Transcript 理论力学 - 中国科大空间科学站

理论力学
2011.9修改稿
课本及内容
• 力学与理论力学（下册）
– 中国科学技术大学国家基础科学人才培养基地
物理学丛书
– 作者：秦敢，向守平
– 科学出版社，2008
• 其中，上册以力学为主，下册以分析力学
为主，是经典力学或理论力学课程的主要
内容。
• 首先，我们需回顾力学的内容并进行必要
的衔接。
《力学》内容概要
• 质点运动学（观测并记录质点的运动）
– 质点的位置、速度、加速度，轨迹
• 质点动力学（找出运动的规律和原因）
– 质点的受力，由初始位置和速度确定之后的运动
• 质点系力学（应用于多个质点的体系）
– 质点系，多个质点体系的守恒量
• 非惯性参考系，平动和转动（牛顿力学不适用的
参考系中的处理）
• 刚体的平面运动（刚体是特殊的质点组）
– 角速度，角动量，转动动能
• 一些简单应用（如有心力场，碰撞，振动等）
力学基础内容（回顾）
• 质点运动学
– 质点的模型，质点运动的描述：
• 已知位置随时间变化，求速度、加速度随时间的变化
dr(t )
dv(t ) d 2r(t )
r  r (t ), v  v(t ) 
, a  a(t ) 

dt
dt
dt 2
– 轨迹（消去时间 t，得空间曲线） r  r(t ),  f (r)  0
– 坐标系：
•
•
•
•
•
直角坐标系（x,y,z）
柱坐标系 (r,j,z)
（极坐标系）(r,q)
球坐标系 (r, q, j)
其他正交曲线坐标系
自然坐标系
力学基础内容（重温）
• 质点动力学
– 牛顿三定律
• 从分析受力，来计算加速度、速度、位置随时间的
变化（已知初始位置，初始速度）
t
t
F
a(t )  , v(t )   a(t )dt , r   v(t ) dt
t0
t0
m
r (t0 )  r0 , v(t0 )  v 0
– 牛顿三定律的深入探讨，哪个更基本？
• 惯性系。力的定义。惯性质量与引力质量。
• 对于粒子与场的作用，作用力与反作用力的关系。
• 相对论情况下，第二定律成立的形式。
力学基础内容（重温）
• 质点系力学
– 内力和外力
– 动量和角动量
– 动能和势能
– 质点系的质心，质心系
– 动量守恒和角动量守恒及其成立的条件
– 机械能守恒及其成立的条件
• 非惯性参考系，非惯性力
– 平动参考系
– 转动参考系，科里奥利力，离心力
力学基础内容（重温）
• 刚体力学
– 刚体模型
– 角速度和角加速度
– 转动惯量
– 转动的角动量和转动动能
– 力矩
– 刚体的平面运动
其他一些应用课题
• 有心力场（万有引力和行星运动，带电粒
子散射）
• 碰撞（两体碰撞，散射截面）
• 振动（阻尼振动，受迫振动，多维小振动）
• 带电粒子的运动
• 狭义相对论
• 非线性力学
• 流体力学
• 连续介质体系的力学
分析力学主要内容
• 约束与虚功原理
• 拉格朗日力学
– 达朗贝尔原理，拉格朗日方程，泛函变分和哈
密顿原理，运动积分、对称性和守恒定律
• 哈密顿力学
– 正则方程，正则变换，泊松括号，哈密顿-雅克
比方程
• 刚体的运动学和动力学
分析力学的基础
•
•
•
•
以牛顿三定律的经典力学为理论基础
应用数学方法建立完整的理论体系
得到一些原理性的结果
有些结果推广到非经典的领域（如相对论
和量子力学）更加自然
分析力学与牛顿力学方法比较
分析力学
牛顿力学
优点
处理方法流程规范
直观，易于理解
善于复杂的体系处理 解算简单问题比较方便
约束越多方程数越少
缺点
不够直观
常常需要具体灵活的分析
对于简单问题的处理 约束越多方程数越多越繁
显得麻烦
琐
第1次课
直角坐标系
坐标：(x,y,z)
z
r  xe x  ye y  ze z
y
v  xe x  ye y  ze z
a  xe x  ye y  ze z
ex  e y  ez  0
o
x
直角坐标系中的矢量运算
矢量的表示和爱因斯坦求和约定：
3
a   aiei  a  aiei
点乘：
叉乘：
i 1
a  b  ai bi
a  b   ijk a j bk ei
 ijk
1 (i, j , k )  (1, 2,3), (2,3,1), (3,1, 2)

 0 others
1 (i, j , k )  (1,3, 2), (2,1,3), (3, 2,1)

直角坐标系的矢量运算举例
证明： a  (b  c)  (a  c)b  (a  b)c
ei  [a  (b  c)]   ijk a j (b  c) k
  ijk  kmn a j bm cn  ( im jn   in jm )a j bm cn
  imbm jn a j cn   in cn jm a j bm
 bi an cn  ci ambm  ei  [b(a  c)  c(a  b)]
其中：
1
 ij  
0
可证：
i j
i j
 ijk  kmn  im jn  in jm
z
p
柱坐标系
坐标：
( R, q , z )
y
o
q r
r  Re R  ze z
x
x  R cos q , y  R sin q
eR  cosq e x  sin q e y , eq   sin q e x  cosq e y
eR  q eq , eq  q eR , ez  0
v  Re R  Rq eq  ze z
a  ( R  Rq )eR  (2Rq  Rq )eq  zez
2
q
e R  eq
eR
球坐标系
坐标： ( r , q , j )
r  re r  r sin q (cos j e x  sin j e y )  r cos q e z
z
eq  cos q (cos j e x  sin j e y )  sin q e z
ej   sin j e x  cos j e y
p
er  q eq  sin qjej
q
eq  q er  cos qjej ,
o
j
ej  j (sin q er  cos q eq )
坐标转换可用单位并矢点乘：
r
x
r  r  I  I  r, I  er er  eq eq  ej ej
y
球坐标系与直角坐标的关系
z
通过求导可得球坐标中：
r  rer
p
v  rer  rq eq  r sin qjej
a  (r  rq  rj sin q )er
2
2
2
(rq  2rq  rj 2 sin q cos q )eq
(rj sin q  2rj sin q  2rqj cos q )ej x
q
r
o
j
y
一般的正交曲线坐标系
坐标：
z
(q1 , q2 , q3 )
r  r(q1 , q2 , q3 )
v  H1q1e1  H 2 q2e2  H 3q3e3
p
y
o
r
1 r
Hj 
, ej 
q j
H j q j
称为拉梅系数。曲线长度满足
(dr)2  H12 (dq1 )2  H22 (dq2 )2  H32 (dq3 )2
x
自然坐标系
• 自然坐标系不是数学上严谨的
坐标系，但符合人们的自身体
验，因而应用于日常生活中十
分容易理解。
– 轨迹确定，之后能用路程确定位
置。
– 力(矢量)分为是改变速率的部分
(沿速度方向)和改变方向的部分
(垂直于速度方向)。
r  r ( s), ds | dr |
dv
v2
v  ve , a  e  en ,
dt
r
z
y
o
de

, en || de
r
ds
1
p
x
约束与自由度
• 一般情况下，约束为k个方程
fm (t , r, r)  0, m  1, 2,..., k
• 假设约束有k个。对于n个质点，3n个坐标
中，有k个约束，则自由度为s=3n-k，从理
论上说，可以用s个独立变量来描述系统。
• 这些独立变量描述系统，在分析力学中对
应于由这些自变量组成一个函数（系统函
数）。
约束的类型
• 约束方程分类，依照含不含速度，分为：
完整约束或几何约束，非完整约束运动约
束或微分约束，如果可以积分，可将微分
约束转化为几何约束；
• 依照是否显含时间，分为：稳定约束，非
稳定约束；
• 依照是否为等号，分为：不等号时是可解
约束，等号是不可解约束。
约束的类型
• 完整约束（几何约束）
f (r1 , r2 ,...,rn ; t )  0
f (r1 , r2 ,..., rn )  0
f (r1 , r2 ,..., rn ; t )  0
f (r , r; t )  0 且不可积分成完
– 稳定的几何约束
– 不稳定的几何约束
• 不完整约束
整约束，也称为微分约束。
• 可解约束： f (r; t )  0 或 f (r; t )  0 或双面
可解
可积分的条件
• 非完整约束是否可以通过乘以某个函数变为可积
分的？若使
• 必须
• 即
• 则
• 反之亦然
j F  dr  df
  (j F )  0
  F  (ln j )  F
F  F  0
不可解和可解约束
O
O
(x,y)
(x,y)
x2+y2=l2
x2+y2≤ l2
每个不可解约束，会使系统降低一个自由度。
约束的线性变分
• 完整约束使得自由度减少，一般的完整约束可写为
方程
f (q1 , q2 , q3 ,..., qs , t )  0
• 变分之后，可成为线性变分，形如
aq
i
i
i
0
可化为线性变分的非完整约束
• 完整约束使得自由度减少，非完整约束中，一般
不可积分，因此不影响独立变量的个数，但如果
是线性约束，能影响广义坐标变分的独立性。线
性非完整约束形如
a q b  0
i i
i
可导致变分约束（注意到t=0）
aq
i
i
0
i
作业：1.1，1.2，1.3，1.4
第2次课
广义坐标
• 坐标的个数比系统的自由度s多的时候，存在约束。
约束的个数k正好等于坐标的个数减去系统自由度。
• 用s个独立坐标来描述系统，这些独立变量称为广
义坐标，而这些坐标的数目即为系统的自由度。
对应满足约束条件的质点坐标位置，有
ri  ri (t, q1, q2 ,..., qs ), i  1, 2,..., n
• 对于可解约束，是将其视为不可解约束来处理，
如果发生离开约束的情况，就放弃约束，增加一
个独立坐标，重新处理。
广义坐标的选用
• 各个质点的真实坐标可以入选系统的广义坐标。
• n个质点的系统，真实坐标有3n个，但广义坐标
只有s=3n-k个。由于存在k个约束，广义坐标的
个数较少，需要选择使用。
• 广义坐标也可以选用其他参数。选取的原则是：
能够方便地表示系统每个质点的几何位置。即表
达式
ri  ri (t, q1, q2 ,..., qs ), i  1, 2,..., n
越简洁越好。
虚位移
• 假想系统的各质点瞬时发生了微小的符合
约束条件的位移，称为虚位移。
• 位移发生在与约束面相切的方向，而约束
力是发生在与约束面垂直的方向。
• 用广义坐标表示了各个质点的位置之后，
虚位移可以看作当广义坐标任意变化之后，
各个质点位置随之变动而产生的位移。
• 广义坐标的变化可以任意选取，但真实坐
标的变化因为有约束存在而不能任意选取。
理想约束
• 约束力常常与约束面的方向相垂
直，或在系统中作为内力双双出
现，有
R
i
– 其中  rj
i

