Transcript 第15讲

4.2.1 光在晶体中传播的解析法描述
3. 光在几类特殊晶体中的传播规律
(1) 各向同性介质或立方晶体
(2) 单轴晶体
A. 两种特许线偏振光波(本征模式)
B. e 光的波法线方向和光线方向
(3)
(1) 各向同性介质或立方晶体
1= 2 = 3 = n 2
主介电系数
0
将波法线菲涅耳方程通分、整理，得到：
n 4 (1k12   2 k 22   3k32 )  n 2 [1 2 (k12  k22 )
  2 3 (k  k )   31 (k  k )]  1 2 3  0
2
2
2
3
2
3
2
1
n 4 (1k12   2 k22   3k32 )  n 2 [1 2 (k12  k22 )
  2 3 (k22  k32 )   31 (k32  k12 )]  1 2 3  0
1= 2 =3= n02，并注意到 k12+k22+k32 = 1，上式简化为：
(n  n )  0
2
2 2
0
解得重根 n= n= n0。
在各向同性介质中，沿任意方向传播的光波折射率都等
于主折射率 n0 ，即光波折射率与传播方向无关。
把 n= n= n0 代入(4.2-34)，得到三个完全相同的关系式：
k1E1+k2E2+k3E3=0
 
k E  0
 
k E  0
 
Ek
 
E // D
 
s // k
D
E
s
k
E
D
各向同性介质中D, E, k, s 的关系
在各向同性介质或立方晶体中传播的光波，允许有两个
传播速度相同的线性不相关的偏振态，两偏振方向正交。相
应的振动方向不受限制，并不局限于某一特定的方向上。
(2) 单轴晶体
主介电系数为：
1   2  n ,  3  n  n
2
o
2
e
2
o
ne  no —— 正单轴晶体
ne  no ——
A 两种特许线偏振光波(本征模式)
为讨论方便，取
则：

k
在x2Ox3平面内，并与 x3 轴夹角为 。
k1 = 0, k2 = sin , k3= cos
k12
1 1

2
n 1
将
1   2  n ,  3  n  n
2
o
2
e
2
o

k22
1 1

2
n 2

k32
1 1

2
n 3
 0 (4.2-31)
代入(4.2-31)得到
n4 (no2 sin 2   ne2 sin 2  )  n2no2[ne2  (no2 sin 2   ne2 sin 2  )]  no4ne2  0
化简得 （n2  no2）
[n2 (no2 sin 2   ne2 cos2  )  no2ne2 ]  0
解得：
n = no
n 
(4.2-44)
no ne
n sin   n cos 
2
o
2
2
e
2
(4.2-45)
n与光传播方向无关，相应的光波称为寻常光波，即 o光。
n与光传播方向有关，随  变化，相应的光波称为异常光波
(非寻常光波、非常光波)，即 e 光。
对于 e 光，当 =/2 时，n= ne；当 =0 时，n= no 。

可见，当 k 与 x3 轴方向一致时，光的传播特性如同在各向
同性介质中一样， n= n= no ，因此把 x3 轴称为光轴。
在晶体中只有 x3 轴一个方向是光轴，称为单轴晶体。
① O光
将 n = n= no和k1= 0, k2= sin , k3= cos 代入(4.2-34)式，得
(no2  no2 ) E1  0
(no2  no2 cos2  ) E2  no2 sin  cos E3  0
no2 sin  cos E2  (ne2  no2 sin 2  )E3  0
第一式中系数为零，E1 有非零解；
第二、三式系数行列式不为零，E2 =E3 =0。




因此 O 光的 E平行于x1轴，E  E1i 。对于一般的 k 方


向，O 光的 E 垂直于 k 与光轴(x3 )所决定的平面。又由


 
2
于 D   o no E，所以 O 光 D // E 。
② e光
将 n = n和 k1= 0, k2= sin , k3= cos 代入(4.2-34)式，得
(no2  (n)2 ) E1  0
(no2  (n)2 cos2  )E2  (n)2 sin  cos E3  0
(n)2 sin  cos E2  (ne2  (n)2 sin 2  )E3  0
一式中系数不为零，所以 E1 = 0 ；
二、三式系数行列式为零，E2 和 E3 有非零解。


