Transcript 第16讲

4.2.2 光在晶体中传播的几何法描述
1.折射率椭球(光率体)
(4) 应用折射率椭球讨论晶体的光学性质
① 各向同性介质或立方晶体
② 单轴晶体
③ 双轴晶体
2
x1
2
1
n
① 各向同性介质或立方晶体
2

x2
2
2
2

n
x3
2
3
n
主介电系数 1=2 =3 ，主折射率n1= n2 = n3 = n0 ，折
射率椭球方程：
x x x n
2
1
2
1
2
3
2
0
n0 的球。不论

 各向同性介质的折射率椭球是一半径为
k 在什么方向，垂直于 k 的中心截面与球的交线均是半径
为 n0 的圆，不存在特定的长短轴，光学性质各向同性。
1
2
x1
2
1
n
② 单轴晶体
2

x2
2
2
n
2

x3
2
3
1
n
主介电系数  1=2 3 ，主折射率 n1=n2=no ，n3=neno ，
折射率椭球方程：
x
n
2
1
2
o

x
n
2
2
2
o

x
n
2
3
2
e
1
• 单轴晶体的折射率椭球是一旋转椭球面，旋转轴为 x3 轴。
• neno，称为正单轴晶体(如石英)，折射率椭球是沿 x3 轴拉
长了的旋转椭球；
• neno，称为负单轴晶体(如方解石)，折射率椭球是沿 x3 轴
压扁了的旋转椭球。
 截面方程
单轴晶体折射率椭球作图法
x3  0
'
两个坐标系的关系：
x1  x1
'
x 2  x cos   x sin 
'
2
'
3
x 3  x sin   x cos 
'
2
'
3
2
x1
n
x
截线方程
'2
1
2
o
x

n
其中 n 
n o sin   n e cos 
2
2
2
cos 
2
1
( n )
1
no ne
'
e
或
n
'2
2
'2
e
2
e

n
2
o

2
sin
n
2
2
e

2
o
2

x2
n
2
o
2

x3
n
2
e
1
两种特殊情况：
①  = 0 时，k 与 x3 轴重合，这时 ne= no ，中心截面与
椭球的截线方程为
x x n
2
1
2
2
2
o

可见，沿 x3 轴方向传播的光波折射率为 no ，D 矢量的振动
方向除与 x3 轴垂直外，无其他约束，即沿 x3 轴方向传播的
光可以允许任意偏振方向，故 x3轴为光轴。
两种特殊情况：

②  = /2 时，k  x3轴，ne= ne ，e 光的 D 矢量与 x3 轴
平行。中心截面与椭球的截线方程为
x
'2
1
2
o
n

x
n
'2
2
'2
e
1
包含 x3 轴的中心截面都可选作x3Ox1平面。对于正单轴晶
体，e 光有最大折射率；而对于负单轴晶体，e 光有最小折


射率。用几何作图法可以得到 D // E ,
 
k // s
B
切平面T
D
E
s
k
③ 双轴晶体
a. 双轴晶体中的光轴
b. 光在双轴晶体中的传播特性
a. 双轴晶体中的光轴
主介电系数 1  2  3 ，主折射率系数 n1  n2  n3 ，
折射率椭球方程为：
x
n
2
1
2
1