i
  ri  0
rj
qi
 qi 是虚位移
– 习惯上，将虚位移视为变分，实位
移视为微分。
分析力学中处理的约束情况绝大多数（或者说默认为）
是理想约束。非理想约束的情况下，分析力学常用的方
法是不成立的，通常可以将某些引起虚位移做功的约束
力视为主动力，化为理想约束处理。
理想约束
• 两质点A和B安置在刚性
轻杆两端，杆可绕中央的
O点旋转。在质点A上施
加一个力F，考虑两质点 A
所受到的约束力，是否一
定与虚位移方向垂直？是
否为理想约束？
• 这个例子，虽然每个质点
的约束力并不与虚位移垂
直，可验证其仍是理想约
束。
F
O
B
理想约束
• 考虑空间曲面的约束，取3维空间直角坐标
为广义坐标，曲面的几何约束为
f (r )  0
– 对于曲面上相邻的任意点，相距 r，有
 f  f (r   r)  f (r)   r f  0
– 即 f 与曲面的切面垂直。同时，约束力也与
曲面的切面垂直，因而两者平行，满足关系
R  cf
– 其中c是常数，R是约束力。
虚位移和真实的微小位移的差别
• 1.虚位移是瞬时完成的（t=0），而实位移
需要一小段时间（dt≠0）。
• 2.虚位移在满足约束的条件下可以任意选取
，并未真是发生，而实位移一般与质点的
真实运动相关。
• 3. 虚位移的方向无论是稳定约束还是非稳
定约束，都是沿着约束的切线方向，而实
位移在非稳定约束时，不一定沿着约束的
切线方向。（例如，在膨胀着的气球上爬
行的小虫）
虚功原理
• 系统处于平衡时，每个质点所受合力为0
Fi  R i  0
• 考虑虚位移所做的功，有
W   (Fi  Ri )   ri  0
i
• 对于理想约束，约束力所作虚功为0。从而
在虚位移下主动力做的功总和也为0，即
 F  r  0
i
i
i
虚功原理
• 虚功原理可处理系统的平衡问题。此时，
我们只要关注系统的主动力的总虚功为0的
事实。而约束力在方程中消失，我们不必
去解算。
• 显然，这是系统处于平衡的必要条件。对
于不可解的(稳定)约束，这个条件可以证明
也是充分条件（约束如果不是稳定的，就
不会有静力平衡的情况出现）。
虚功原理
• 使用广义坐标，方程可以化为：
s
n
r j
Fj 
 qi  0

qi
i 1 j 1
• 由于广义坐标是独立变量，因此有必要定
义广义力
n
r j
Qi   F j 
0
qi
j 1
• 方程化为
s
Q  q
i 1
i
i
0
虚功原理
• 由于广义坐标的独立性，可得
Qi  0
• 对于保守力体系，
F j   jV
• 则
rj
V
Qi    jV 

0
qi
qi
j 1
n
虚功原理
• 对于保守力体系，虚功原理可化为
n
s
j 1
i 1
 W   Fj   r j  Qi qi
V
 
 qi   V 0
i 1 qi
s
• 则系统的势能达到极值，极小值时平衡是稳定的，
极大值时平衡是不稳定的
虚功原理举例
• 双连杆的平衡问题
– 匀质的双连杆一端固定
在顶部，另一端受到水
平方向恒定的力，求平
衡时两杆的角度。
– 求约束力时，可将约束
力看成主动力，同时解
约束，增加自由度，然
后求解。
– （本书29页。秦家桦，
285页。陈世民，170
页。金尚年，46页。）
作业：1.9，1.10，1.11
l1
q1
l2
q2
F
第3次课
求解
• 解：  W  m1g   r1  m2g   r2  F   rF
l1
l2
r1  e(q1 ), r2  l1e(q1 )  e(q 2 ), rF  l1e(q1 )  l2e(q 2 )
2
2
l1
l2
 W  m1 g sin q1q1  m2 gl1 sin q1q1  m2 g sin q 2q 2
2
2
 Fl1 cos q1q1  Fl2 cos q 2q 2  0
m1
l2
(  m2 ) gl1 sin q1  Fl1 cos q1  0,  m2 g sin q 2  Fl2 cos q 2  0
2
2
2F
2F
 tan q1 
, tan q 2 
(m1  2m2 ) g
m2 g
虚功原理举例
• 圆弧中两球的平衡
问题
– 半径为R的固定圆弧
上，有两个同样大
小但质量不同的匀
质小球，其半径为
R/3，求平衡时两球
的位置。
– 这个问题用虚功原
理或势能最小原理。
R
q1
q2
求解
2
2

• 解：  V   [ Rm1 g cos q1  Rm2 g cos(q1  )]  0
3
3
3
2m1

m1 sin q1  m2 sin(q1  )  0  cot q1  3(
 1)
3
m2
• 这里三个球心正好构成正三角形。平衡时，
小球组的质心正好在铅垂线上，是最低的。
虚功原理举例
• 求约束面的形状
y
– 一个均质杆一端靠在光滑的墙
壁，另一端所在的约束面是什
么形状才能使杆在任何位置都
q
能平衡？（本书第10页）
– 用势能最小原理，当虚位移发 O
生时，杆的重心高度应该不变。
a
x 2
y
x  a sin q , y  (1  cos q )  ( )  (
 1) 2  1
2
a
a/2
x
达朗贝尔原理
• 考虑动态情况，这时可以将系统中的每个
质点的加速运动看成在局部的非惯性参考
系下的静力平衡问题，需要加上惯性力，
n
因此
 W   (Fi  R i  mi ri )   ri
i 1
ri
   (Fi  mi ri ) 
 qj
q j
j 1 i 1
s
n
ri
  (Q j   mi ri 
) q j  0
q j
j 1
i 1
s
n
达朗贝尔原理进一步深化
• 由于广义坐标的独立性，从达朗贝尔原理
可进一步推出
ri
Q j   mi ri 
q j
i 1
n
n
n
ri
d
d ri

( mi ri 
)   mi ri 
dt i 1
q j
dt q j
i 1
拉格朗日方程的由来
• 注意到由
ri
ri
ri  
qk 
t
k 1 qk
s
同时将广义速度与广义坐标视为不同的变
量，可推得
s
 2ri
 2ri
ri
d ri

qk 

dt q j
tq j
q j
k 1 qk q j
s
ri
ri
ri

 jk 
q j
q j
k 1 qk
拉格朗日方程
• 因此，得到拉格朗日方程
n
ri
ri
d n
Qj 
( mi ri 
)   mi ri 
dt i 1
q j
q j
i 1
d


(
dt q j
1

2
mi ri ) 

q j
i 1 2
n
d T
T


,
dt q j q j
n
1
2
mi ri

i 1 2
j  1, 2,..., s
• 其中T是系统质点的总动能
保守力体系的拉格朗日方程
• 对于保守力，由于
V
Qj  
q j
• 拉格朗日方程成为
d L
L

