Transcript 第15讲
4.2.1 光在晶体中传播的解析法描述
3. 光在几类特殊晶体中的传播规律
(1) 各向同性介质或立方晶体
(2) 单轴晶体
A. 两种特许线偏振光波(本征模式)
B. e 光的波法线方向和光线方向
(3)
(1) 各向同性介质或立方晶体
1= 2 = 3 = n 2
主介电系数
0
将波法线菲涅耳方程通分、整理,得到:
n 4 (1k12 2 k 22 3k32 ) n 2 [1 2 (k12 k22 )
2 3 (k k ) 31 (k k )] 1 2 3 0
2
2
2
3
2
3
2
1
n 4 (1k12 2 k22 3k32 ) n 2 [1 2 (k12 k22 )
2 3 (k22 k32 ) 31 (k32 k12 )] 1 2 3 0
1= 2 =3= n02,并注意到 k12+k22+k32 = 1,上式简化为:
(n n ) 0
2
2 2
0
解得重根 n= n= n0。
在各向同性介质中,沿任意方向传播的光波折射率都等
于主折射率 n0 ,即光波折射率与传播方向无关。
把 n= n= n0 代入(4.2-34),得到三个完全相同的关系式:
k1E1+k2E2+k3E3=0
k E 0
k E 0
Ek
E // D
s // k
D
E
s
k
E
D
各向同性介质中D, E, k, s 的关系
在各向同性介质或立方晶体中传播的光波,允许有两个
传播速度相同的线性不相关的偏振态,两偏振方向正交。相
应的振动方向不受限制,并不局限于某一特定的方向上。
(2) 单轴晶体
主介电系数为:
1 2 n , 3 n n
2
o
2
e
2
o
ne no —— 正单轴晶体
ne no ——
A 两种特许线偏振光波(本征模式)
为讨论方便,取
则:
k
在x2Ox3平面内,并与 x3 轴夹角为 。
k1 = 0, k2 = sin , k3= cos
k12
1 1
2
n 1
将
1 2 n , 3 n n
2
o
2
e
2
o
k22
1 1
2
n 2
k32
1 1
2
n 3
0 (4.2-31)
代入(4.2-31)得到
n4 (no2 sin 2 ne2 sin 2 ) n2no2[ne2 (no2 sin 2 ne2 sin 2 )] no4ne2 0
化简得 (n2 no2)
[n2 (no2 sin 2 ne2 cos2 ) no2ne2 ] 0
解得:
n = no
n
(4.2-44)
no ne
n sin n cos
2
o
2
2
e
2
(4.2-45)
n与光传播方向无关,相应的光波称为寻常光波,即 o光。
n与光传播方向有关,随 变化,相应的光波称为异常光波
(非寻常光波、非常光波),即 e 光。
对于 e 光,当 =/2 时,n= ne;当 =0 时,n= no 。
可见,当 k 与 x3 轴方向一致时,光的传播特性如同在各向
同性介质中一样, n= n= no ,因此把 x3 轴称为光轴。
在晶体中只有 x3 轴一个方向是光轴,称为单轴晶体。
① O光
将 n = n= no和k1= 0, k2= sin , k3= cos 代入(4.2-34)式,得
(no2 no2 ) E1 0
(no2 no2 cos2 ) E2 no2 sin cos E3 0
no2 sin cos E2 (ne2 no2 sin 2 )E3 0
第一式中系数为零,E1 有非零解;
第二、三式系数行列式不为零,E2 =E3 =0。
因此 O 光的 E平行于x1轴,E E1i 。对于一般的 k 方
向,O 光的 E 垂直于 k 与光轴(x3 )所决定的平面。又由
2
于 D o no E,所以 O 光 D // E 。
② e光
将 n = n和 k1= 0, k2= sin , k3= cos 代入(4.2-34)式,得
(no2 (n)2 ) E1 0
(no2 (n)2 cos2 )E2 (n)2 sin cos E3 0