x
n
2
2
2
2

x
n
2
3
2
3
1
约定n1 n2 n3，则折射率椭球与 x1Ox3平面的交线是椭圆：
x
n
2
1
2
1

x
n
2
3
2
3
 1
式中，n1和n3分别是最短、最长的主半轴。

若椭圆上任意一点的矢径 r 与 x1 轴的夹角为 ，长度为
n，则上式可写成
( n cos  )
n
或
1
n
2
2

2
1
( n sin  )
n
cos 
2

n
2
1
2
2
3
1
sin 
2

n
2
3
n 随  在 n1和 n3之间变化。由于n1<n2<n3，所以总是可以找


到某一矢径 r0，其长度为 n=n2。 r0 与 x1 轴的夹角为0 ，
1
n
2
2
cos 
2

n
2
1
所以： tan  0  
sin  0
2

2
n3
n3
n n
n1
n n
2
2
2
3
2
1
2
2
显然，矢径 r0 与 x2 轴组成的平面与折射率椭球的截线
是一个半径为 n2 的圆。若以 Π0 表示该圆截面，则与垂直于
Π0 面的波法线方向 k 相应的 D 矢量在 Π0 面内振动，且振动
方向没有限制，折射率均为 n2。
如果用 C 表示 Π0 面法线方向的单位矢量，则 C 的方向
即是光轴方向。由于tan0有正负两个值，相应的 Π0 面及其
法向单位矢量 C 也有两个，因此有两个光轴方向 C1 和 C2 ，
即双轴晶体。
实际上，C1 和 C2 对称地分布在 x3 轴两侧。由 C1 和 C2
构成的平面叫做光轴面，显然，光轴面就是x3Ox1 平面。设
C1、C2 与 x3 轴的夹角分别为  、  ，则有：
tan  
n3
n 2  n1
n1
n3  n2
2
2
2
2
 小于 45，为正双轴晶体;  大于45，为负双轴晶体。
图 4-15 双轴晶体折射率
椭球在x3Ox1面上的截线
图4-16 双轴晶体双光轴示意图
b.光在双轴晶体中的传播特性
利用双轴晶体的折射率椭球可以确定相应于k方向两束
特许线偏振光的折射率和振动方向，具体计算比单轴晶体
复杂得多。只讨论几种特殊情况：
(i) 当k方向沿着主轴方向(如x1轴)时，相应的两个特许线
偏振光的折射率分别为n2和n3，D矢量的振动方向分别沿 x2
轴和 x3 轴；当 k 沿 x2 轴时，相应的两个特许线偏振光的折
射率分别为 n1和 n3，D矢量的振动方向分别沿 x1轴和 x3轴。
(ii) 当 k 沿着光轴方向时，二正交线偏振光的折射率为n2，
其 D 矢量的振动方向没有限制。
(iii) 当 k 在主截面内，但不包括上面两种情况时，二特
许线偏振光的折射率不等，其中一个等于主折射率，另一个
介于其余二主折射率之间。
例如，k在 x1Ox3主截面内，
与 x3 轴的夹角为 。为简化运
算, 将坐标系 O-x1x2x3 绕 x2 轴
旋转 角，建立一个新坐标系
O-x1x2x3 。
新旧坐标系之间的关系为:
x1  x1 cos   x 3 sin 
'
'
x2  x2
'
x 3   x1 sin   x 3 cos 
'
'
代入折射率椭球方程，并与x3=0 联立:
 ( x1' cos   x 3' sin  ) 2 x 2' 2 (  x1' sin   x 3' cos  ) 2
 2 
1

2
2
n1
n2
n3

 '
 x3  0
得与 k 垂直的截线方程为:
2
 cos 2 
sin 


2
 n2
n
1
3

'2
 '2
x2
 x1  2  1

n2

所以，与k相应的二特许线偏振光的折射率为:
n '  n2
n" 


n1 n 3


2
2
2
2
n 3 cos   n1 sin  
D 矢量的振动方向分别为x2 、x1方向。
(iv) 当k与折射率椭球的三个主轴既不平行又不垂直时，
相应的两个折射率都不等于主折射率，其中一个介于n1, n2
之间，另一个介于n2, n3 之间。如果用波法线与两个光轴的
夹角 1 和 2 来表示波法线方向 k，则利用折射率椭球的关
系，可得到与 k 相应的二折射率十分简单的表达式:
1
n
2
cos [(  1   2 ) / 2 ]
2

n
2
1
sin [(  1   2 ) / 2 ]
2

2
n3
(v) 已知两个光轴方向和 k方向时，可以很方便地确定与 k
相应的D矢量的两个振动方向。
图 4-18 D矢量振动面的确定
图 4-19 图 4 - 18 中的Π平面
应当指出，在双轴晶体中，除两个光轴方向外，沿其余
方向传播的平面光波，在折射率椭球中心所作的垂直于 k 的
平面与折射率椭球的截线都是椭圆。而且，由于折射率椭球
没有旋转对称性，相应的两个正交线偏振光的折射率都与k
的方向有关，因此两个光都是非常光。
故在双轴晶体中，不能采用 o光与 e 光的称呼来区分这
两种偏振光。
2. 折射率曲面和波矢曲面