 0,
dt q j q j
j  1, 2,..., s
• 其中L=T-V是系统的拉格朗日量。
拉格朗日方程方法的长处
• 拉格朗日方程依然是从牛顿力学导出的，其方程与牛顿力
学给出的结果必然相同。
• 拉格朗日方程方法适合处理具有复杂约束的系统。广义坐
标的优选可使得约束的表达式更加简单。约束使自由度减
少，从而使方程数减少，未知量减少，自然消去了很多不
需要知道的约束力未知数。
• 拉格朗日方法是使用能量作为分析对象的，而能量是标量，
处理方便；另外，能量在各种物理过程中普遍存在并相互
转化，可方便地推广应用到其他物理领域。而牛顿力学是
使用矢量分析，受坐标变换影响大，且矢量有较多的分量，
处理较繁琐。
拉格朗日方程解法步骤
•
•
•
•
•
•
确定系统自由度
选择广义坐标
将各个质点的位置矢量用广义坐标表达
计算各个质点的速度
给出系统的总动能
如果是保守系，给出势能，如果不是保守
系，给出广义力
• 相应得到拉格朗日方程组
• 结合初始条件求解
实例
•
•
•
•
连线穿孔两小球的运动
自由度为2
广义坐标r，q。
r1= r er，r2= (r-L) ez
v1  re r  rq eq , v 2   re z
z
O
m1
r
q x
m2
1
1
2
2 2
T  m1 (r  r q )  m2 r 2 , V  m2 g (r  L )
2
2
d
d 2
2
( m1  m2 )r  m1rq  m2 g  0,
(r q )  0
dt
dt
实例
• 通过角动量守恒，可
化为自由度为1的径向
运动。
• 运动方程与势阱中的
小球的运动方程完全
相似，有机械能守恒，
能量由势能和动能之
间相互转换。
E
Veff
Eo
r
h
1
1 h2
2
q  2 , T  V  (m1  m2 )r  m1 2  m2 gr  E
r
2
2 r
作业：1.6，1.8，1.13，1.14
第4次课
哈密顿原理
• 作用量的定义
– 体系从时刻t1到时刻t2的运动过程中，定义其作用量为
S   L  q(t ), q(t ), t  dt
t2
t1
• 哈密顿原理告诉我们，系统从t1演化到t2的所有可能
路径中，系统将沿着使作用量取极值的那条路径移
动。
– “可能路径“是指广义坐标qi关于时间t的所有连续可微的
函数关系qi(t)，且在初始时刻t1和终了时刻t2的位置是已知
的确定值。
变分法求极值
• 哈密顿原理告诉我们，求解真实运动过程
（得到坐标与时间的函数关系）就是寻求
作用量函数达到极值的问题。
• 对于自变量为“函数”的函数极值问题，
可以使用变分法。
• 为了求S的极值，使函数q(t)稍作改变，改
变量为l*q(t)，其中q(t)在两端为0且连续
可导，l为系数参量。
变分法求极值
• 函数q(t)变成q(t)+l*(t)，这时积分值S也可
以看成是参数l的函数。
t2
S (l )   L(q  l q, q  l q, t )dt
t1
• 如果函数q(t)可以使S取到极值，同样必须
在l=0时，S(l)取极值。即
t2 L
dS (l )
L
  (  q   q)dt  0
t1 q
dl
q
变分法求极值
• 积分得（注意到dq=dq）

t2
t1
t2
L d L
L
( 
) qdt   q  0
q dt q
q
t1
• 由于q(t)在两端为0且其他点的任意性，从
而必须有
L d L

0
q dt q
变分法求极值
• S取极值时，所需满足的条件正是拉格朗日
方程。反之，真实的过程满足拉格朗日方
程，能使作用量函数S取到极值。
• 以上过程也能直接用变分法进行：
 S  t  L(q   q, q   q, t )  L(q, q, t )  dt
t2
1



t2

t2
t1
t1
t2
 L(q, q, t )dt  t
1
L
L
(
q 
 q )dt
q
q
L
d L
(

) qdt  0
q dt q
变分法求极值的其他例子
• 最速下降线问题。上下两端点固定，求哪
种曲线的轨道能使质点从上端点由静止在
最短时间内运动到下端点？
A
T 
B
A
ds

x1
v
x2
2

1 y
dx
2 gx
2

d 

1 y
(
 )
0
dx y y
2 gx
x1
B
x2
x
y
变分法求极值的其他例子
• 最速下降线问题，解为摆线。

y
1  y 2
 constant
2 gx
y
X
2cy2  x(1  y 2 )
• 令q为曲线上的切线与x轴的夹角，则
2

y  tan q , x  2c sin q  c(1  cos 2q ),
dy  4c sin 2 q dq , y  c(2q  sin 2q )
q
变分法求极值的其他例子
• 悬链线问题，解为双曲余弦线。

d 
 )( y 1  y2 )  0,
V   y 1  y dx, (
0
dx y y
yy
d
2
2



 1  y  0, yy  (1  y )  0,
2
dx 1  y
L
2
2 2
2
2
2



ydy  2(1  y )dy, 1  y  c1 y
x  c2
y  c1 cosh
c1
X
y
变分法求极值的其他例子
• 光线行进时间为极值（通常是极小值）的
路径。
L n( x )
1
2
T 
1  y dx  
1  y2 dx
0 v
0
c
d 

(

)(n( x) 1  y2 )  0
dx y y
y
n( x ) y 
 n( x) sin q  constant
2
1  y
L
( y  tan q )
X
变分法求极值的其他例子
z
• 单位球面上短程线问题。
S 

L
0
1  sin 2 qj 2 dq , j  
p1
dj
dq
q
o
d 

(

) 1  sin 2 qj 2  0
dq j  j
sin 2 qj 
1  sin 2 qj 2
 c1  sin a sin q
r
p2
j
x
• a代表切线et与经线eq夹角。这说明
c1  sin q er  (eq  et )  sin q et  ej  et  (ez  er )  ez  (er  et )
• 由于z轴选取的任意性，erxet必须为常矢量。且短
程线在与之垂直的平面内。
y
变分法求极值的其他例子
• 事实上，可积分求解球面上短程线问题：
dj 
c1dq
sin q sin q  c
dj  
2
2
1
, w  cot q ,
dw
w
  d [arcsin( )], c3 
2
2
c3
c3  w
1  c12
c1
c3 sin(c2  j )  w  cot q
c3 sin c2 (r sin q cos j )  c3 cos c2 (r sin q sin j )  r cos q
xc3 sin c2  yc3 cos c2  z
• 是过零点的平面方程，应该是同时过始末
两点，且与球面相交所得的圆。
作业：1.16，1.18，1.20，1.21
第5次课
条件变分问题
y
X
• 积分约束条件下的变分问题
• 举例：由一条长度为L且始末两点是x轴上
固定点的曲线与x轴围成最大面积。
• 通用的处理方法：将约束条件乘以参数l，
加到被积函数之中，使之取极值。
S (l ) 

x2
x1
ydx  l

• S若取到极值，必须
x2
x1
1  y 2 dx  L

S
 0 即满足约束条件。
l
条件变分问题
d 

2

(
 )( y  l 1  y )  0
dx y y
d
y
l
1  0
dx 1  y2
• 令q为曲线切线与x轴的夹角，则
y  tan q , x  l sin q  c1 ,
dy  l sin q dq , y  l cos q  c2
( x  c1 )  ( y  c2 )  l
2
2
2
y
X
与哈密顿原理类似的其他原理
• 莫培督原理。应用于保守力体系。等能而
不等时的变分为0。由哈密顿原理：
n
2
2
2
  Ldt     2T  (T  V ) dt    ( mi vi  dri  Edt )
1
1
1
i 1

2 n
1
 m v  dr  E 
i 1
i
i
i
2
1
dt   
2 n
1
 m v  dr
i 1
i
i
i
• 为了强调是等能变分而不是等时的，变分
符号用  代替  ：

2 n
1
m v
i 1
i
i
 dri  0
莫培督原理
s
• 进一步，若动能T可改写为：T   ai , j qi q j
i , j 1
n
2
2
1
• 则

m v  dr   Tdt
2
 
2
1

1
i 1
i
i
i
T T (dt ) 2   
2
1

1
E V
s
a
i , j 1
i, j
dqi dq j  0
• 式中dt已被消去。这即是莫培督原理的变分
形式，可用等能变分求运动轨迹。
莫培督原理举例
x
• 求抛体运动

2
1
( E  mgx)(1  y2 )dx  0
d 

(
 ) ( E  mgx)(1  y2 )  0
dx y y
y
E  mgx
 c1 , dy 
2
1  y
2c1
y  c2 
mg
a
y
c1dx
E  mgx  c12
2
2
E

c
mg
(
y

c
)
1
2
E  mgx  c12 , x 

mg
4c12
v02 sin 2 a ( gy  v02 sin a cos a )2
1 2
1 2
c1 
mv0 cos a , E  mv0 , x 

2
2
2g
2 gv02 cos2 a
与哈密顿原理类似的其他原理
• 费马原理
• 应用于几何光学。光线沿用时最短的路径
前进
2
  nds  0
1
• 平衡体系能量最小（重力势能，静电能，
磁场能量），如果没达到最小，可经过一
段时间的调整，耗散能量，最后达到最小。
而哈密顿原理和费马原理的最小值取得是
瞬时的。
从哈密顿原理看拉格朗日函数的
相加性
• 两个相互独立体系组成统一体系：
• LA=TA-VA，LB=TB-VB，则L=LA+LB
2
  L(qA , qB , qA , qB , t )dt
1
2
2
   LA (qA , qA , t )dt    LB (qB , qB , t )dt  0
1
1
• 由于两系统相互独立，必须两项都为0。因
而可通过L的简单相加合并两个相互独立体
系，反之也可把L中的独立体系分离出来。
从哈密顿原理看拉格朗日函数的
非唯一性
• 拉格朗日函数可以加上任一个函数f(q,t)的时间全
微商，不影响结果。因为全微分的积分是定值，
对作用量的变分没有贡献。
df
L  L
dt
2
2
2
  Ldt    Ldt   f (q, t ) 1    Ldt  0
1
1
2
1
• 由于始末端固定，f的变分为0
• 也可以直接验证 L 满足拉格朗日方程。
从哈密顿原理看拉格朗日函数的
非唯一性
• 直接验证：
d 