(n)2 sin cos E2 (ne2 (n)2 sin 2 )E3 0
一式中系数不为零,所以 E1 = 0 ;
二、三式系数行列式为零,E2 和 E3 有非零解。
E 位于x2O x3平面内,即 k 与光轴(x3 )所决定的平面内。
D1= 01E1 = 0 ,所以 D 在x2O x3面内,但 不平行于 E 。
另外 s 、k 与光轴共面,但 s 与 k 不平行。仅当
=/2 时,
E2=0, E 与光轴平行,D // E , s // k 。
单轴晶体中存在两种特许偏振方向的光波(本征模式): o
光和 e光。对应于某一波法线方向 k 有两条光线:so和 se ,
两种光波的 E ( D )彼此垂直。
对于o光:E // D ,并且垂直于k 与光轴所确定的平面;
折射率不依赖于 k 的方向;s o 与波法线方向重合。这种特性
与光在各向同性介质中的传播特性一样,所以称为寻常波。
对于 e光:E 与D 一般不平行,并且都在 k 与光轴所确
定的平面内。它们与光轴的夹角随 k 的方向改变;折射率
随 k 的方向变化;s e 与波法线方向不重合。这种特性与光
在各向同性介质中的传播特性不一样,所以称为异常光波。
x3
De
Ee
se
k so
Do
Eo
x1
图4-6 单轴晶体中的 o 光和 e 光
x2
B. e 光的波法线方向和光线方向
由上分析已知,单轴晶体中 e 光波法线方向与光线方
向之间存在着一个夹角,通常称为离散角。确定这个角度,
对于晶体光学元件的制作和许多应用非常重要。
对于 同一e 光:取 x3 轴为光轴,E、D、s 、k 均在主截
面 x2Ox3 平面内,k 与 x3 轴的夹角为 ,s 与 x3 轴的夹角为
,且所取坐标系为单轴晶体的主轴坐标系,则有
D1
1 0 0 E1
D 0
E
0
2
2 0
2
D3
0 0 3 E3
D2 01E 2 0no2 E 2
则:
D3 0 3 E 3 n E 3
2
0 e
(4.2-49)
D3
E3
由几何关系得 tan
(4.2-50)
, tan
D2
E2
由(4.2-49)和 (4.2-50)式可得
no2
tan 2 tan
ne
(4.2-51)
根据离散角的定义
tan tan
tan tan( )
1 tan tan
(4.2-52)
将 (4.2-51)式代入,整理得
1
tan sin 2
2
1
1 cos sin
2 2
2
2
ne
no ne no
2
2
1
(4.2-53)
可见:
① 当 = 0或 = 90 ,即光波法线方向k 平行或垂直于光轴
时,=0。此时,s 与 k 、E 与 D 方向重合。
② /2时,对于正单轴晶体,ne no, 0,e光的光线较
其波法线靠近光轴;对于负单轴晶体,ne no, 0,e光
的光线较其波法线远离光轴。
ne
③ 当 k 与光轴间的夹角 满足: tan
时,
no
ne2 no2
M arctan
2no ne
ne
证明: tan
no
ne2 no2
M arctan
时,
2no ne
d
d
1
将 = 对 求导,得
d
d
no2
由 tan 2 tan ,有
ne
no2 1
no2 ne2
d
1
2
(
1
tan
)
4
2
2
4
4
2
no
d
ne cos ne no tan
2
1 4 tan
ne
为得到最大离散角 M ,应令 d /d = 0,即
no2 ne2
d
d
2
1
1 4
(
1
tan
) 0
4
2
d
d
ne no tan
由此得:ne4
求解得:
n tan n n (1 tan ) 0
4
o
2
2 2
o e
2
ne
tan
no
no2
tan 2 tan
ne
(4.2-51)
tan tan
(4.2-52)
tan tan( )
1 tan tan
ne2 no2
M arctan
2no ne
实际应用中,经常要
光轴
求晶体元件工作在最大离
散角的情况下,同时满足
正入射条件。