为了更直接地表示与每一个波法线方向 k 相应的两个折
射率，引入折射率曲面。



曲面上的矢径 r  nk ，方向平行于给定的波法线方向 k ,

长度等于与 k 相应的两个波的折射率。因此，折射率曲面是
一个双壳层的曲面，记作(k,n)曲面。
(4.2-31)式是折射率曲面在主轴坐标系中的极坐标方程。
2
2
k1
1
n
2

1
2
n1

2
k2
1
n
2

1
2
n2

k3
1
n
2

1
2
n3
 0
若以 n 2  x12  x 22  x 32  n 2 k 12  n 2 k 22  n 2 k 32 代 入 上 式 ， 得
到其直角坐标方程：
( n 1 x1  n 2 x 2  n 3 x 3 )( x1  x 2  x 3 )  [ n1 ( n 2  n 3 ) x1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 n 2 ( n 3  n1 ) x 2  n 3 ( n1  n 2 ) x 3 ]  n1 n 2 n 3  0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
这是一个四次曲面方程。利用这个曲面可以很直观地得到

与 k 相应的二折射率。
对于立方晶体，n1=n2=n3=n0 ，由此可得：
x
2
1
 x
2
2
 x
2
3
 n
2
0
显然其折射率曲面是一个半径为 n0 的球面，在所有的
向上，折射率都等于n0 ，在光学上是各向同性的。

k方
对于单轴晶体，n1=n2=no, n3=ne ，于是：
( x1  x 2  x 3  n o )[ n o ( x1  x 2 )  n e x 3  n o n e ]  0
2
2
2
x
2
2
2
1
 x
2
1
 x
或:
x
2
ne
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 n 

2

x3
 2 1 
no

 x
2
3
2
o
可见，单轴晶体的折射率曲面是双层曲面，由半径为 no
的球面和以 x3 轴为旋转轴的旋转椭球构成。球面对应 o 光的
折射率曲面，旋转椭球对应 e 光的折射率曲面。
对于正单轴晶体：ne>no，球面内切于椭球；对于负单轴
晶体：ne<no ，球面外切于椭球。两种情况的切点均在 x3 轴上，
故 x3 轴为光轴。
(a) 正单轴晶体
(b) 负单轴晶体
单轴晶体的折射率曲面
对于双轴晶体，n1≠n2≠n3, 前面所述的四次曲面在三个主
轴截面上的截线都是一个圆加上一个同心椭圆.
双轴晶体的折射率曲面在三个主轴截面上的截线
双轴晶体的折射率曲面在第一卦限中的示意图
折射率曲面上在任一矢径末端处的法线方向，即是与该


矢径所代表的波法线方向 k 方向相应的光线方向 s 。
3. 菲涅耳椭球
折射率椭球和折射率曲面是相对波法线方向 k 而言。
菲涅耳椭球是相对光线方向 s 引入的几何曲面。
由折射率椭球方程(4.2-65)并利用矢量对应关系，可得：
2
1
2
r1
x
v

2
2
2
r2
x
v

2
3
2
r3
x
v
 1 ——菲涅耳椭球
式中，vr1、vr2、vr3 表示三个主轴方向上的光线主速度。
菲涅耳椭球与折射率椭球的作图方法完全相同，只是
以光线方向 s 取代波法线方向 k。
4. 射线曲面
描述与晶体中光线方向 s 相应的两个光线速度的分布。
射线曲面上的矢径方向平行于给定的 s 方向， 矢径的长度等
于相应的两个光线速度 vr ，因此可简记为 (s,vr) 曲面。
射线曲面在主轴坐标系中的极坐标方程：
2
2
s1
1
v
2
r