d 
 df
(
 )L  (
 )
dt q q
dt q q dt
d  df  df d f d f




0
dt q dt q dt dt q dt q
• 为了简便，拉格朗日函数中的时间全微分项可以
适当去除。
解题实例
• 螺旋线上的珠子
• 轨道方程为已知
1. r  az , q  bz
1
L  m(a 2  a 2b 2 z 2  1) z 2  mgz
2
2. r  a, z  bq
1
2
2
2
L  m( a  b )q  mgbq
2
陈世民，P25例1.5
解题实例
• 在竖直平面内的弹簧摆
q
1
1
2
2 2
L  m(r  r q )  mgr cos q  k (r  l0 ) 2
2
2
mr  mrq 2  mg cos q  k (r  l0 )  0
d 2
m (r q )  mgr sin q  0
dt
解题实例
M
m
• 在竖直平面内的两个
绳连重物
1
y y
L  My  my 2  Mgy  mg 
2
l 2
mgy
(2 M  m) y  Mg 
0
l
mg
Ml
 (2 M  m) y 
(y 
),
y (0)  y (0)  0,
l
m
2
y
M
Ml
mg
 exp(t )  exp(t )  2  ,  
2m
l (2M  m)
作业：1.24，1.25，1.26，1.28
第6次课
拉格朗日函数与运动积分
• 一般情况下，拉格朗日方程为s个二阶微分
方程（s为自由度），求解之后，有2s个积
分常数。这些积分常数需要初始条件（t=0
时的广义坐标和广义速度）确定，得到
qi  qi (t; C1, C2 ,..., C2s ), qi  qi (t; C1, C2 ,..., C2s )
• 有时，某个Ci可以表示为广义坐标和广义
速度的组合，在运动过程中保持守恒，成
为运动积分：
Ci  Ci (q1 , q2 ,..., qs ; q1 , q2 ,..., qs )
拉格朗日函数与运动积分
• 广义动量的定义：p  L
i
qi
• 拉格朗日方程成为类似牛顿定律的方程
dpi L

dt qi
• 循环坐标：如果拉格朗日函数中不显含有
某个广义坐标，则此坐标成为循环坐标。
循环坐标对应的广义动量守恒，是运动积
分。
dp
L
i
dt

qi
 0, pi  constant
拉格朗日函数与广义能量
• 当拉格朗日函数不显含时间时，能够得到
的运动积分是广义能量 H。
s
dL
L
L
 (
qi 
qi )
dt i 1 qi
qi
d L
L
d s L
 (
qi 
qi )  
qi
qi
dt i 1 qi
i 1 dt qi
s
s
L
H 
qi  L   pi qi  L  constant
i 1 qi
i 1
s
拉格朗日函数与广义能量
• 对于几何约束，可以求速度表达式为：
ri
ri
vi  
qj 
t
j 1 q j
s
• 动能表达式中所含的广义速度的
n
1
2
T   mi vi
i 1 2
s
s
ri
ri ri
ri 2
1
2
  mi [(
q j )  2
 qj  ( ) ]
t
t
i 1 2
j 1 q j
j 1 q j
n
 T2  T1  T0
拉格朗日函数与广义能量
• 此时，L不显含t时，有守恒量
T
H   qi  L  2T2  T1  (T2  T1  T0  V )  T2  T0  V
i 1 qi
s
• 对于稳定的几何约束，T=T2，H=T+V是机
械能。这里着重指出的是，如果约束是不
稳定的，系统的机械能并不守恒，守恒的
是广义能量H。
广义能量举例
• 求解一个弹簧振子在一个以角速度绕z轴旋转的、
在xy平面内的光滑管中的运动。
1
1 2
2
2 2
L  m(r  r  )  kr
2
2
mr  mr 2  kr  0
1 2 1 2 2 1 2
mr  mr   kr  H
2
2
2
y
z
q
x
• 与机械能守恒不同
• 可看作是离心力产生的势能。
• 不稳定约束产生了T0项 r  rer  r(ex cos t  e y sin t )
相对论时的拉格朗日函数
• 相对论中的光速不变性，要求光在运动时的空间和
时间的参量变化保持下式不变（都为0）：
ds  c2dt 2  dr  dr  0
• 推而广之，我们要求在相对论中，质点移动产生的
ds在不同参考系中也保持不变。同时我们知道在普
通三维空间中，两点之间的间距|dr|在不同参考系
中都保持不变，因此，只要将时间变成第4维，运
动位移成为4维向量 dr (4)  (dx, dy, dz, icdt ) 而ds正比于
它在4维空间中的间距|dr(4)|，也能保持不变。
ds  i | dr (4) |, d | dr (4) | /(ic)  dt 1  v 2 / c 2
相对论时的拉格朗日函数
• 如何描述一个自由质点的运动，是最基本最简单
的问题。对此，我们希望给出相对论时空中的自
由质点运动的作用量函数。因为作用量函数是标
量，标量不会因选取不同的坐标系而变化，而对
于自由运动的质点，我们能构造出的具有这种不
变性的量仅仅是它运动时的4维间距，是仅知的
标量。因此，取
dS  ds
• 为了能在低速情况下回到经典的拉格朗日函数，
必须取恰当的系数
2
v
dS  mcds  mc 2 1  2 dt  Ldt
c
相对论时的拉格朗日函数
• 这样，我们得到了相对论时的拉格朗日函数，并
能验证它在低速情况下能回到经典力学的拉格朗
日函数（仅相差一个常数）：
2
2
v
v
1 2
2
2
2
L  mc 1  2  mc (1  2 )  mc  mv
c
2c
2
• 从而，质点的动量为
L
p

v
mv
v2
1 2
c
• 与经典情况相比，产生了质量增加的效果。
相对论时的拉格朗日函数
• 保守场中，质点的运动方程为：
2
d 

v
(
 )(mc 2 1  2  V )  0
dt v r
c
• 这即是质点的受力方程
dp
V

f
dt
r
• 动能 dT  f  dr  dp  dr  v  dp  d (p  v )  p  dv
d
dt
m((v 2  c 2 )  c 2 )
1  v2 / c2

mvdv
1  v2 / c2
 d(
mc 2
1  v2 / c2
)
相对论时的拉格朗日函数
• 质能公式： E  Mc , M 
2
m
1  v2 / c2
v
1
b , g
, M  mg
c
1 b 2
• 这里b是归一化速度，g是相对论因子。
• 拉格朗日函数这时并不是动能减势能。
• 有了拉格朗日函数，相对论的运动过程都已经得
到解决。具体运用到各个方面，可以与各个经典
物理的结果作比较分析。
相对论的时空变换
• 4维时空的“位移”：
dr (4)  (dx, dy, dz, icdt ), d | dr (4) | /(ic)  dt 1  v2 / c2
• 位移的绝对值是4维空间的标量，不随选取不同
的坐标系而变化。
• 对于另外一个以匀速v0运动的惯性系，经典力学
给出伽利略变换：
x  x  v0t , t   t
• 我们需要寻找4维时空的变换，使得在低速时是
伽利略变换，且保持4维矢量的模不变。
相对论的时空变换
• 两个惯性系之间的4维时空的坐标进 ic t'
行变换时，由于起始时间和原点重合， ic
t
因而时空坐标原点也重合。
• 因为 x'=x-v0t=x+ibict，这里 b=v0/c，
(x, ic t)
可看作位置（x，ict）在 x' 坐标轴上
x'=x-v0 tx'
的投影（点乘积）。故 x' 轴的向量平
x
行于(1，ib)，归一化为(g，igb)，这里
g = (1-b2) -1/2
• 而时间轴（ict')与空间轴(x')应该相“垂直”，才能保
证"长度"不变，故时间轴向量为（-igb，g)，从而得到
洛仑兹变换：

 x  g ( x  v0t )

2

t

g
(
t

v
x
/
c
)

0

相对论的时空变换
• 因为d 是4维空间的标量，是时空坐标变换时的不
变量，用它代替dt 求速度时，可得
• 4维空间的速度向量 u(4) =(dr, icdt)/d = g(v, ic)
• 4维向量：动量-能量 mu(4) = (p,iE/c)
• 它们都遵从洛仑兹变换。如
 px  g ( px  b E / c)