E 位于x2O x3平面内，即 k 与光轴(x3 )所决定的平面内。


D1= 01E1 = 0 ，所以 D 在x2O x3面内，但 不平行于 E 。



另外 s 、k 与光轴共面，但 s 与 k 不平行。仅当
 =/2 时，
   

E2=0， E 与光轴平行，D // E ， s // k 。
单轴晶体中存在两种特许偏振方向的光波(本征模式)： o

 
光和 e光。对应于某一波法线方向 k 有两条光线：so和 se ，
 
两种光波的 E ( D )彼此垂直。

 
对于o光：E // D ，并且垂直于k 与光轴所确定的平面；


折射率不依赖于 k 的方向；s o 与波法线方向重合。这种特性
与光在各向同性介质中的传播特性一样，所以称为寻常波。

 
对于 e光：E 与D 一般不平行，并且都在 k 与光轴所确

定的平面内。它们与光轴的夹角随 k 的方向改变；折射率


随 k 的方向变化；s e 与波法线方向不重合。这种特性与光
在各向同性介质中的传播特性不一样，所以称为异常光波。
x3
De
Ee



se
k so

Do
Eo
x1
图4-6 单轴晶体中的 o 光和 e 光
x2
B. e 光的波法线方向和光线方向
由上分析已知，单轴晶体中 e 光波法线方向与光线方
向之间存在着一个夹角，通常称为离散角。确定这个角度，
对于晶体光学元件的制作和许多应用非常重要。
   
对于 同一e 光：取 x3 轴为光轴，E、D、s 、k 均在主截


面 x2Ox3 平面内，k 与 x3 轴的夹角为 ，s 与 x3 轴的夹角为
 ，且所取坐标系为单轴晶体的主轴坐标系，则有
 D1 
1 0 0   E1 
D     0 
 E 
0
2
 2 0
 2 
 D3 
 0 0  3   E3 
D2   01E 2  0no2 E 2
则：
D3   0 3 E 3  n E 3
2
0 e
(4.2-49)
D3
E3
由几何关系得 tan 
(4.2-50)
, tan 
D2
E2
由(4.2-49)和 (4.2-50)式可得
no2
tan  2 tan
ne
(4.2-51)
根据离散角的定义
tan  tan
tan  tan(   ) 
1  tan tan
(4.2-52)
将 (4.2-51)式代入，整理得
1
tan  sin 2
2
 1
1   cos  sin  
 2  2  
 2 
2
ne 
 no ne   no
2
2
1
(4.2-53)
可见：

① 当 = 0或 = 90 ，即光波法线方向k 平行或垂直于光轴
  

时，=0。此时，s 与 k 、E 与 D 方向重合。
②   /2时，对于正单轴晶体，ne  no， 0，e光的光线较
其波法线靠近光轴；对于负单轴晶体，ne  no， 0，e光
的光线较其波法线远离光轴。

ne
③ 当 k 与光轴间的夹角 满足： tan 
时，
no
ne2  no2
 M  arctan
2no ne
ne
证明： tan 
no
ne2  no2
 M  arctan
时，
2no ne
d
d
 1
将  =   对  求导，得
d
d
no2
由 tan  2 tan ，有
ne
no2 1
no2 ne2
d
1
2


(
1

tan
)
4
2
2
4
4
2
no
d
ne cos  ne  no tan 
2
1  4 tan 
ne
为得到最大离散角 M ，应令 d /d = 0，即
no2 ne2
d
d
2
 1
 1 4
(
1

tan
)  0
4
2
d
d
ne  no tan 
由此得：ne4
求解得：
 n tan   n n (1  tan  )  0
4
o
2
2 2
o e
2
ne
tan 
no
no2
tan  2 tan
ne
(4.2-51)
tan  tan
(4.2-52)
tan  tan(   ) 
1  tan tan
ne2  no2
 M  arctan
2no ne
实际应用中，经常要
光轴
求晶体元件工作在最大离
散角的情况下，同时满足