1
v
2
1

2
s2
1
v
2
r

1
v
2
2

s3
1
v
2
r

1
 0
2
v3
v 与 n 成反比，因此射线曲面两壳层的里外顺序与折射
率曲面刚好相反。
(a) 正单轴晶体；
(b) 负单轴晶体
图 4 - 23 单轴晶体的射线曲面
图 4 – 24 双轴晶体射线曲面在三个主轴截面上的截线
图 4 - 25 双轴晶体射线曲面在第一卦限中的示意图

射线曲面上的矢径方向平行于 s 方向，其矢径末端处


的法线方向就是与该 s 方向相应的波法线方向 k 。
4.3平面光波在晶体界面上的反射和折射
4.3.1 光在晶体界面上的双反射和双折射
4.3.2 光在晶体界面上反射和折射方向的
4.3.1 光在晶体界面上的双反射和双折射
一束单色光入射到各向同性介质的界面上，将分别产生
一束反射光和一束折射光，且遵从反射定律和折射定律。
一束单色光从空气入射到晶体表面上，会产生双折射；
当一束单色光从晶体内部射向界面上时，会产生双反射。
界面上产生的两束折射光或两束反射光都是线偏振光，
其振动方向相互垂直。这种双折射和双反射现象是晶体光学
各向异性特性的直接结果。
光轴
He-Ne激光束
（自然光）
45
方解石晶体的双折射现象
方解石晶体中的双反射现象
根据电磁场的边界条件， 可得:

 
( ki  k r )  r  0
  
( ki  k t )  r  0
• 入射光、反射光和折射光具有相同的频率；
• 入射光、反射光和折射光的波法线均在入射面内，或者



说， k i 、k r 、 k t 和界面法线共面。
ki sin i  kr sin  r  k t sin  t
ni sin  i  nr sin  r
ni sin  i  nt sin  t
光在晶体界面上的反、折射与在各向同性介质中的区别：
① i 、r 和t 都是对波法线方向而言，尽管反射光和折射光
的波法线均在入射面内，但反射光线和折射光线有可能不在
入射面内。
② 光的折射率因传播方向和电场振动方向而异。若光从空
气射入晶体，因 nt 不同，t 也不同；若从晶体内部射出，相
应的 ni 和 nr不相等，所以在一般情况下入射角不等于反射角。
③ 由于双折射和双反射现象的存在，nr 和 r 以及 nt 和 t 都
有两个可能的值。
4.3.2 光在晶体界面上反射和折射方向的
1.
2. 斯涅耳作图法
1.
利用射线曲面(即波面)确定反射光、折射光方向的几
何作图法。
对于各向同性介质，惠更斯原理“次波包迹是新的波阵
面”，说明光波由一种介质进入另一种介质时会发生折射，
利用次波面的单层球面特性，作图确定次波包迹——波阵面，
从而确定折射光的传播方向。
对于晶体，在界面上的次波源向晶体内发射的次波波面
是双壳层曲面，每一壳层对应一种振动方式，即射线曲面。
对于两种不同振动方式的次波包迹，就是各自的波阵面，它
们按不同的方式传播，从而形成两束折射光。
单轴晶体惠更斯作图法
正入射时负单轴晶体中的折射现象
2.
利用波矢曲面确定反射光、折射光传播方向的作图法。
应当指出的是，菲涅耳作图法所确定的两个反射波矢和
两个折射波矢只是允许的或可能的两个波矢，至于实际上两
个波矢是否同时存在，要看入射光是否包含各反射光或各折
射光的场矢量方向上的分量。
图 4 - 30 斯涅耳作图
单轴晶体双折射的几个特例
1）平面光波正入射——光轴与晶面斜交
1）平面光波正入射——光轴平行于表面
1）平面光波正入射——光轴垂直于晶体表面
2）平面光波在主截面内斜入射
3）平面光波斜入射
光轴平行于晶面、入射面垂直于主截面