 E   g ( E  v0 px )
• 它们都有不变的模 (g v) 2  (ig c) 2  c 2
p 2  (iE / c) 2  m2 c 2
作业：1.30，1.33，1.36，1.37
第7次课
拉格朗日函数的空间均匀性
• 拉格朗日函数的空间均匀性指当将系统进
行一个微小的平移之后，拉格朗日量不改
变。
s
s
L
L
d L
L d L
 L    qj 
 qj   (  qj )  ( 
) q j
q j
q j dt q j
j 1 q j
j 1 dt q j
n s
ri
d T
d
  (  q j )   (mi
 ri q j )
q j
j 1 dt q j
i 1 j 1 dt
s
n
ri
d
d
dp
  (mi
 ri q j )   (mi ri  ri )   r   0
q j
dt
i 1 j 1 dt
i 1 dt
n
s
• 由r的任意性得到动量守恒。
拉格朗日函数的空间各向同性
• 拉格朗日函数的空间各向同性指当将系统进
行一个微小的转动之后，拉格朗日量不改变。
n
n
d
d
 L   (mi ri  ri )    mi (j  ri )  ri 
i 1 dt
i 1 dt
n
d
dJ
 j   (mi ri  ri )  j   0
dt
i 1 dt
• 由j 的任意性得到角动量守恒。
• 空间均匀性可看作x,y,z是循环坐标，各向同
性可看作j是循环坐标。
带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数
• 在相对论中，我们取4维时空的位移向量为
dr
(4)
 (dx, dy, dz, icdt )
• 空间的电磁场同样是由4维的电磁场势能向量描
述，后面可以验证可写为：
A
(4)
 (A, ij / c)
• 描述带电粒子在电磁场中运动的作用量函数dS还
需要有一个标量部分，这个标量要有描述粒子运
动位移的成份，也要有描述电磁场的成份。此时，
dr(4)∙(A,ij/c)符合要求。两个4维向量点乘，得到
不随坐标变化的标量。另外还要乘以粒子的电荷
e。
带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数
• 在相对论中，可取作用量函数为
dS  mc dr (4)  dr (4)  e(A  dr  j dt )
• 而对于低速情况，可取普通的动能代替拉
格朗日函数的第一项。当然也可以不替换。
• 得到拉格朗日函数
L  mc 2
v2
1 2
1  2  eA  v  ej  mv  eA  v  ej  mc 2
c
2
• 广义动量：p  mg v  eA
d
• 拉格朗日方程： (mg v  eA)  e( v  A)  ej
dt
带电粒子在电磁场中的拉格朗日方程
• x分量为拉格朗日方程：
Ay
d (mg vx ) dAx
Ax
Az j
e
 e(v x
 vy
 vz
 )
dt
dt
x
x
x x
• 利用 d

  v 
dt t
A
E
 j , B    A
t
• 得到洛仑兹力方程
d (mg v)
dv
 e(E  v  B )  m
dt
dt
粒子在电磁场中运动方程的4维形式
• 用4维向量重新写拉格朗日函数和方程：
B
 S    (mc uiui  eAu
i i )d  0
A
• 得到 d
uj
Ai
(mc
 eAj )  eui
0
d
x j
ui ui
Ai Aj
d
(mu j )  eui Fji , Fji 

d
x j xi
• Fji是电磁场张量。方程在4维时空坐标变
换下形式不变。
粒子在电磁场中运动方程的4维形式
• 矩阵形式：
Bz
 By iEx / c  ux 
u x   0
u  
u 

0
Bx
iE y / c   y 
d  y    Bz
m

 Bx
0
iEz / c  uz 
d uz   By
  
 
0  ut 
ut  iEx / c iE y / c iEz / c
• 矩阵[Fji]是反对称的，求本征值方程|Fji-lI|=0时，
是关于l2的一元二次方程。由于本征值在坐标变
换时的不变性，因而方程系数也是不变的。
l 4  l 2 ( B2  E 2 / c2 )  (B  E / c)2  0
粒子在电磁场中运动方程的4维形式
• 其中，B2  E 2 / c2  Fij Fij / 2
是标量，以后在电磁场的拉格
朗日函数中需要用到。
• 另一个系数E∙B也是不变的，
但它是赝标量（考虑时间反向
的运动，从受力方程看，速度
反向，电场不变而磁场反向，
因而E∙B反号，而真标量应该
不变。），但(E∙B)2是标量。
作业：1.29，1.34，1.38，1.39
B
+
E
第8次课
两体碰撞
• 两体问题是质点相互作用中最简单最基本
的过程。
• 大到太阳和地球的相互作用，小到原子核
之间的散射碰撞，都可以简化为两体问题。
• 两体问题可以约化为单质点的有心力问题。
用两点的质点系的质心位置rc和两点间的位
移r代替两质点的位置r1，r2。
m1r1  m2r2
r  r2  r1 , rc 
m1  m2
两体碰撞的拉格朗日函数
• 定义 m=m1m2/(m1+m2) 是约化质量，可解得
r1  rc  rm / m1 , r2  rc  rm / m2
• 从而拉格朗日函数可写为
m2
1
1
2
2
L  m1 v1  m2 v 2  V (r )
2
2
r2 r c
r1
1
1
 (m1  m2 )rc2  m r 2  V (r )
2
2
r
m1
两体碰撞是有心力作用下的平面运动
• 利用拉格朗日函数的相加性，分解为一个质
量为（m1+m2）的自由质点，与一个质量为
m 的在势能 V(r) 中运动的粒子。
• 牛顿第三定律告诉我们，两质点的相互作用
是沿着 r 方向的，因此势能 V(r) 产生的作
用力是有心力。
• 有心力作用时，力矩为0，因而角动量
J = r x mv守恒。以角动量的方向为z轴，因
为r垂直于J，质点可限制在xy平面内运动。
两体碰撞的方程
z
• 约化质量质点的拉格朗日函数：
1
2
2 2
L  m ( r  r q )  V (r )
2
• 相应的拉格朗日方程：
x
d

d 2
2
m r  m rq  V (r ),
(r q )  0
dt
r
dt
• 角动量守恒可写为 h  r q  bv0
• b是瞄准距离，v0是初始速度
2
J
r
y
弹性碰撞与非弹性碰撞
• 弹性碰撞时，相互作用力是保守力，机械
能守恒。约化质量的质点的初速度与末速
度相等。这意味着它的速率不变但运动方
向可能改变。|v1'-v2'|=|v1-v2|
• 非弹性碰撞时，有耗散作用力将一部分机
械能转变成热能，因而其末速率比初速率
小，两者比例为参数e。e=1是弹性碰撞，
而非弹性碰撞时e<1。|v1'-v2'|=e|v1-v2|
弹性碰撞与非弹性碰撞
•
•
•
•
一般来说，碰撞之后的速度表示为
v1' = vc + | v1-v2 | e m2 / (m1+m2)
v2' = vc - | v1-v2 | e m1 / (m1+m2)
其中 vc = (m1v1+m2v2) / (m1+m2) 是质心的
速度，e 是不超过1的向量，代表质点在质
心系里碰撞之后的方向，其大小代表速度
的恢复率。对于弹性碰撞，其数值为1，对
于非弹性碰撞，其数值小于1。
平方反比力的碰撞
• 对于平方反比力，假设 F(r)=k/r2 ，k的
符号决定是斥力或者是引力。对时间
积分：
k
k
m
r

dt

e

dt

e

d
q
r
r
2

r

h
B
e
• 从而
r
k
m ( v B  v A )   (eq B  eq A )
eq
h
A
q
平方反比力碰撞的轨迹
• 因此
k
k
k
v B  rer  rq eq  v A 
(eq B  eq A )  v0e x 
eq 
ey
mh
mh
mh
2
r
• 取eq方向，除以h或 q
v0
v0
1
k
k
k
 eq  ( e x  2 e y )  2   sin q  2 (1  cos q )
r
h
mh
mh
h
mh
• 是双曲线，最近距离为
B
m hv0 2
1
k
 2[ (
)  1 1]
rmin m h
k
b
q
A
平方反比力碰撞的偏转角
• 令 r →无穷大，求偏转角j
v0
k
 sin j  2 (1  cos j )  0
h
mh
• 由此得到偏转角 2
mv0 h mv0 b
j
cot
2

k

k
b
k
 , b0  2
b0
mv0
• 这里b是瞄准距离，
b0是偏转90°的瞄准距离
b
B
q
A
微分散射截面
• 通过散射过程，某一小
块立体角dW（可以看作
是单位球上的一块小面
积）与某块入射面积ds
对应起来，微分散射截
面就是指 ds/dW。
b
• 由偏转角和瞄准距离的 A
关系就能得到散射截面。
• 卢瑟福散射实验
B
q
微分散射截面
• 平方反比力的散射截面为
b02
ds
bdj db


d W sin q dq dj
4q
4sin
2
• 刚性球的散射截面
b
 q
q
b  ( R1  R2 )sin(
)  ( R1  R2 ) cos
2
2
ds ( R1  R2 ) 2