e光
通光面(晶面)与光轴
的夹角 = 90 。
no
则 满足: tan
ne
o光
空气
晶体
图 4 - 7 实际的晶体元件方向
(3)
12 3 ,n1n2 n3 。 通常 1 2 3 。
双轴晶体有两个光轴,当光沿该二光轴方向传播时,其
相应的二特许线偏振光波的传播速度(或折射率)相等。
由波法线菲涅耳方程可以证明,两个光轴都在x1Ox3平面
内,并且与 x3 轴的夹角分别为 和 – 。
光轴2
n3
tan
n1
n22 n12
n32 n22
x3
光轴1
x1
小于
45 的晶体,叫正双轴晶体;
大于 45 的晶体,叫负双轴晶体。
x2(垂直纸面向内)
由(4.2-31)式可以证明,若光波法线方向 k 与二光轴方
向的夹角为1和2时,相应的二特许偏振光的折射率满足:
1 cos2 [(1 2 ) / 2] sin 2 [(1 2 ) / 2]
2
2
n
n1
n32
当1=2 = ,即当波法线方向 k 沿二光轴角平分面时,相
应的二特许偏振光的折射率为:
n n1
cos sin
n
2
2
n
n
3
1
2
2
1/ 2
对于某个给定的波法线方向 k ,其相应的二特许偏振光的
光矢量 ( E, D ) 振动方向和光线传播方向 s 就确定了。
4.2.2 光在晶体中传播的几何法描述
1.折射率椭球(光率体)
2.折射率曲面和波矢曲面
3.菲涅耳椭球
4.射线曲面
1. 折射率椭球(光率体)
(1) 折射率椭球方程
(2) 折射率椭球的性质
(3) 利用折射率椭球确定 D, E, k, s方向的几何方法
(4) 应用折射率椭球讨论晶体的光学性质
(1)
由光的电磁理论,主轴坐标系中,晶体中的电场储能密度:
2
2
2
1
1 D1 D2 D3
we E D
2
2 0 1 2 3
故有
2
1
D
1
2
2
D
2
2
3
D
3
2 0 we
在给定能量密度 we 的情况下,该方程为 D (D1、D2、D3)
空间的椭球面。
D3
D1
D2
, x2
, x3
若令: x1
2 0 we
2 0 we
2 0 we
则有
或
2
1
x
1
2
1
2
1
x
2
2
2
2
2
2
2
2
3
x
3
2
3
2
3
1
x
x
x
1
n
n
n
图 4 - 10
折射率椭球(光率体)
(2) 折射率椭球的性质
若从主轴坐标系原点出
发作波法线矢量 k ,再过
坐标原点作中心截面
(k)
与 k 垂直, (k)与椭球的
截线为一椭圆,该椭圆的半
长轴和半短轴的矢径分别记
作 ra(k) 和 rb(k) 。
两个重要性质:
① 与波法线方向 k 相应的两个特许线偏振光的折射率 n′
和 n″,分别等于椭圆的两个主轴的半轴长:
n' (k ) | ra (k ) |
n" (k ) | rb (k ) |
两个重要性质:
② 与波法线方向 k 相应的两个特许线偏振光 D 的振动方向
d 和 d ,分别平行于 ra 和 rb ,即:
ra (k )
d ' (k )
| ra (k ) |
rb (k )
d " (k )
| rb (k ) |
这里, d 是 D 矢量方向上的单位矢量。
对于给定晶体,已知晶体的主介电张量,可以作出相应
的折射率椭球,从而就可以通过几何作图法定出与波法线矢
量 k 相应的两个特许线偏振光的折射率和 D 的振动方向。
折射率椭球的物理意义:表征晶体折射率在晶体空间的
各个方向上全部取值分布的几何图形。椭球的三个半轴长分
别等于三个主介电系数的平方根,其方向分别与介电主轴方
向一致。通过椭球中心的每一个矢径方向代表 D 的一个振
动方向,其长度为 D 在此方向振动的光波折射率,故矢径
可表示为 r nd 。所以折射率椭球有时也称为( d, n )曲面。
(3) 利用折射率椭球确定 D、E、k、s 的方向
D、E、k、s 共面,该平面与折射率椭球的交线是一椭圆。
法线
R
B
J
Q
E
k
s
D
切平面
T
作
业
5,6,7,10