Transcript 第一章质点力学

质点运动学——应用
1-2 直线运动（以匀变速直线运动为例）
1-3 抛体运动（运动叠加原理）
1-4 圆周运动（自然坐标系）
1-2 直线运动
位矢、位移、速度、加速度可用一个数表示。
一、加速度为常数
问题：已知在t=0时刻，质点的位置和速度分别为 x0 ，v0，
求在任意时刻t，质点的位置和速度。
x  x(t ),


v
v0
x
x0
dx
v ,
dt
t
dv   adt
0
t
dx   (v0  at )dt
0
dv dv dx
dv
a

v ,
dt dx dt
dx
dv d 2 x
a
 2,
dt dt
v  v0  at
1 2
x  x0  v0t  at
2
v  v0  2a( x  x0 )
2
2
二、加速度不是常数
P13 例1-3、设质点沿x轴做直线运动，加速度a=2t(ms-2)，t=0时，
质点的位置坐标x0=0，速度v0=0，试求t=2s时质点的速度和位置
。
三、三维运动的情况
P15 例1-5
1、叠加原理
1-3 抛体运动
一个运动可以看成几个各自独立进行的运动叠加而成。
2、斜抛运动
水平方向：匀速运动
竖直方向：竖直上抛运动
α
d0
初速度
初始位置
vx0=v0cosα
x0=0
vy0= v0sinα
y0=0
加速度
ax=0
ay= -g
轨迹方程 抛物线
速度
vx= v0cosα
vy= v0sinα –g t
g
2
y

xtg


x
运动方程
2v02 cos 2 
 x  v0 (cos  ) t

2
y

v
(sin

)
t

(
1
/
2
)
gt
0

讨论
射程：抛体落地点与抛出点之间的距离
2v02
v02
d0 
sin cos   sin 2
g
g
当
＝ / 4 (d 0 ) max
45度角的射程最大。
P17 例1-6 （播放动画2个）
v02

g
一般的曲线运动
一、自然坐标系
s  s(t )
方向描述：作相互垂直的单位矢量

n

和
n
切向单位矢量 指向质点运动方向
法向单位矢量 指向轨道的凹侧
它们的方向都在随时间变化。
顺着已知轨道而建立的坐标系叫做平面自然坐标系(
适用于质点做曲线运动,且运动的轨道已知的情况下)
速度只有切向分量，
没有法向分量

 ds 
v  v  
dt
切向加速度和法向加速度
轨道的曲率
表示曲线在某点弯曲的程度.
对于半径为R的圆:
若某一圆的曲率与轨道在该
点的曲率相等，则此圆与轨
道在该点相切，称之为该
点的曲率圆，其圆心和半
径称为轨道在该点的曲率
中心和曲率半径。
ρ
ρ为曲率半径

 求导
v  v 




 dv d  dv 
d
a
 (v )    v
dt dt
dt
dt
Q d

的方向与n 的方向相同
dt

D
Dq dq
 lim

又 Dlim
Dt  0 D
t  0 Dt
t
dt


d
dq 
\ an  v
v
n
dt
dt
设轨道在该点的曲率半径为r , 则

dq  v dsdq  v ds  v 2
an  v
n
n
n
r dt
r
dt
ds dt
\在自然坐标系中，质点的加速度为

n


 dv  v 2 
a  a   an n    n
r
dt
切向加速度——描述速度大小的变化率；
法向加速度——描述速度方向的变化率。

a
对于一般的曲线运动
2



dv  v 
a  a   a n n 
 
n
dt
r
 dv   v 
2
2
a  a  an      
 dt   r 
2
2
2
利用自然坐标，一切运动都可用
切向、法向加速度表示：

an

a
q
 
a与 的夹角
a n= 0
a = 0
匀速率直线运动 q  tg
a n= 0
a  0
变速率直线运动
an  0
a = 0
匀速率曲线运动
an  0
a  0
变速率曲线运动
1
an
a
二、圆周运动
1、角坐标
s  s(t )
q＝q( t )
r
Dq
ΔS
θω
R
2、角速度
(1)定义：角坐标随时间的变化率
dq
＝ 矢量，方向用右手螺旋法则来确定
dt
(2)角速度与线速度的关系
Ds  r  Dq
Ds
Dq
v  lim
 lim R
 R
Dt
Dt 0 Dt
Dt 0
x
3、角加速度
(1)定义
D d d 2q
＝lim

 2
dt
dt
Dt 0 Dt
(2)切向加速度与法向加速度


v  v ,
切向加速度
2

 dv  v 

 n
a  a   a n n 
dt
r
dv
d
a 
R
 R
dt
dt
2
法向加速度
v
2
an 
 R
R
dv
d
a 
R
 R
dt
dt
v2
an 
 R 2
R
4、匀速率圆周运动
速率v与角速度ω为常量
切向加速度aτ=0
法向加速度an=Rω2=
v 2/R
——向心加速度
角加速度
 0
角速度
＝const
角位移
Dq＝ t
角位置
q＝q 0＋ t
dv
d
a 
R
 R
dt
dt
5、匀变速率圆周运动
角加速度的大小为常量
切向加速度aτ=Rβ为常量
法向加速度an=Rω2=
v 2/R，但不是常量
＝const
角加速度
＝0  t
角速度
Dq＝0 t  t / 2
2
角位移
q＝q 0＋ 0t  t 2 / 2
角位置
 ＝  2 (q  q 0 )
2
v2
an 
 R 2
R
2
0
例1．一球以30m·s-1的速度水平抛出，试求5s钟后加速
度的切向分量和法向分量。
解：由题意可知，小球作平抛运动，它的运动方程为
x  v0 t
1 2
y  gt
2
将上式对时间求导，可得速度在坐标轴上的分量为
dx d
vx 
 (v0 t )  v0
dt dt
dy d 1 2
vy 
 ( gt )  gt
dt dt 2
因而小球在t=5s时的速度大小为
v  v x2  v 2y  v02  (gt )2
故小球在t时刻切向加速度的大小为
dv d
g 2t
2
2
a 

v0  ( gt ) 
dt dt
v02  ( gt )2
因为小球在任意时刻，它的切向加速度与法向加速度满足
  
g  an  a
且互相垂直。由三角形的关系，可求得法向加速度为：
a n  g  a 
2
gv 0
2
v 02  ( gt ) 2
代入数据，得
a 
an 
9.82  5
30 2  (9.8  5)2
9.8  30
30 2  (9.8  5) 2
 8.36m  s  2
 5.12m  s  2
小结
•加速度为恒矢量时的运动方程
  
12
  
v ＝v0＋at , r  r0  v0 t  at
2
•圆周运动的角速度
dq
D d d 2q
＝lim

 2
＝ ,
dt
dt
Dt 0 Dt
dt
切向加速度
法向加速度
dv
d
a 
R
 R
dt
dt
v2
an 
 R 2
R
作业：
思考题： P40 2, 4, 5, 6
习 题： P41 1, 3, 6, 7, 8, 10, 11,
12, 13, 14
预
习：§1-5, §1-6