, s   ( R1  R2 ) 2
dW
4
q
碰撞速度的图示
• 质心系中，m1和m2的初
始速度为 v1，v2 ~（m2，
m1）
• 碰撞之后速度为v'1，v'v'
2L
2，
~（em2, em1）
v1
• 质心速度为vc
• 还原到实验室坐标系里，
末速度为v'1，v'2
作业：2.1，2.2，2.3
v'2
v2
vC v'
1
v'1L
第9次课
实验室参考系的偏转角
• 考虑实验室参考系中，初始时m2是静止的。
• 画出速度 v1c，v2c，v'1c，v'2c，v'1，v'2，vc
• 长度比例 m2，m1，em2, em1, ??，??，m1
em2 sin q
tan q L 
em2 cos q  m1
m1  em2 cosq
qL q
cosqL 
2
2 2
m1  e m2  2em1m2 cosq
m1 sin qL  em2 sin(q  qL )
实验室参考系的微分散射截面
• 只要求出实验室参考系与质心系的立体角之
比，就能利用质心系的微分散射截面公式。
完全弹性碰撞时，e=1：
• 由 sin(q  q L )  a sin q L , a  m1 / m2
• 得 sin q  sin(q  q L ) cos q L  sin q L cos(q  q L )
 sin q L [a cos q L  cos(q  q L )],
cos(q  q L )(dq  dq L )  a cos q L dq L ,
[a cos q L  cos(q  q L )]2
dW
sin q dq


d W L sin q L dq L
cos(q  q L )
实验室参考系的微分散射截面
• 考虑质量比a=m1/m2<<1，=1的两种情况。
 a<<1
sin(q  q L )  a sin q L  0, cos(q  q L )  0
dW
 (a cos q L  1) 2  1  2a cos q L
d WL
 a1 sin(q  q )  sin q ,  q  2q
L
L
L
dW
sin q dq

 4cos q L
d W L sin q L dq L
实验室参考系的微分散射截面
• 对于卢瑟福散射，考虑a=m1/m2<<1，=1的
两种情况。
 a<<1 q  q L , m  m1

(1  2a cos q L )b02
b02
ds
k2



d WL
4 q
4 qL
4 qL
4 sin
4 sin
4 sin
m12 v04
2
2
2
q  2q L , m  m1 / 2
a1
4 cos q Lb02
4 cos q L k 2
ds


4
d WL
4sin q L
sin 4 q L m12v04
实验室参考系的动能交换
• 碰撞之后 m1的动能平均值为

2
2 2
m

e
m2  2m1em2 cos q
1
2
1

T  m1v0
2
(m1  m2 )2
利用刚性球模型 b  R cos(q / 2),
R
2 bdb 1 0
cos q   cos q
  cos q sin q dq  0
2
0
R
2 
1 2 m12  e2 m22 1 2 a 2  e2 1 2 e2
T   m1v0
 m1v0
 m1v0 2
2
2
2
(m1  m2 ) 2
(a  1) 2
e 1
• 当a=m1/m2=e2时碰撞交换走的动能最多，
此时m1损失的动能占原先的1/(e2+1)。
碰撞问题举例
• 平面上两个小球的弹性碰撞，m2初始速
度为0。证明：若 m1=m2时碰撞之后两
小球的运动方向相互垂直。
1
1
1
2
2
mv1  mv2  mv 0 ,
mv1  mv2  mv 02
2
2
2
 v1  v2  0, v1  v2
• 可在质心系作速度分析说明两球末速度
相互垂直（上图）。
• 也可用勾股定理对应直角三角形来证明。
• 也可沿作用力方向分解说明其后速度垂
直（下图）。
碰撞问题举例
• 平面上两个小球的弹性碰撞，m2初始速度为0。
分 m1>m2和m1<m2时讨论m1和m2速度偏转方
向的范围。
• m1>m2时m1最大偏转角 q1L  arcsin(em2 / m1 )
• m1<m2时m2最大偏转角 q2L  arcsin(e)
q1L
q
q2L
m1>m2
m1<m2
q
相对论高能粒子的碰撞
• 以 p1，E1，p'1，E'1和 p2，E2，p'2，E'2 分别代表
m1和 m2 质点在碰撞前、后的动量和能量，运用动
量守恒和能量守恒，有
p1  p2  p1  p2 , E1  E2  E1  E2
p  E / c  m c
2
2
2
2 2
• 由于碰撞是平面问题，可以看作p'1x，p'1y，p'2x，
p'2y，四个未知量，最后一个方程给出了能量E的表
达，E视为已知。需求解的方程只有3个（动量2个
能量1个）还需要一个条件，如偏转角，或其中一
个粒子的末动能等。
相对论碰撞例题
• 能量为Ei 的光子被质量为 me的静止电子所
散射。散射后光子能量为Ef 并偏转 q ，证
明这几个量有关系
1 - cosq = mec2(1/Ef - 1/Ei )
2
p

0

p

p
,
E

m
c
 E f  Ee
证： i
f
e
i
e
pi c  Ei ,
pf c  Ef ,
pe2c 2  Ee2  m 2c 4
 (pi  p f ) 2 c 2  ( E f sin q ) 2  ( Ei  E f cos q ) 2
 pe2 c 2  ( Ei  me c 2  E f ) 2  me2c 4
化简整理即得。
相对论碰撞例题
• 一个静止的+介子衰变成m+子和中微子。
三者静止质量分别是m0，mm0和0。求m子
2
和中微子的动能：
m 0c  Em  E
E2  p2 c 2  pm2 c 2  Em2  mm2 c 4  (m 0c 2  Em )2
(m 0  mm 0 )c
2
 Em 
2
2
, Tm 
2m 0
(m 0  mm 0 )c
2
T  m 0c  Em 
2
作业：2.4，2.5，2.6
(m 0  mm 0 ) c
2
2
2
2m 0
2
2m 0
第10次课
微振动
• 各个质点在平衡位置附近作微振动，且平衡点的
类型是稳定平衡点，即偏离平衡时，系统的势能
增加。对于不稳定平衡和随遇平衡，系统无法产
生往复振动。
• 广义坐标一般为 qi=qi(0)+qi(1)，其中0阶量是常量，
是平衡时的位置，而1阶量是振动的变量。
• 在解微振动的问题时，要重新取广义坐标使得
qi(0)=0。以下的研究都是基于平衡点在广义坐标
取0值进行的。若不这样取，某些结果不能套用。
微振动势能
• 对势能 V(q) 在平衡位置附近进行小量展开
V
V (q)  V (0) 
qi
1  2V
qi 
2 q j qk
0
0
1
q j qk  ...  k jk q j qk
2
• 取V(0)=0，平衡点上又有 ∂V/∂qi=0，并记
 2V
k jk 
q j qk
0
因是微振动，忽略2阶以上的高阶小量。写为矩阵
二次型形式：
1 T
V (q)  q kq, q  (qi ) s , k  (kij ) ss ,
2
i, j  1, 2,..., s
• 这里第一个下标是行序数，第二个是列序数。
微振动的动能
• 因为系统有平衡位置存在，因此约束必是稳定的，
此时动能是广义速度的二阶齐次项（T=T2），为
ri
ri
ri ri
1
1
1
2
T  mi ri  mi (
qj )(
qk )  (mi

)q j qk
2
2
q j
qk
2
q j qk
ri ri
1
1
1 T
 (mi

) q j qk  M jk q j qk  q mq, m  ( M jk )ss
2
q j qk
2
2
0
• 这里矩阵 m 的各个分量一般也可以是位置q 的函
数，但我们对动能只能保留到2阶小量，因而需在
平衡点上计算 m，得到的 m 为常量。
微振动的拉格朗日函数
• 动能 T 总不能小于0（速度平方总不小于0），
因此矩阵 m = ( Mij )sxs 是正定的。
• 在稳定的平衡点势能V取极小值0，因此 V≥0，
k=(kij ) sxs是正定的；同样，T≥0， m
=( mij )sxs也是正定的。
• 拉格朗日函数可写为
1 T
1 T
1
1
L  q mq  q kq  M jk q j qk  k jk q j qk
2
2
2
2
• 拉格朗日方程为
d 1
1
1
1
( M jk  ij qk  M jk q j ik )  ( k jk  ij qk  k jk q j ik )  0
dt 2
2
2
2
微振动的拉格朗日方程
• 由矩阵m、k的对称性，得到拉格朗日方程
mq  kq  0
• 这是一个线性常微分方程组，即如果 q(A)和
q(B) 都是方程的解，则 q(C) = aq(A) + bq(B)
也是方程的解。因此，q 的运动尽管可能出
现多种频率的振动，我们可以把每一个频率
的振动单独分解出来研究。对于频率为 
的振动，不妨设为 q = Re[q exp(it)]，得
到线性方程组：
2
(m  k)q  0
微振动的久期方程
• q = 0显然是方程的解。若要得到非 0 解，必须
满足久期方程：
det(m 2  k )  0
• 对于2而言，这是一个一元s次方程，应该有s个
解，称为s个本征（简正）频率  j , j  1, 2,..., s
• 对于不满足这个久期方程的频率，线性方程组只
有 0 解，意味着不存在该频率的振动。反之，能
够出现的振动频率必须满足久期方程，且是s个
本征频率之一。
2
(