正入射条件。
e光


通光面(晶面)与光轴
的夹角  = 90  。
no
则  满足： tan  
ne

o光
空气
晶体
图 4 - 7 实际的晶体元件方向
(3)
12 3 ，n1n2 n3 。 通常 1 2 3 。
双轴晶体有两个光轴，当光沿该二光轴方向传播时，其
相应的二特许线偏振光波的传播速度(或折射率)相等。
由波法线菲涅耳方程可以证明，两个光轴都在x1Ox3平面
内，并且与 x3 轴的夹角分别为  和 – 。
光轴2
n3
tan  
n1
n22  n12
n32  n22
x3
光轴1
 
x1
 小于
45 的晶体，叫正双轴晶体;
 大于 45 的晶体，叫负双轴晶体。
x2(垂直纸面向内)

由(4.2-31)式可以证明，若光波法线方向 k 与二光轴方
向的夹角为1和2时，相应的二特许偏振光的折射率满足：
1 cos2 [(1   2 ) / 2] sin 2 [(1   2 ) / 2]


2
2
n
n1
n32

当1=2 =  ，即当波法线方向 k 沿二光轴角平分面时，相
应的二特许偏振光的折射率为：
n  n1
 cos  sin 
n  

2
2
n
n
3
 1
2
2



1/ 2

对于某个给定的波法线方向 k ，其相应的二特许偏振光的
 

光矢量 ( E, D ) 振动方向和光线传播方向 s 就确定了。
4.2.2 光在晶体中传播的几何法描述
1.折射率椭球(光率体)
2.折射率曲面和波矢曲面
3.菲涅耳椭球
4.射线曲面
1. 折射率椭球(光率体)
(1) 折射率椭球方程
(2) 折射率椭球的性质
(3) 利用折射率椭球确定 D, E, k, s方向的几何方法
(4) 应用折射率椭球讨论晶体的光学性质
(1)
由光的电磁理论，主轴坐标系中，晶体中的电场储能密度:
2
2
2



1
1 D1 D2 D3 


we  E  D 


2
2 0  1  2  3 
故有
2
1
D
1

2
2
D
2

2
3
D
3
 2 0 we

在给定能量密度 we 的情况下，该方程为 D (D1、D2、D3)
空间的椭球面。
D3
D1
D2
, x2 
, x3 
若令： x1 
2 0 we
2 0 we
2 0 we
则有
或
2
1
x
1
2
1
2
1

x
2
2
2
2
2
2
2

2
3
x
3
2
3
2
3
1
x
x
x


1
n
n
n
图 4 - 10
折射率椭球(光率体)
(2) 折射率椭球的性质
若从主轴坐标系原点出

发作波法线矢量 k ，再过
坐标原点作中心截面
 (k)

与 k 垂直， (k)与椭球的
截线为一椭圆，该椭圆的半
长轴和半短轴的矢径分别记
作 ra(k) 和 rb(k) 。
两个重要性质：

① 与波法线方向 k 相应的两个特许线偏振光的折射率 n′
和 n″，分别等于椭圆的两个主轴的半轴长：

 
n' (k ) | ra (k ) | 

  
n" (k ) | rb (k ) |
两个重要性质：


② 与波法线方向 k 相应的两个特许线偏振光 D 的振动方向




d  和 d ，分别平行于 ra 和 rb ，即：


 
ra (k ) 
d ' (k )    
| ra (k ) | 
 

 
rb (k ) 
d " (k )    
| rb (k ) | 


这里， d 是 D 矢量方向上的单位矢量。
对于给定晶体，已知晶体的主介电张量，可以作出相应
的折射率椭球，从而就可以通过几何作图法定出与波法线矢


量 k 相应的两个特许线偏振光的折射率和 D 的振动方向。
折射率椭球的物理意义：表征晶体折射率在晶体空间的
各个方向上全部取值分布的几何图形。椭球的三个半轴长分
别等于三个主介电系数的平方根，其方向分别与介电主轴方

向一致。通过椭球中心的每一个矢径方向代表 D 的一个振

动方向，其长度为 D 在此方向振动的光波折射率，故矢径



可表示为 r  nd 。所以折射率椭球有时也称为( d, n )曲面。
   
(3) 利用折射率椭球确定 D、E、k、s 的方向
   
D、E、k、s 共面，该平面与折射率椭球的交线是一椭圆。
法线
R
B
J
Q
E
k
s
D
切平面
T
作
业
5，6，7，10