Transcript 结构的运动方程

第二章 结构运动方程的建立
2.1达朗贝尔(d’Alembert)原理
2.2虚功原理
2.3Hamilton原理
2.4例题
2.5重力对结构运动方程的影响
2.6支座移动时的运动方程
结构的运动方程

描述结构动力位移的数学方程，称为结构的运动方程。

运动方程的解，提供了位移过程，从而可求出其他各种所
需的结构动力响应。
2.1达朗贝尔(d’Alembert)原理
根据牛顿第二定律：任何质量m的动量变化率等于作用在这个
质量上的力F(t)，力包括恢复力R(t)、阻尼力D(t) 、外力P(t)，
即：
d
F  t    my  t  
dt
当质量m不随时间变化时，上式变成：
F (t )  my
即：
F (t )  my  0
2.1达朗贝尔(d’Alembert)原理
F (t )  my  0
作用在质量m上的力 F(t) ，与加速度方向相反的惯性力 my
平衡。换句话说，如果我们把 my 加到原来受力的质量上，
则动力问题就可作为静力平衡问题来处理，这就是达朗贝尔原
理。
按达朗贝尔原理建立质点系运动方程的一般步骤为：
1.确定体系振动分析的自由度的数目，建立计算模型；
2.建立坐标系，给出各自由度的位移参数；
3.按达朗贝尔原理和所采用的阻尼理论，沿质量各自由度方向
加上惯性力和阻尼力；
4.通过分析质量平衡条件或考虑变形协调条件，建立体系运动
方程。
2.1达朗贝尔(d’Alembert)原理
利用达朗贝尔原理建立体系运动方程的具体方法又分为刚度法
和柔度法两种：
刚度法——列平衡方程
柔度法——列位移方程
2.1达朗贝尔(d’Alembert)原理
刚度法
图2.1所示为一个简支梁，梁跨内有一个集中质量m,求其运动方程。
my  cy  ky  P  t   0
整理得：
my  cy  ky  P  t 
2.1达朗贝尔(d’Alembert)原理
柔度法
图2.1所示为一个简支梁，梁跨内有一个集中质量m,求其运动方程。
y  [my  cy  P(t )] 1
整理得：
y
my  cy 
1
 P(t )
k
1
1
 my  cy  ky  P(t )
2.2 虚功原理
如果结构体系比较复杂，平衡规律不清楚或很复杂时，
运用虚功原理建立结构动力方程比较方便。
虚功原理：具有理想约束的质点系运动时，在任意瞬
间，主动力和惯性力在任意虚位移上所作的虚功总和
等于零。在任意虚位移下，约束反力不做功
用虚功原理建立动力学方程的具体步骤为：
1.确定各质点所受的力，包括惯性力；
2.给体系约束所允许的微小的可能虚位移，再令体系上各个
力，经相应虚位移所作的总虚功等于零，便得出运动方程。
2.2 虚功原理
n
  P(t )  my  cy  ky 
i 1
yi
0
 yi  0
 P(t )  my  cy  ky  0
整理得：
my  cy  ky  P  t 
2.5重力对结构运动方程的影响
注意  s 是不随时间而变化的静位移
my  cy  k S  ky  mg  P(t )
k S  mg
 my  cy  ky  P(t )
结论：以“静力平衡”位置作为基线，列出的运动方程是不受重
力影响的。因而，今后以静力平衡线为基线求得的位移即为动力
位移。计算总位移时，只要加上静力位移
就可。
S
2.6 支座移动时的运动方程
注意：支座移动的影响，相当于支座瞬时运动，对运动方程的影
响，因为运动时间是瞬时的，所以尚未对恢复力R（t）和阻尼力
D(t)造成影响。
1
1
m( yg  y )  cy  ky  P(t )
my  cy  ky  P(t )  myg
2
2
结论：支座位移影响相当于在质量上附加一个与支座移动加速
度有关的惯性力。
例题
试建立图所示体系的运动方程，设横杆为无限刚性且质量可忽
略，横梁有两处质量为m的质点。为弹性支座，其刚度系数为k，
不考虑阻尼c的影响。
例题1
由
M
A
0
my l
l

  my  l  ky  l  P(t )  0
2 2
2
整理后，即得到体系的运动方程：
4
2
my  ky  P(t )
5
5
例题2
试建立图示体系的运动方程，设横杆刚度为EI,且质量
可忽略，质点质量为m，不考虑阻尼c的影响。
EI
m
例题2
EI
m
my(t )  ky(t )  P(t )
3EI
my(t )  3 y (t )  P(t )
2l
3
2l

3EI
例题3
试建立图示体系的运动方程，设横杆刚度为EI,且质量
可忽略，质点质量为m，不考虑阻尼c的影响。
EI
m
例题3
EI
m
y(t )  11[my(t )]  1P
2l 3
11 
3EI
Pl 3
1P 
16 EI
2l 3
l3
y (t ) 
[my(t )] 
P(t )
3EI
16 EI
例题4
试用达郎贝尔原理建立图2.12所示体系的运动方程，
图中横梁刚度无穷大。
EI
m
例题4
a
y1   y
l
M
A
0
a
mg  y  k y  a  (my  l )  P(t )  l  0
l
ka 2  mgl
my 
y  P(t )
2
l
注意：列运动方程时，重力方向必须与运动方向一致才可以不
考虑重力的影响；
习题1
用达郎贝尔原理建立图2.1所示体系的运动方程，图中横梁刚度
无穷大，阻尼系数为c.
EI
m
习题1
M
A
0
my1  l1  my2  l2  cy2  l2  ky  l3  0
l1
y1   y
l
l2
y2   y
l
(m1l12  m2l22 ) y  cl22 y  kyl 2  0
习题2
求图2.3所示示弹簧——质点体系的自振频率
刚并柔串
K并  k1  k2

k1  k2

m
m
K并
K串 

1
1 1

k1 k2

k1k2
k1  k2
K串
k1k2

m
(k1  k2 )m
习题3
用达郎贝尔原理建立图2.4所示体系的运动方程，图
中横梁刚度无穷大，不考虑阻尼的影响。
习题3
my(t )  ky(t )  P(t )
24 EI
my(t )  3 y (t )  P(t )
l
24 EI
k 3
l
柔度和刚度的选择


一般情况下，静定结构用柔度法进行求解比较方便，超静
定结构用刚度法求解比较方便。
一般情况下，如果力作用质点处用刚度法求解比较简单，
如果力作用在质点外，则用柔度法比较简单。