m

• 当=j时，方程组
j  k )q  0 线性相
关，可解得一组非 0 振幅 q =qj，称为本征
（简正）向量。
本征频率重根时的本征向量
• 解出的本征向量显然不具有唯一性，但同
一个本征频率对应的不同本征向量之间一
般只相差一个常数倍，意义相同。只对于
久期方程的n重根频率，才能对应有线性无
关的n个本征向量出现。
• 对于有重根频率的情况，s个本征向量能通
过适当选取使其是线性无关的。
• 下面会证明2是不小于0的实数，从而本
征向量的各个分量也为实数。
微振动的本征振动
• 用 qT 乘以线性方程，可知：
qT (m2  k)q  0  2  qT kq / qT mq
• 由于 m和 k 都是正定的实对称二次型矩阵，
2 也是非负的。因此，本征频率都是实数。
事实上，2 也是矩阵 m-1k 的本征值，而
q 正是对应的本征向量，满足：
(m1k   2I)q  0
• 由于久期方程是关于2 的一元 s 次方程，
应该有 s 个根，前面已经说了这些根都是
非负实数，因此对应 s 个本征频率的振动。
微振动的本征坐标
• 广义坐标 q 随时间的变化是由这 s 个本征频率的
振动的线性组合构成。即：
s
s
q   Re[q j C j e ]   q j Aj cos( j t  a j ), C j  Aj e
j 1
i j t
ia j
j 1
• 其中，常数 Aj 和 aj 依初始条件待定。事实上，上
式可以改写为：
q  RQ, R  (q1 , q2 ,..., qs ), Q  ( Aj cos( j t  a j ))s
• 这里引入新的广义坐标 Q，它也称为本征坐标，
其每个分量对应一个频率的振动，它与广义坐标
q 之间的线性变换是矩阵 R，由本征向量排列而
成。本征坐标 Q 可由 Q = R-1q 求得。
微振动的本征坐标
• 以 Q 为新的广义坐标则能得到单一频率的振动。
可验证如下：注意到
kq j   mq j
2
j
• 将j=1,2,…,s各个等式逐列排列起来，即
k(q1 , q2 ,..., qs )  m(12q1 , 22q2 ,..., s2qs )
• 令矩阵 2 是以 s 个 2j 构成的对角矩阵，则有：
kR  mRω
2
2
mq  kq  mRQ  kRQ  mR(Q  ω Q)  0  Q  ω Q  0
2
• 本征坐标 Q 的方程解得各个本征频率的振动。
一些矩阵的具体表示
  q(1)1   q(1)2 
 q(1)s  
 12
  (2)   (2) 
 (2)  

  q1   q 2 
 q s  
2
R  
,
,..., 
, ω 




...
...
...


 



0

(
s
)
(
s
)
(
s
)






 q

q
q
 s  
  1    2 
0 

s2 
s
q   q j A j cos( j t  a j )  RQ 
j 1
  q(1)1   q(1)2 
 q(1)s    A1 cos(1t  a1 ) 
  (2)   (2) 
 (2)   

  q1   q 2 
 q s    A2 cos(2t  a 2 ) 
 
,
,..., 




...
...
...
...

 



 q ( s )    As cos(s t  a s ) 
  q(s)   q(s) 
 s  
  1    2 
微振动的解法小结
•
•
•
•
•
•
•
确定微振动的平衡位置。
调整广义坐标以便使平衡位置处于所有 qj=0 处。
在平衡位置处将势能函数展开并保留到二阶小量。
写出系统的总动能，展开并保留到二阶小量。
列出久期方程，解出s个本征频率j。
对于每个本征频率，解出相应的本征向量 q j 。
给出广义坐标随时间变化的通解：
s
q   Aj cos( j t  a j )q j
j 1
• 通过初始条件确定各本征振动中的待定系数。
作业：2.7，2.8，2.9
第11次课
微振动实例
q1
q2
• 二维耦合摆问题：
1
1
1 2
2
2
2
2
2
L  ml (q1  q 2 )  mgl (q1  q 2 )  kl (q1  q 2 ) 2
2
2
2
q1  q1 ( g / l  k / m)  q 2 k / m  0 


q 2  q1k / m  q 2 ( g / l  k / m)  0 

g / l  k / m  2
k / m
1 
g
, 2 
l
k / m
0
2
g / l  k / m 
 q1  1 1   A1 cos(1t  a1 ) 
g 2k

,  
  A cos( t  a ) 
q
1

1
l
m
 2
 2 
2
2 
 A1 cos(1t  a1 )  1 1 1   q1   12 (q1  q 2 ) 


 
 1

(
q

q
)
A
cos(

t

a
)
q
1

1
2

 2   2 1
2 
 2
2
2 
微振动实例
M
m
m
• 三原子问题：
1
1 2 1
2
2
2
2
L  m( x1  x3 )  Mx2  k[( x2  x1 )  ( x3  x2 ) ]
2
2
2
a  k / m, b  k / M
2
a


a
0


x2  b(2 x2  x1  x3 )  0   b
2b   2
b  0
2

0
a
a 
x3  a( x3  x2 )  0

x1  a( x2  x1 )  0
(a   2 ) 2 (2b   2 )  2ab(a   2 )  0,
1  a , 2  0, 3  a  2b
微振动实例
• 三原子问题：
 =0相当于系统质心不动（或匀速运动）。
• 对应的解为
1   A1 cos(1t  a1 ) 
 x1   1 1


  

,
 x2    0 1 2b / a   c1  c2t
  A cos( t  a ) 
 x   1 1
1
 3
 3 
3
3 
 A1 cos(1t  a1 ) 
 a / 2  b 0 a / 2  b   x1 
1 


 x 
a
b
 c1  c2t
  a  2b  b
 2 
 a/2
 x 
 A cos( t  a ) 

a
a
/
2

 3 
3
3 
 3
微振动实例
q1
• 双单摆问题：
1 2
1
2
2
L  ml (2q1  2q1q 2  q 2 )  mgl (2q12  q 22 )
2
2
g
g

2
2q1  q 2  2 q1  0  1  (2  2)

l
l

g
g
2

q1  q 2  q 2  0
2  (2  2)

l
l
q2
1   A1 cos(1t  a1 )   q1  1  2
2   q1 
 q1   1
 

 
 ,    
 q 2   2  2   A2 cos(2t  a 2 )   q2  4  2  2   q 2 
阻尼振动
• 物体在运动过程中经常遇到阻尼。
• 阻尼力与物体运动速度有关。
• 常见的有：
– 摩擦阻尼（与速度无关）。
– 粘滞阻尼（与速度 v 成正比）。
– 尾流阻尼（与速度平方成正比）。
– 波阻尼等与速度关系复杂的类型。
• 这里处理与速度 v 成正比的粘滞阻尼。
耗散函数
• 粘滞阻尼力：
f  Cv
• 阻尼的广义力：
ri
ri
ri
Q j   fi 
  Ci v i 
  Ci ri 
q j
q j
q j
i
i
i


q j
1
F
2
i 2 Ciri   q
j
• 这里耗散函数F定义为
1
1
2
F   Ci ri   cab qa qb
i 2
a ,b 2
带耗散的拉格朗日方程
• 耗散函数是非负的。
• 耗散现象使得系统的机械能丧失。
dE  dW   fi  dri   Ci vi  dri  2Fdt
i
i
• 有阻尼时的拉格朗日方程：
d T T
F V



,
dt q j q j
q j q j
• 化为矩阵形式：
mq  cq  kq  0
j  1, 2,..., s
方程组求解
• 使用试探解 elt 能方便的求出本征振动频率和阻尼
率。其中，如果是简谐振动，l 就是纯虚数。
(l 2m  lc  k )ql  0
q  ql elt
• 若要ql有非0解，方程的系数行列式必须为0。这
样就得到一个关于l的一元2s次方程。为了研究根
l的性质，用非0解qlT乘以原方程得
l ql mql  lql cql  ql kql  0
2
T
T
T
• 由于三个系数都是非负的，可知：l的实部非正，
与c成正比。l若是复数，则与其共轭l*一同出现。
此一元二次方程的两个解具有同一个本征向量。
本征值和本征坐标
• 记每个本征值lj 对应本征向量为 qlj，j=1,2,..,s。
同时具有同样这个本征向量还有另一个本征值lj+s 。
• 则最后整体的解为
s
q   q l j ( Aj e
l jt
j 1
 Aj  s e
l j s t
)
• 对应实根lj的系数Aj是实数，对应复根lj的系数Aj
是复数，但必须满足 Aj = A*j+s ，lj = l*j+s（共轭关
系），使两者相加之后为实数。
 本征坐标同样可以通过线性变换得到
Q  ( Aj e
l jt
 Aj  s e
作业：2.10，2.11，2.13
l j s t
1
)s  (ql1 ,..., qls ) q
第12次课
阻尼振动实例
• 被3根弹簧连接
的两个质点，具
有阻尼。
k
K
k
1
1 2 2 1
1 2 2
2
2
2
L  m( x1  x2 )  k ( x1  x2 )  K ( x1  x2 ) , F  g ( x1  x2 )
2
2
2
2
mx1  g x1  (k  K ) x1  Kx2  0  ml 2  gl  (k  K )
K
0

2
mx2  g x2  Kx1  (k  K ) x2  0
K
ml  gl  (k  K )
g
k
2 k  2K
2
b  ,ab 
, b  b  , l1,3   b  a , l2,4   b  b
2m
m
m
阻尼振动实例
• 弱阻尼情况（a<b<0）：
bt

 x1   1 1 A1e cos(t a  a1 ) 
 bt

 



x

1
1
A
e
cos(
t

b

a
)
 2
 2 
2 
• 中阻尼情况（a<0<b）：
bt

A
e
cos(t a  a1 ) 
 x1   1 1 1


 

(  b  b )t
(  b  b )t 

x

1
1
A
e

A
e
 2
 2 
3

• 强阻尼情况（0<a<b）：
(  b  a )t
(  b  a )t 

 A2e
 x1   1 1 A1e


 

