1
含圈数:
dr
d
扫描的总长度：
1
3
l  r2 2 r dr

5
.
38

10
(m )
n
r
l   1 2 r d
dr  5.38  103 ( m )
回放时间:
sr1
sr2  r1
t 
 4.30  103 ( s )
lv
l 1
r1
t 
 4.30  103 ( s )
v
r1 1
r2
1-4 相 对 运 动
一、运动描述具有相对性
车上的人观察
地面上的人观察
研究的问题: 在两个惯性系中考察同一物理事件
实验室参照系
运动参照系 
相对观察者固定
相对上述参照系运动
1、位矢的相对性：
S
S

r

r

r  oo  r 
y
S
y′

r
O
S
u

r
O′
P
x′
x
2、位移的相对性
y
S
u

r
O

S


y
y′
P

r
O′
r
P

r
r
o
r  oo  r 
x (x′)
3、速度的相对性
 r oo  r 
＝
＋
t
t
t
lim
t 0
r
oo
r 
＝lim
＋lim
t t 0 t
t 0 t
vs  u  vs
甲： 实验室参照系 V丙对甲：绝对速度
乙： 运动参照系 V丙对乙：相对速度
丙： 运动物体
V乙对甲：牵连速度
速度合成定理：V丙对甲＝ V丙对乙＋ V乙对甲
例10、一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁
路上匀加速行驶，其加速度为a，他沿车前进
的斜上方抛出一球，设抛球时对车的加速度
的影响可以忽略，如果使他不必移动他在车
中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直
方向的夹角应为多大？

解：抛出后车的位移：
a
1
x1  v0 t  at 2
2
球的位移：
V0
x2  (v0  v sin  )t
'
0
1 2
y2  (v cos  )t  gt
2
'
0
小孩接住球的条件为：x1=x2;y=0
1 2
 at  v0 ' (sin  )t
2
1 2
gt  v0 ' (cos  )t
2
两式相比得：
a
 tan
g
a
  tan  
g
1
本章小结
一、曲线运动

抛体运动

匀速率圆周运动
ds  Rd
ds

Rd

圆周运动
ds
d
ds
v
 R d
变速圆周运动
二、运动的描述
v  dt  R dt
dt
dt
2

v
2 2


R

v
a

a

R



n
n

R
R
线量 
角量  关系
a
R
R

dv
att 

at 

dt

三、相对运动
伽利略速度变换公式

 

v绝  v 相  v牵