(  b  b )t
(  b  b )t 

x

1
1
 A4e
  A3e
 2 

阻尼振动的波形
• 欠阻尼情况
• （振荡衰减）
• 过阻尼情况
• （衰减无振荡）
• 合成（中阻尼 ）
受迫振动
• 以前讨论的都是自由振动，但在平衡位置附近的
质点有时受到周期振荡的外力。
• 拉格朗日函数不变，拉格朗日方程左端不变，右
端所受广义力包括了新加的外力：
N
mq  cq  kq   f k eik t
k 1
• 假设q(a)(t)和q(b)(t)都是方程的解，则可验证
q(c)(t)=q(a)(t) - q(b)(t) 是齐次方程的解。即方程的
通解是齐次通解加任一特解。
• 外力也可以包含有几个频率的振荡，分别求出各
个频率的特解，他们的和即是整个方程的特解。
受迫振动的特解
• 受迫振动的特解与外力的振荡具有相同的
周期（或频率）。
• 把外力和广义坐标的振动都用复数处理是
简便的。
• 用qi(t) = qi ei ot 试解，并解线性方程组可得
到各个系数 qi 。对 qi(t) 取实部之后即得频
率为 0 的外力驱动时的特解。
自由度为1时受迫振动的特解
mq  g q  kq  f 0 cos(0t  a )  f 0 ei (0t a )
q  Re(qe
i0t
ia
f0e
q
,
2
k  m0  ig0
),
(k  m ) cos(0t  a )  g0 sin(0t  a )
q  f0
(k  m02 ) 2  (g0 ) 2
2
0
 f0
g0
cos(0t  a  arctan
)
2
k  m0
(k  m02 ) 2  (g0 ) 2
自由度为1时受迫振动的通解
mq  g q  kq  f 0 cos(0t  a ) 
g



 t
k
g
k
g 2
2
2m
cos  t
 ( )  a  ,  ( )
 Ae
m 2m
m 2m



ql (t )  
g
g
k
 t t ( )2 
  2gm t t ( 2gm )2  mk
g 2
2m
2m
m k
 A2e
, ( )
 A1e
m 2m

g0
cos(0t  a  arctan
)
2
k  m0
q(t )  ql (t )  f 0
2 2
2
(k  m0 )  (g0 )
受迫振动特解的分析
振幅
• 振幅最大值在频率为 0max 时取得：
f0
k g2
0max 
 2 , f max 
2
m 2m
k g
g
 2
m 4m
• 在没有阻尼的情况下，频率为固有频率时，
振幅趋向于无穷大。这即为共振现象。但
振幅过大时，微振动假设已不成立。
• 有阻尼的情况下，共振发生在驱动的外力
的频率大致与固有频率相同的时候。
0
多自由度的受迫振动
• 多自由度时，齐次通解在有耗散时，最后
趋向于0，只剩下驱动源的频率的振动。特
解可以通过解线性方程组得到。
• 先求齐次方程的通解
mq  cq  kq  0
– 构造齐次方程
(ml 2  cl  k )ql  0,  det(ml 2  cl  k )  0
– 解久期方程，得到s对本征值lj、lj+s（两个负
实数，或实部为负数的一对共轭复数），进而
解出本征向量qlj，j=1,2,…,s。
s
(g)
– 得齐次方程通解 q   ( Aj el t  Aj  s el t )ql
j
j 1
j s
j
多自由度的受迫振动
• 对于每个频率的驱动源分别求特解。
mq  cq  kq  f k eik t
q (ks ) (t )  q k eik t ,

(k2m  ick  k )q k  f k
 q k  (k2m  ick  k ) 1 f k
• 多个驱动源同时存在时，特解也可叠加。
最后得到：
N
mq  cq  kq   f k eik t

k 1
s
q(t )  Re( ( Aj e
j 1
l jt
 Aj  s e
l js t
N
)q l j   q k eik t )
k 1
与电容、电阻、电感的电路同构
• 电子学的有交流电源的电容、电阻、电感
的电路所得到的方程与力学上的微振动的
受迫振动的方程具有相同的数学形式（线
性二阶常微分方程组），称为数学上的同
构。对应关系如下：
2
d q
dq q
L 2  R    (t )  mq  g q  kq  f 0 (t )
dt
dt C
电压 交流电源 电荷
电流
电感
电阻 电容倒数
广义力 外力 广义坐标 广义速度 质量 耗散系数 弹性系数
电路的“拉格朗日函数”和“耗散
函数”
• 对于一个线性的交流电源的电容、
电阻、电感的电路系统，可以比
照力学系统进行处理。首先看看
需要确定哪几个（自由度）电荷
（电流的时间积分）做变量（广
义坐标），确定系统“拉格朗日
函数”和“耗散函数”
2
1 dq 2 q
1 dq 2
L  L( ) 
, F  R( )
2 dt
2C
2 dt
电路分解举例
(q1  q2 )
1 2 1
2
L  L1q1  L2 q2 
2
2
2C
1 2 1
2
F  R1q1  R2 q2
2
2
 L1q1  R1q1  (q1  q2 ) / C  A sin 0t

 L2 q2  R2 q2  (q1  q2 ) / C  0
2
作业：2.12，2.14，2.15
第13次课
非线性振动
• 如果微振动的假设不成立，可能可以用的
方法有：
– 解析方法求精确解。
– 微扰法逐次求出更高阶的小量。
– 数值求解。
• 举例：单摆问题。振幅 A 不是非常小。
2
2
2
q +0 sin q  0  q  20 (cos A  cos q )  0
A
g
2q
 20 dt  (sin  sin ) dq , (0 
)
2
2
l
2

1
2
单摆的非线性振动周期
• 取参数 j 使其在单摆的周期内变化 2：
q
A
dq
q
A
sin  sin sin j ,
cos  sin cos j dj
2
2
2
2
2
• 可得椭圆积分：
1

A
2
0 dt  (1  sin
sin j ) 2 dj
2
1
3
2 A
2
4 A
 (1  sin
sin j  sin
sin 4 j  ...) dj
2
2
8
2
2
2
1
A
9
A
A
T 
(1  sin 2 
sin 4  ...)  T0 (1 
)
0
4
2 64
2
16
2
非线性单摆的微扰解法
• 也可以用微扰法求解单摆问题：
2

q  02 sin q  0  q  02q   aq 3  ..., a  0
6
q  q0  q1 , q0  A cos(t  a ),  2  02  W
 q0  q1  02 (q0  q1 )   a(q0  q1 )3  ...
Wq0  q1  02q1   aq 03
q1  02q1  aq03  Wq0
1 3
2
q1  0 q1  aA [3cos(t  a )  cos(3t  3a )]  WA cos(t  a )
4
非线性单摆的微扰解法
• 非线性存在时不能用复数方法求解。这里一阶方
程出现了一个问题，驱动力包含与固有频率相同
的频率的成分，会产生振幅趋向于无穷大的振荡，
与我们的假设不符。这是由于非线性时，振荡频
率有变化，而我们的基频也应该有所改变。
3 2
1 3
2
 W   aA , q1  0 q1  aA cos(3t  3a ),
4
4
2
1
A
 2  02 (1  A2 ),   0 (1  )
8
16
aA3
A3
q1 
cos(3t  3a )  
cos(30t  3a )
2
2
4(0  9 )
192
非线性单摆的微扰解法
• 解得的频率修正项与解析法求得的相符。
• 二阶及以上的计算需要更多高阶项。
• 具体到单摆的问题，需要计入5次谐波，每
一级小量是单摆振幅的平方。
2
2
  0  1   2  ..., q  q0  q1   q 2  ...
q   q   aq   bq , b 
2
0
3
2
5

2
0
120
广义势能
• 一般意义上，势能只是位置（广义坐标）的
函数，而拉格朗日函数是动能减去势能。
• 从带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数（相
对论形式）来看，拉格朗日函数不一定是动
能减去势能，用拉格朗日函数直接描述质点
的运动可能更基本，只在特殊情况下才写为
动能减去势能。
2
v
1
2
L  mc (1  1  2 )  eA  v  ej  mv 2  eA  v  ej
c
2
1
 T  U , T  mv 2 , U  ej  eA  v
2
广义势能描述带速度的力
• 由拉格朗日方程：
d L L
d T T

 0,

 Q,
dt q q
dt q q
d U U
Q

dt q q
L  T U
• 由此，一些包含速度的力可以由广义势能描
述。如劳伦兹力：
U  ej  eA  v,
1 2
L
L  mv  U , p 
 mv  eA
2
v
洛伦兹力的广义势能
• 从广义势能得劳伦兹力：
d U
d
F
 U   (eA )  (ej  eA  v )
dt v
dt
A
 e
 ej  ev  (  A)  eE  ev  B
t
• 与原先的表述相同。
1
r 2  2rr
• 例：求广义势能，受力为 F  r 2 (1  c 2 )
1
2r
d 2r 2r 2
d  r2
 r2
r2
U   U1 ,

 2 
( )
( ) 2
r
r
dt r
r
dt r r
r r
r
r2
1 r2
U1  2  U 2 , U 2  0, U   2
c r
r c r
第14次课